تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: إيجاد مجال الفرق بين دالتين كسريتين بالتبسيط

أحمد مدحت

أوجد الدالة ن(س) = (س + ٣)/(س^٢ − ٤٩) − (٣س^٣ + ٢١س^٢)/(٣س^٤ − ٦س^٣ − ١٠٥س^٢) في أبسط صورة، وبيّن مجالها.

٠٧:٥٩

‏نسخة الفيديو النصية

عندنا في المثال عايزين نوجد الدالة ن س في أبسط صورة، ونبيّن مجالها. والدالة ن س تساوي س زائد تلاتة، على س تربيع ناقص تسعة وأربعين. ناقص تلاتة س تكعيب زائد واحد وعشرين س تربيع؛ على تلاتة س أُس أربعة، ناقص ستة س تكعيب، ناقص مية وخمسة س تربيع.

أول حاجة الدالة ن س دالة نسبية أو دالة كسرية، وهي عبارة عن فرق بين كسرين. وقبل ما هنوجد الدالة ن س في أبسط صورة، أو نبيّن مجالها، هنحلّل كلّ من البسط والمقام بتوع الكسرين اللي عندنا لعواملهم. فإحنا عندنا الدالة ن س تساوي س زائد تلاتة، على س تربيع ناقص تسعة وأربعين. ناقص تلاتة س تكعيب زائد واحد وعشرين س تربيع؛ على تلاتة س أُس أربعة، ناقص ستة س تكعيب، ناقص مية وخمسة س تربيع. فهنبدأ نحلّل كلّ من البسط والمقام بتوع الكسرين اللي عندنا لعواملهم.

بالنسبة للكسر الأول هو س زائد تلاتة على س تربيع ناقص تسعة وأربعين. بالنسبة للبسط واللي هو س زائد تلاتة، فمش هيتحلّل. أمّا المقام واللي هو س تربيع ناقص تسعة وأربعين، هنلاقيه عبارة عن فرق بين مربعين. نقدر نحلّله إلى س زائد سبعة، في س ناقص سبعة. أمّا الكسر التاني، فالبسط بتاعه هو تلاتة س تكعيب زائد واحد وعشرين س تربيع. هنلاقي إن إحنا ممكن نخرّج تلاتة س تربيع كعامل مشترك. فلمّا هنحلّله هيبقى عبارة عن تلاتة س تربيع، في س زائد سبعة.

أمّا المقام تلاتة س أُس أربعة، ناقص ستة س تكعيب، ناقص مية وخمسة س تربيع. فإحنا في الأول ممكن نخرّج تلاتة س تربيع كعامل مشترك. فهيبقى المقام عبارة عن تلاتة س تربيع، في القوس س تربيع ناقص اتنين س ناقص خمسة وتلاتين. وبالنسبة للقوس س تربيع ناقص اتنين س ناقص خمسة وتلاتين، نقدر نحلّله لـ س ناقص سبعة، في س زائد خمسة. يعني المقام بعد ما هنحلّله لعوامله هيبقى عبارة عن تلاتة س تربيع، في س ناقص سبعة، في س زائد خمسة.

بكده نقدر نقول إن الدالة ن س بعد ما هنحلّل كل من البسط والمقام بتوع الكسرين لعواملهم. تساوي س زائد تلاتة على؛ س زائد سبعة، في س ناقص سبعة. ناقص تلاتة س تربيع، في س زائد سبعة على؛ تلاتة س تربيع، في س ناقص سبعة، في س زائد خمسة.

بعد كده هنوجد المطلوب الأول، وهو إيجاد الدالة ن س في أبسط صورة. فإحنا وصلنا إن الدالة ن س تساوي س زائد تلاتة على؛ س زائد سبعة، في س ناقص سبعة. ناقص تلاتة س تربيع، في س زائد سبعة على؛ تلاتة س تربيع، في س ناقص سبعة، في س زائد خمسة. أول حاجة في الكسر التاني، هنلاحظ إن إحنا نقدر نختصر تلاتة س تربيع اللي موجودة في البسط، مع تلاتة س تربيع اللي موجودة في المقام. بكده الدالة ن س تساوي س زائد تلاتة على؛ س زائد سبعة، في س ناقص سبعة. ناقص س زائد سبعة على؛ س ناقص سبعة، في س زائد خمسة.

بعد كده هنلاحظ إن المقامين بتوع الكسرين مش زيّ بعض. فهنحتاج إن إحنا نوحّد المقامين؛ علشان نعرف نطرح الكسر التاني من الكسر الأول. وعلشان نوحّد المقامين، هنضرب كل من البسط والمقام بتوع الكسر الأول في س زائد خمسة. أمّا بالنسبة للكسر التاني، فهنضرب كل من البسط والمقام في س زائد سبعة. كده بقى عندنا المقامين بتوع الكسرين زيّ بعض، يعني وحّدنا المقامات. كده نقدر نطرح الكسرين. فهيبقى عندنا الدالة ن س تساوي س زائد تلاتة، في س زائد خمسة؛ ناقص س زائد سبعة، في س زائد سبعة. على؛ س زائد سبعة، في س ناقص سبعة، في س زائد خمسة.

بعد كده هنوجد س زائد تلاتة، في س زائد خمسة. وَ س زائد سبعة، في س زائد سبعة. بالنسبة لـ س زائد تلاتة، في س زائد خمسة؛ فهي تساوي س تربيع زائد تمنية س زائد خمستاشر. أمّا س زائد سبعة، في س زائد سبعة؛ فهي تساوي س تربيع زائد أربعتاشر س زائد تسعة وأربعين. معنى كده إن الدالة ن س تساوي س تربيع زائد تمنية س زائد خمستاشر، ناقص القوس س تربيع زائد أربعتاشر س زائد تسعة وأربعين. على؛ س زائد سبعة، في س ناقص سبعة، في س زائد خمسة.

بالنسبة للإشارة السالبة دي، فمعناها زائد سالب واحد، في القوس س تربيع زائد أربعتاشر س زائد تسعة وأربعين. فهنضرب سالب واحد، في القوس س تربيع زائد أربعتاشر س زائد تسعة وأربعين. وهنحوّل الإشارة السالبة لموجبة. معنى كده إن الدالة ن س تساوي س تربيع زائد تمنية س زائد خمستاشر. زائد سالب واحد، في القوس س تربيع زائد أربعتاشر س زائد تسعة وأربعين. على؛ س زائد سبعة، في س ناقص سبعة، في س زائد خمسة. بعد كده هنضرب سالب واحد، في القوس س تربيع زائد أربعتاشر س زائد تسعة وأربعين. بكده الدالة ن س تساوي س تربيع زائد تمنية س زائد خمستاشر، ناقص س تربيع ناقص أربعتاشر س ناقص تسعة وأربعين. على؛ س زائد سبعة، في س ناقص سبعة، في س زائد خمسة.

بعد كده هنختصر البسط. فبالنسبة للبسط هنلاقي س تربيع ناقص س تربيع يساوي صفر. وتمنية س ناقص أربعتاشر س يساوي سالب ستة س. وخمستاشر ناقص تسعة وأربعين يساوي سالب أربعة وتلاتين. معنى كده إن الدالة ن س تساوي سالب ستة س ناقص أربعة وتلاتين على؛ س زائد سبعة، في س ناقص سبعة، في س زائد خمسة. وبالنسبة للبسط، فإحنا نقدر نخرّج سالب اتنين كعامل مشترك. فلمّا هنخرّج سالب اتنين كعامل مشترك من البسط، فهتبقى الدالة ن س تساوي سالب؛ اتنين في، تلاتة س زائد سبعتاشر. على؛ س زائد سبعة، في س ناقص سبعة، في س زائد خمسة. وهي دي أبسط صورة للدالة ن س.

بعد كده هنوجد المطلوب التاني، وهو مجال الدالة ن س. الدالة ن س اللي عندنا دالة كسرية، أو دالة نسبية. ومجال الدالة النسبية أو الدالة الكسرية هو عبارة عن مجموعة الأعداد الحقيقية، ما عدا أصفار المقام. وأصفار المقام دي المقصود بيها قيم س اللي هتخلّي المقام يساوي صفر، واللي عندها هتبقى الدالة غير معرّفة. والدالة ن س اللي عندنا عبارة عن فرق بين كسرين. فبالتالي علشان نوجد مجالها، هنوجد أصفار المقام لكلا الكسرين.

فهنبدأ الأول نوجد أصفار المقام للكسر الأول س زائد تلاتة، على س تربيع ناقص تسعة وأربعين. علشان نوجد أصفار المقام، هنساوي المقام بتاع الكسر بصفر. والمقدار س تربيع ناقص تسعة وأربعين لمّا هنحلّله لعوامله، هيبقى عبارة عن س زائد سبعة، في س ناقص سبعة. معنى كده إن هيبقى س زائد سبعة، في س ناقص سبعة يساوي صفر. بعد كده هنستخدم خاصية الضرب الصفري، فهيبقى يا إمّا س زائد سبعة يساوي صفر، أو س ناقص سبعة يساوي صفر. معنى كده إن س تساوي سالب سبعة، أو س تساوي سبعة. معنى كده إن سالب سبعة، وسبعة؛ هي أصفار مقام الكسر س زائد تلاتة، على س تربيع ناقص تسعة وأربعين.

بعد كده هنوجد أصفار مقام الكسر التاني تلاتة س تكعيب زائد واحد وعشرين س تربيع. على، تلاتة س أُس أربعة ناقص ستة س تكعيب ناقص مية وخمسة س تربيع. فهنساوي المقام بتاع الكسر ده بصفر. يعني هيبقى عندنا تلاتة س أُس أربعة ناقص ستة س تكعيب ناقص مية وخمسة س تربيع يساوي صفر. وبالنسبة للمقدار تلاتة س أُس أربعة ناقص ستة س تكعيب ناقص مية وخمسة س تربيع. لمّا هنحلّله لعوامله، هيبقى عبارة عن تلاتة س تربيع، في س ناقص سبعة، في س زائد خمسة. معنى كده إن هيبقى تلاتة س تربيع، في س ناقص سبعة، في س زائد خمسة يساوي صفر.

بعد كده هنستخدم خاصية الضرب الصفري. معنى كده إن هيبقى يا إمّا تلاتة س تربيع يساوي صفر، أو س ناقص سبعة يساوي صفر، أو س زائد خمسة يساوي صفر. معنى كده إن س تساوي صفر، أو س تساوي سبعة، أو س تساوي سالب خمسة. معنى كده إن صفر، وسبعة، وسالب خمسة؛ هي أصفار مقام الكسر تلاتة س تكعيب زائد واحد وعشرين س تربيع. على، تلاتة س أُس أربعة ناقص ستة س تكعيب ناقص مية وخمسة س تربيع.

كده إحنا أوجدنا أصفار المقام لكلا الكسرين. بكده هيبقى مجال الدالة ن س يساوي ح، واللي هي مجموعة الأعداد الحقيقية فرق المجموعة: سالب سبعة، وسالب خمسة، وصفر، وسبعة. بكده إحنا أوجدنا الدالة ن س في أبسط صورة، وكمان أوجدنا المجال بتاعها.