فيديو: البعد بين نقطة ومستقيم في المستوى الإحداثي

أحمد مدحت

يوضِّح الفيديو كيفية إيجاد البعد بين نقطة ومستقيم في المستوى الإحداثي من خلال مثال توضيحي.

١٢:٣٩

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن البُعد بين نقطة ومستقيم في المستوى الإحداثي.

هدفنا مِ الفيديو إن إحنا نعرف إزّاي نقدر نجيب البُعد بين نقطة ومستقيم في المستوى الإحداثي. وده اللي هنعرفه من خلال مثال. هيظهر لنا المثال. في المثال اللي عندنا، المستقيم ل بيمُرّ بالنقطتين؛ النقطة الأولى إحداثياتها هي سالب خمسة وتلاتة. والنقطة التانية إحداثياتها هي أربعة وسالب ستة. وعايزين نوجد البُعد بين المستقيم ل، والنقطة أ اللي إحداثياتها هي اتنين وأربعة.

أول حاجة هنعملها إن إحنا هنجيب معادلة المستقيم ل. فهنبدأ نجيب ميل المستقيم ل، من خلال استخدام إحداثيات النقطتين اللي هو بيمُرّ بيهم. فقانون الميل هو إن الميل، واللي رمزه م، يساوي ص اتنين ناقص ص واحد على، س اتنين ناقص س واحد. هنبدأ نستخدم إحداثيات النقطتين اللي بيمُرّ بيهم المستقيم ل؛ علشان نجيب ميله. فهنبدأ نعوّض في القانون. يبقى الميل يساوي سالب ستة ناقص تلاتة على، أربعة ناقص سالب خمسة. فهنلاقي إن الميل بيساوي سالب تسعة على تسعة. يعني الميل بيساوي سالب واحد. وهو ده ميل المستقيم ل.

بعد كده، هنستخدم ميل المستقيم ل، وإحداثيات أيّ نقطة من النقط اللي بيمُرّ بيها؛ علشان نجيب مقطع المستقيم ل ده مع محور الصادات. فبالنسبة للصورة العامة لصيغة الميل والمقطع، هي ص تساوي م س زائد ج. بحيث إن م دي هتمثّل ميل المستقيم، أمَّا ج فهو مقطع المستقيم مع محور الصادات. وإحنا عايزين نجيب مقطع المستقيم ل مع محور الصادات، يعني عايزين نجيب ج. بالنسبة لميل المستقيم ل، فـ م تساوي سالب واحد. وهنستخدم إحداثيات أيّ نقطة من النقطتين اللي بيمُرّ بيهم المستقيم ل. وليكن هنستخدم النقطة اللي إحداثياتها هي أربعة وسالب ستة. يعني بالنسبة للزوج المرتَّب، اللي هيبقى س وَ ص، فهو هيساوي أربعة وسالب ستة.

هنبدأ نعوّض في المعادلة اللي عندنا؛ علشان نجيب قيمة ج. لمّا هنعوّض، هنلاقي سالب ستة يساوي سالب واحد في أربعة، زائد ج. فهنبسَّط المعادلة دي، فهتبقى سالب ستة يساوي سالب أربعة زائد ج. محتاجين نتخلّص من سالب أربعة، فهنضيف لطرفَي المعادلة أربعة. وبالتالي هنلاقي إن ج تساوي سالب اتنين. وهو ده مقطع المستقيم ل مع محور الصادات. بكده إحنا معانا ميل المستقيم ل، ومعانا كمان مقطعه مع محور الصادات. يعني نقدر نجيب معادلة المستقيم ل.

فلمّا هنستخدم صيغة الميل والمقطع، واللي هي ص تساوي م س زائد ج، هيبقى عندنا إن معادلة المستقيم ل هي: ص تساوي سالب س زائد سالب اتنين. يعني نقدر نقول: إن المعادلة هتبقى ص تساوي سالب س ناقص اتنين. وهي دي معادلة المستقيم ل.

هنكمّل المثال في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة، هيظهر لنا المثال اللي إحنا بنحلّه. بالنسبة لمعادلة المستقيم ل، فهي: ص تساوي سالب س ناقص اتنين. أمَّا بالنسبة لميل المستقيم ل، فهو سالب واحد. الخطوة اللي بعد كده بقى إن إحنا هنكتب معادلة المستقيم العمودي على المستقيم ل وبيمُرّ بالنقطة أ، اللي إحداثياتها هي اتنين وأربعة. هنفرض المستقيم ده هو المستقيم م.

علشان نبدأ نجيب معادلة المستقيم م، فإحنا محتاجين ميله ومقطعه مع محور الصادات. فبالنسبة لميله، هنجيبه من خلال ميل المستقيم ل؛ لأن المستقيم م عمودي على المستقيم ل. وبالتالي هيبقى بما أن ميل المستقيم ل يساوي سالب واحد، فإن ميل المستقيم م يساوي واحد. وده لأن حاصل ضرب الميلين بتوع المستقيمين المتعامدين بيساوي سالب واحد. فسالب واحد في واحد بيساوي سالب واحد.

بعد كده عايزين مقطع المستقيم م مع محور الصادات. فهنستخدم ميل المستقيم م اللي إحنا جِبناه مع إحداثيات النقطة اللي بيمُرّ بيها المستقيم، واللي هي اتنين وأربعة؛ علشان نجيب مقطعه مع محور الصادات. فبالنسبة لصيغة الميل والمقطع، فالصورة العامة بتاعتها: ص تساوي م س زائد ج، بحيث إن م دي هتمثّل ميل المستقيم، أمَّا ج فبتمثّل مقطع المستقيم مع محور الصادات. وده اللي إحنا عايزينه. فإحنا معانا ميل المستقيم م. هو إن الميل بتاع المستقيم م يساوي واحد. وكمان معانا إحداثيات نقطة بيمُرّ بيها المستقيم م، وهي اتنين وأربعة. وبالتالي هيبقى الزوج المرتَّب س وَ ص يساوي اتنين وأربعة.

هنبدأ نعوّض في الصورة العامة لصيغة الميل والمقطع، فهنلاقي إن المعادلة هتبقى: أربعة يساوي واحد في اتنين زائد ج. هنكتب المعادلة في أبسط صورة. فيبقى أربعة تساوي اتنين زائد ج. محتاجين نتخلّص من اتنين، فهنطرح من طرفَي المعادلة اتنين. وبالتالي هنلاقي إن ج تساوي اتنين. بكده بعد ما جِبنا قيمة ج، واللي بتمثّل مقطع المستقيم م مع محور الصادات، واللي هي بتساوي اتنين. يبقى معانا ميل المستقيم م، ومعانا كمان مقطعه مع محور الصادات. يعني هتبقى معادلة المستقيم م هي: ص تساوي س زائد اتنين.

إحنا بقى معانا معادلة المستقيم ل، وكمان معادلة المستقيم العمودي عليه، وهو المستقيم م. بعد كده هنحلّ نظام المعادلات؛ علشان نوجد نقطة تقاطُع المستقيم ل مع المستقيم م. بس ده هيكون في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة، هيظهر لنا معادلة المستقيم ل، ومعادلة المستقيم م. بالنسبة لنظام المعادلات اللي عندنا، هنلاقي إن إحنا نقدر نتخلّص من الـ س من خلال جمع المعادلتين. فهنجمع المعادلتين، هنلاقي إن اتنين ص يساوي صفر. بعد كده محتاجين نتخلّص من الاتنين اللي مضروبة في الـ ص، فهنقسم طرفَي المعادلة على اتنين. فهنلاقي إن ص تساوي صفر.

بعد ما جِبنا قيمة ص، هنستخدم قيمة ص دي علشان نجيب قيمة س، من خلال إن إحنا هنعوّض بقيمة ص دي في أيّ معادلة من المعادلتين اللي عندنا. فهنعوّض بقيمة ص في معادلة المستقيم م، فهنلاقي إن المعادلة هتبقى: صفر يساوي س زائد اتنين. محتاجين نتخلّص من موجب اتنين، فهنطرح من طرفَي المعادلة اتنين. فهنلاقي إن س تساوي سالب اتنين. معنى كده إن هتبقى نقطة التقاطُع، واللي هنرمز لها بالرمز ن، هتبقى إحداثياتها هي سالب اتنين وصفر. وهي دي نقطة التقاطُع بين المستقيم ل والمستقيم م.

علشان نتأكّد من نقطة التقاطُع، نقدر نرسم المستقيمين ل وَ م في المستوى الإحداثي؛ علشان نجيب نقطة التقاطُع بيانيًّا. هيظهر لنا المستوى الإحداثي ممثَّل عليه بيانيًّا المستقيم ل والمستقيم م. هنلاقي في المستوى الإحداثي اللي عندنا إن المستقيم ل والمستقيم م اتقاطعوا في النقطة دي، واللي سمّيناها ن، واللي إحداثياتها هي سالب اتنين وصفر. وهو هواه نفس إحداثيات النقطة اللي إحنا جِبناها قبل كده، واللي هو سالب اتنين وصفر.

بالنسبة للمثال، فإحنا عايزين البُعد ما بين المستقيم ل والنقطة أ. بالنسبة للمستقيم ل والمستقيم م، فهمّ متعامدين. معنى كده إن طول القطعة المستقيمة أ ن هيمثّل البُعد ما بين النقطة أ والمستقيم ل. وبكده يبقى في الخطوة الأخيرة هنستخدم صيغة المسافة بين نقطتين. علشان نجيب المسافة ما بين النقطة أ، واللي إحداثياتها هي اتنين وأربعة، والنقطة ن، واللي إحداثياتها هي سالب اتنين وصفر.

هنشوف ده في صفحة تانية. هنقلب الصفحة. هنبدأ نجيب المسافة بين النقطتين أ وَ ن. بالنسبة لصيغة المسافة بين نقطتين. فهي ف، واللي بتمثّل المسافة بين نقطتين، تساوي الجذر التربيعي لـ س اتنين ناقص س واحد الكل تربيع، زائد ص اتنين ناقص ص واحد الكل تربيع. بعد كده هنستخدم إحداثيات النقطتين أ وَ ن؛ علشان نجيب المسافة بينهم. فإحنا عندنا إحداثيات النقطة أ هي اتنين وأربعة. فيبقى س واحد يساوي اتنين، وَ ص واحد يساوي أربعة. أمَّا بالنسبة لإحداثيات النقطة ن، فهي سالب اتنين وصفر. فيبقى س اتنين تساوي سالب اتنين، وَ ص اتنين تساوي صفر.

هنبدأ بعد كده نعوّض في صيغة المسافة بين نقطتين. فهيبقى ف تساوي الجذر التربيعي لسالب اتنين ناقص اتنين الكل تربيع، زائد صفر ناقص أربعة الكل تربيع. فهنلاقي إن ف بتساوي الجذر التربيعي لاتنين وتلاتين. بما إن ف بتساوي الجذر التربيعي لاتنين وتلاتين. ده معناه إن البُعد بين النقطة أ، اللي إحداثيات هي اتنين وأربعة، والمستقيم ل يساوي الجذر التربيعي لاتنين وتلاتين. واللي تقريبًا بيساوي خمسة وستة وستين من مية وحدة.

بكده في الفيديو ده، يبقى إحنا عرفنا إزّاي نقدر نجيب البُعد بين نقطة ومستقيم في المستوى الإحداثي. عندنا أربع خطوات؛ الخطوة الأولى: إن إحنا هنجيب معادلة المستقيم اللي عندنا. الخطوة التانية: إن إحنا هنجيب معادلة مستقيم يكون عمودي على المستقيم اللي عندنا، ويمرّ بالنقطة اللي إحنا هنجيب ما بينها وما بين المستقيم البُعد. كده بقى عندنا معادلتين. يعني عندنا نظام من المعادلات. في الخطوة التالتة: هنحلّ نظام المعادلات ده؛ علشان نجيب نقطة التقاطُع بين المستقيمين. أمَّا في الخطوة الرابعة والأخيرة، فهنستخدم فيها صيغة المسافة بين نقطتين. وده علشان نجيب المسافة بين نقطة التقاطُع بين المستقيمين والنقطة اللي إحنا عايزين نجيب ما بينها وبين المستقيم البُعد.

وبكده يبقى إحنا جِبنا البُعد بين نقطة ومستقيم في المستوى الإحداثي.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.