فيديو الدرس: مقارنة النسب الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتناول المقارنة بين النسب باستخدام معدلات الوحدة في مسائل من الحياة اليومية. سنبدأ بتذكر كيف يمكننا تبسيط النسب. إذا كان لدينا النسبتان أربعة إلى ١٠ وستة إلى ١٨، يمكننا تبسيطهما بإيجاد عوامل مشتركة. العامل المشترك الأكبر لأربعة و١٠ هو اثنان، لذا يمكننا قسمة كلا جزأي النسبة على اثنين. هذا يخبرنا بأن النسبة أربعة إلى ١٠ في أبسط صورة هي اثنان إلى خمسة.

يمكننا تكرار هذه العملية للنسبة ستة إلى ١٨. العامل المشترك الأكبر هذه المرة هو ستة. بما أن ستة مقسومًا على ستة يساوي واحدًا و١٨ مقسومًا على ستة يساوي ثلاثة، فالنسبة في أبسط صورة هي واحد إلى ثلاثة. يكون هذا جيدًا إذا أردنا الحصول على نسبة ما في أبسط صورة لها. لكن ماذا إذا أردنا المقارنة بين نسبتين؟ كيف يمكننا المقارنة بين اثنين إلى خمسة وواحد إلى ثلاثة؟ للمقارنة بين نسبتين أو أكثر، علينا كتابة كل منها على الصورة واحد إلى ﻥ. هذا يعرف بنسبة الوحدة أو معدل الوحدة.

في ضوء هذا المثال، النسبة الثانية، واحد إلى ثلاثة، مكتوبة بالفعل على هذه الصورة. هذا يعني أنه لكل وحدة من الجزء الأول، نحصل على ثلاث وحدات من الجزء الثاني. ولكتابة النسبة اثنين إلى خمسة على صورة نسبة وحدة، علينا قسمة كلا الجزأين على اثنين. اثنان مقسومًا على اثنين يساوي واحدًا. خمسة مقسومًا على اثنين يمكننا كتابته على صورة الكسر خمسين أو خمسة على اثنين. عند مقارنة النسب، سنجد أنه من المفيد تحويل هذا الكسر إلى عدد عشري. النسبة أربعة إلى ١٠ أو اثنين إلى خمسة على صورة نسبة وحدة، هي واحد إلى ٢٫٥. لكل وحدة واحدة من الجزء الأول، نحصل على وحدتين ونصف أو ٢٫٥ وحدة من الجزء الثاني. نحن الآن مستعدون للمقارنة بين النسبتين كما هو مطلوب في السؤال.

هناك طريقة بديلة للمقارنة بين النسب، وهي اعتبار الجزء الأول جزءًا من كل. في النسبة أربعة إلى ١٠، الجزء الأول أربعة هو أربعة أجزاء من إجمالي ١٤ جزءًا. وبالطريقة نفسها، الجزء الأول من النسبة الثانية، ستة إلى ١٨، هو ستة أجزاء من إجمالي ٢٤ جزءًا. يمكننا تبسيط كلا هذين الكسرين بقسمة البسط والمقام على اثنين وعلى ستة، على الترتيب.

ستظل لدينا مشكلة عندما نحاول المقارنة بين سبعين وربع. أسهل طريقة للقيام بذلك ستكون إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لأربعة وسبعة. وهو ٢٨. سبعان يكافئ ثمانية على ٢٨، بينما ربع يكافئ سبعة على ٢٨. وبما أن المقامين متساويان الآن، يمكننا المقارنة بين الكسرين بالنظر إلى البسطين. ورغم أن الطريقة الثانية مفيدة في بعض الأحيان، فإننا سنقارن بين النسب باستخدام نسب الوحدة أو معدلات الوحدة في القسم الأكبر من هذا الفيديو.

تستخدم يارا ملعقتي طعام من السكر لكل ثلاثة أكواب من عصير الليمون، وتستخدم مريم ثلاث ملاعق طعام من السكر لكل ستة أكواب من عصير الليمون. أيهما تعد عصير الليمون بكمية أكبر من السكر؟

يمكننا بدء هذا السؤال بكتابة نسبة السكر إلى عصير الليمون لكلتا الفتاتين. استخدمت يارا ملعقتي طعام لكل ثلاثة أكواب من عصير الليمون. بالتالي، تكون نسبتها اثنين إلى ثلاثة. واستخدمت مريم ثلاث ملاعق طعام من السكر لكل ستة أكواب من عصير الليمون. إذن، نسبتها هي ثلاثة إلى ستة. إحدى طرق المقارنة بين نسبتين أو أكثر هي كتابة كل منها على الصورة واحد إلى ﻥ. وهذا يعرف بنسبة الوحدة. لإيجاد نسبة مكافئة، علينا قسمة كلا الجزأين على القيمة نفسها أو ضربهما فيها. اثنان مقسومًا على اثنين يساوي واحدًا. وثلاثة مقسومًا على اثنين يساوي ١٫٥. هذا يعني أنه لكل ملعقة طعام من السكر تستخدمها يارا، ستملأ ١٫٥ كوب من عصير الليمون.

بتكرار هذه العملية مع مريم، سنقسم كلا جزأي نسبتها على ثلاثة. النسبة ثلاثة إلى ستة تبسط لتصبح واحدًا إلى اثنين. هذا يعني أنه لكل ملعقة طعام من السكر تستخدمها مريم، تستطيع أن تملأ كوبين من عصير الليمون. المطلوب هو معرفة أيهما تعد عصير الليمون بكمية أكبر من السكر. ستكون هي من تستخدم عددًا أقل من الأكواب لكل ملعقة طعام من السكر. بما أن يارا يمكنها إعداد كوب ونصف فقط من عصير الليمون باستخدام ملعقة طعام من السكر، فهي التي تعد عصير الليمون بكمية أكبر من السكر.

لو أننا لاحظنا أن مريم تعد ضعف عدد الأكواب التي تعدها يارا في الأصل، لكان بإمكاننا استخدام طريقة بديلة لحل هذا السؤال. ضرب كلا جزأي نسبة يارا في اثنين سيعطينا نسبة جديدة، وهي أربعة إلى ستة. بما أن يارا استخدمت أربع ملاعق طعام من السكر لستة أكواب من عصير الليمون، بينما استخدمت مريم ثلاث ملاعق فقط، نكون قد أثبتنا مرة أخرى أن يارا أعدت عصير الليمون بكمية أكبر من السكر.

يريد باسم الاشتراك في المسابقة الرياضية بمدرسته. لقبوله، يجب أن يكون قادرًا على الجري مسافة ٤٠٠ متر خلال دقيقة واحدة. استغرق باسم ٢٠ ثانية في قطع مسافة ١٠٠ متر. إذا كان بإمكانه الجري بالمعدل نفسه، فهل يكون مؤهلًا للمشاركة؟

يخبرنا السؤال أن باسم يجب أن يكون قادرًا على الجري مسافة ٤٠٠ متر خلال دقيقة واحدة. إذا كتبنا ذلك على صورة نسبة الوقت بالدقائق إلى المسافة بالأمتار، فسيساوي واحدًا إلى ٤٠٠. يخبرنا السؤال أيضًا بأن باسم يمكنه الجري مسافة ١٠٠ متر خلال ٢٠ ثانية. لدينا ٦٠ ثانية في الدقيقة الواحدة. وضرب ٢٠ في ثلاثة يعطينا ٦٠. وضرب ١٠٠ في ثلاثة يعطينا ٣٠٠. إذن، إذا جرى باسم بالمعدل نفسه، فسيقطع مسافة ٣٠٠ متر خلال ٦٠ ثانية. نسبة الوقت بالدقائق إلى المسافة بالأمتار تساوي واحدًا إلى ٣٠٠.

بما أن باسم يجب عليه الجري مسافة ٤٠٠ متر خلال دقيقة واحدة، فالإجابة الصحيحة هي لا. لن يكون مؤهلًا للمشاركة. كتابة أي نسبة على هذه الصورة، واحد إلى ﻥ، تعرف بنسبة الوحدة أو معدل الوحدة. لكل وحدة واحدة من الزمن، أو دقيقة في هذه الحالة، يمكننا أن نرى المسافة التي قطعها باسم بالأمتار.

في السؤال التالي الذي سنتناوله، سنلقي نظرة على معدلات الوحدة للمقارنة بين ثلاث نسب مختلفة.

يقود فارس وأمير ورامي دراجات هوائية. يستطيع فارس أن يقود الدراجة مسافة ميلين في ٢٠ دقيقة، ويستطيع أمير أن يقود الدراجة مسافة ثلاثة أميال في ٢٥ دقيقة، في حين يستطيع رامي أن يقود الدراجة مسافة ستة أميال في ٦٦ دقيقة. من يقود الدراجة بأسرع معدل؟

للمقارنة بين السرعات الثلاث، سنكتب نسبة المسافة بالأميال إلى الوقت بالدقائق. بالنسبة إلى فارس، النسبة هي اثنان إلى ٢٠. وبالنسبة إلى أمير، النسبة هي ثلاثة إلى ٢٥. وأخيرًا بالنسبة إلى رامي، النسبة هي ستة إلى ٦٦. للمقارنة بين النسب الثلاثة، علينا حساب معدل الوحدة أو نسبة الوحدة. وهي نسبة على الصورة واحد إلى ﻥ. في هذا السؤال، سيمثل ذلك الوقت الذي يستغرقه كل فتى في قيادة الدراجة مسافة ميل واحد. عند التبسيط أو إيجاد النسب المكافئة، علينا ضرب كلا الجزأين في العدد نفسه أو قسمتهما عليه. بالنسبة إلى فارس، علينا قسمة كلا الجزأين على اثنين. هذا يعني أن النسبة اثنين إلى ٢٠ تكافئ واحدًا إلى ١٠. يستغرق فارس ١٠ دقائق لقيادة الدراجة مسافة ميل واحد.

لجعل الجزء الأيسر من نسبة أمير يساوي واحدًا، علينا قسمة كلا الجزأين على ثلاثة. ‏‏٢٥ مقسومًا على ثلاثة يساوي ثمانية وثلثًا أو ٨٫٣ دوري، مع كتابة نقطة أو شرطة على الثلاثة. يستغرق أمير ثماني دقائق وثلثًا لقيادة الدراجة مسافة ميل واحد. بقسمة جزأي نسبة رامي على ستة، نحصل على النسبة الجديدة واحد إلى ١١. يستغرق رامي ١١ دقيقة لقيادة الدراجة مسافة ميل واحد. بما أن كل النسب الثلاثة مكتوبة على صورة معدل الوحدة، يمكننا المقارنة بينها. الشخص الذي يقود الدراجة بأسرع معدل، سيكون هو الشخص الذي يستغرق أقل وقت لقيادة الدراجة مسافة ميل واحد. في هذا السؤال، إنه أمير.

يتضمن السؤال التالي المقارنة بين النسب باستخدام الجداول.

استخدم الجدول لتحديد العداءين اللذين جريا بالمعدل نفسه.

للإجابة عن هذا السؤال، سننظر إلى نسبة وقت كل عداء بالساعات إلى المسافة بالأميال. بالنسبة إلى أمير، النسبة هي اثنان إلى ١٠. لقد جرى ١٠ أميال خلال ساعتين. ونسبة رامي كانت ثلاثة إلى ١٨، حيث جرى مسافة ١٨ ميلًا خلال ثلاث ساعات. وفي المقابل كانت نسب سيف وباسم أربعة إلى ٢٠ وثلاثة إلى ١٢ على الترتيب. للمقارنة بين نسبتين أو أكثر، علينا كتابتهما على الصورة واحد إلى ﻥ. هذا يعرف بمعدل الوحدة أو نسبة الوحدة. في هذا السؤال، سيمثل ذلك المسافة التي قطعها كل عداء خلال ساعة واحدة.

بالنسبة إلى أمير، سنقسم جزأي النسبة على اثنين. هذا يعني أن أمير جرى مسافة خمسة أميال في الساعة. سنقسم جزأي نسبة رامي على ثلاثة. عندها، سنحصل على النسبة واحد إلى ستة. إذن، جرى رامي مسافة ستة أميال في ساعة واحدة. تكرار هذه العملية بالنسبة إلى سيف وباسم يخبرنا بأن سيف قد جرى مسافة خمسة أميال في الساعة وباسم جرى مسافة أربعة أميال في الساعة. مطلوب منا تحديد العداءين اللذين جريا بالمعدل نفسه. بما أن كلًا من أمير وسيف لهما نسبة الوحدة نفسها وهي واحد إلى خمسة، يمكننا استنتاج أنهما جريا بالمعدل نفسه.

سيتضمن السؤال الأخير استخدام آلة حاسبة لحساب الكثافة للمقارنة بين تعدادات السكان.

يهتم ماجد وسمر بالحدائق، ويقلقان بشأن عدد البزاقات التي يكتشفانها في حديقتي الخضراوات الخاصتين بهما. أرادا أن يقارنا بين عدد البزاقات في حديقتيهما. ولكن بسبب الفرق في المساحة بين الحديقتين، قررا أن يقارنا بين عدد البزاقات لكل قدم مربعة. تأخذ حديقة ماجد شكلًا مستطيلًا أبعاده خمس أقدام في ثلاث أقدام. وتأخذ حديقة سمر شكل دائرة نصف قطرها ثلاث أقدام. في صباح يوم السبت، عد ماجد ٢١ بزاقة في حديقته كلها، وعدت سمر ٣٦ بزاقة. لدينا ثلاثة أجزاء في هذا السؤال. احسب كثافة البزاقات في حديقة ماجد. احسب كثافة البزاقات في حديقة سمر. من لديه مشكلة أكبر في عدد البزاقات؟

يخبرنا السؤال بأن حديقة ماجد مستطيلة الشكل ومساحتها خمس أقدام في ثلاث أقدام، بينما تأخذ حديقة سمر شكل دائرة نصف قطرها ثلاث أقدام. وتوجد ٢١ بزاقة في حديقة ماجد و٣٦ بزاقة في حديقة سمر. سنفرغ الآن بعض المساحة لحساب عدد البزاقات لكل قدم مربعة. دعونا نتناول حديقة ماجد أولًا. حديقة ماجد مستطيلة الشكل وأبعادها ثلاث أقدام وخمس أقدام، ووجد ٢١ بزاقة في حديقته. يمكننا حساب مساحة أي مستطيل بضرب الطول في العرض. في هذه الحالة، علينا ضرب خمسة في ثلاثة. وهذا يساوي ١٥. إذن، مساحة حديقة ماجد تساوي ١٥ قدمًا مربعة.

لحساب الكثافة لكل قدم مربعة، يمكننا أولًا كتابة نسبة المساحة إلى عدد البزاقات. وهذا يساوي ١٥ إلى ٢١. ولحساب كثافة البزاقات في حديقة ماجد، علينا حساب نسبة الوحدة، أي كم عدد البزاقات في كل قدم مربعة. يكتب هذا على الصورة واحد إلى ﻥ. ونقسم كلا جزأي النسبة على ١٥ لنحصل على النسبة واحد إلى ١٫٤. إذن، كثافة البزاقات في حديقة ماجد هي ١٫٤ بزاقة لكل قدم مربعة.

يمكننا الآن تكرار هذه العملية مع سمر. حديقة سمر دائرية الشكل ونصف قطرها ثلاث أقدام. وجدت ٣٦ بزاقة في حديقتها. يمكننا حساب مساحة أي دائرة بضرب 𝜋 في نصف القطر تربيع. في هذا السؤال، هذا يساوي 𝜋 مضروبًا في ثلاثة تربيع. إذن، هذا يساوي ٢٨٫٢٧٤٣ وهكذا مع توالي الأرقام. هذا يعني أن مساحة حديقة سمر تساوي تقريبًا ٢٨٫٢٧ قدمًا مربعة. وحسب المطلوب في هذا السؤال، سنكتب الناتج على صورة تسعة 𝜋. بالتالي، تصبح نسبة المساحة إلى عدد البزاقات في حديقة سمر تسعة 𝜋 إلى ٣٦. لإيجاد الكثافة أو نسبة الوحدة، يمكننا قسمة كلا الجزأين على تسعة 𝜋. ‏‏٣٦ مقسومًا على تسعة 𝜋 يساوي ١٫٢٧٣، وهكذا مع توالي الأرقام. وبتقريب ذلك إلى أقرب منزلة عشرية نحصل على ١٫٣ بزاقة لكل قدم مربعة.

الإجابات الثلاث الصحيحة هي ١٫٤ ، و١٫٣ ، وماجد. بما أن ١٫٤ أكبر من ١٫٣؛ إذن ماجد لديه مشكلة أكبر في عدد البزاقات.

سننهي هذا الفيديو بتلخيص النقاط الأساسية. للمقارنة بين نسبتين أو أكثر، علينا حساب معدل الوحدة أو نسبة الوحدة. تكتب هذه النسبة على الصورة واحد إلى ﻥ. لتبسيط النسبة أو إيجاد نسبة مكافئة، علينا ضرب جزأي النسبة في العدد نفسه أو قسمتهما عليه. على سبيل المثال، النسبة أربعة إلى ١٢ يمكن كتابتها على صورة نسبة الوحدة بقسمة كلا الجزأين على أربعة. النسبة أربعة إلى ١٢ مكافئة لنسبة الوحدة واحد إلى ثلاثة. وهذا يعني أن لكل وحدة من الجزء الأول، نحصل على ثلاث وحدات من الجزء الثاني.