فيديو السؤال: مطابقة قاعدة دالة كسرية بتمثيلها البياني الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أي التمثيلات البيانية الآتية يمثل الدالة ﺩﺱ يساوي واحدًا على ﺱ زائد واحد؟

لدينا أربعة خيارات للاختيار من بينها. لنفكر في الشكل الذي يجب أن يكون عليه التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ، ونستبعد التمثيلات البيانية التي نرى أنها لا يمكن أن تكون صحيحة.

أولًا، لنفكر ما المكان الذي يفترض أن تكون فيه خطوط التقارب الرأسية للتمثيل البياني للدالة ﺩﺱ. حددت خطوط التقارب الرأسية للخيارات الأربعة. يكون للدالة الكسرية خط تقارب رأسي عندما يكون مقامها صفرًا. مقام الدالة الكسرية في هذه المسألة ﺱ زائد واحد. إذن، التمثيل البياني لهذه الدالة يشمل خط تقارب رأسيًا عندما يكون ﺱ زائد واحد يساوي صفرًا، أو بعبارة أخرى عند ﺱ يساوي سالب واحد.

لنمر على الخيارات التي لدينا تباعًا ونتحقق من وجود خط التقارب لكل منها في مكانه الصحيح. نرى أن الخيار (أ) يتضمن خط تقارب رأسيًا عند ﺱ يساوي صفرًا، ولكن ليس به خط تقارب رأسي عند ﺱ يساوي سالب واحد. لا يمكن أن يكون هذا هو التمثيل البياني للدالة. ماذا عن الخيار (ب)؟ يتضمن هذا التمثيل البياني خط تقارب رأسيًا عند ﺱ يساوي واحدًا. مرة أخرى، هذا ليس ما نبحث عنه. يتضمن الخيار (ج) خط تقارب رأسيًا في المكان الصحيح عند ﺱ يساوي سالب واحد. إذن هذا الخيار محتمل أن يكون الإجابة. وبالمثل في الخيار (د)، حيث به أيضًا خط تقارب رأسي عند ﺱ يساوي سالب واحد. هذان التمثيلان البيانيان يتضمنان خط تقارب أفقيًا عند ﺹ يساوي صفرًا.

بالنظر إلى تعريف الدالة ﺩﺱ، يبدو هذا منطقيًا. مع اقتراب ﺱ من ما لا نهاية حيث تزداد قيمة ﺱ، فإن قيمة الدالة ﺩﺱ، وهي واحد على ﺱ زائد واحد، تقترب أكثر فأكثر من الصفر. وبالمثل، مع اقتراب ﺱ من سالب ما لا نهاية حيث يساوي ﺱ سالب ١٠٠٠ وسالب ١٠٠٠٠ وسالب ١٠٠٠٠٠٠، وهكذا، فإن قيمة الدالة ﺩﺱ التي تساوي واحد على ﺱ زائد واحد تقترب أكثر فأكثر من الصفر. إذن كيف سنختار بين هذين التمثيلين البيانيين؟ لدينا التمثيل البياني (ج)، حيث تكون إشارة الدالة ﺩﺱ سالبة على يسار خط التقارب الرأسي وموجبة على يمينه. على سبيل المثال، يبدو في هذا التمثيل البياني أن ﺩ لسالب اثنين يساوي سالب واحد. ومن ثم تكون إشارة الدالة هنا سالبة. وعلى الجانب الآخر، ﺩ لصفر تساوي واحدًا.

أما في الخيار (د)، فالعكس صحيح. على يسار خط التقارب، تبدو إشارة الدالة موجبة. وعلى يمينه، تبدو سالبة. على سبيل المثال، يوضح ذلك أن ﺩ لسالب اثنين على يسار خط التقارب قيمتها موجبة وتساوي واحدًا، وﺩ لصفر على يمين خط التقارب قيمتها سالبة وتساوي سالب واحد.

للاختيار من بين الخيارين المتبقيين، علينا التفكير فيما يحدث على يسار خط التقارب الرأسي عند ﺱ أصغر من سالب واحد. والتفكير فيما يحدث على يمين خط التقارب الرأسي عندما يكون ﺱ أكبر من سالب واحد. يمكنك إثبات أنه عند ﺱ أصغر من سالب واحد، فإن قيمة الدالة ﺩﺱ، التي تساوي واحدًا على ﺱ زائد واحد، يجب أن تكون أصغر من صفر. وعند ﺱ أكبر من سالب واحد، فإن الدالة ﺩﺱ التي تساوي واحدًا على ﺱ زائد واحد يجب أن تكون أكبر من صفر. لكن، هناك طريقة أسهل. يمكننا ببساطة إيجاد قيمة ﺩ لصفر.

في الخيار (ج)، يبدو أن ﺩ لصفر تساوي واحدًا تقريبًا. قد نكون غير متأكدين تمامًا من القيمة التي تساويها ﺩ لصفر من التمثيل البياني، ولكننا نعلم على الأقل أنها قيمة موجبة، في حين يبدو في الخيار (د) أن ﺩ لصفر قيمتها سالبة. نوجد قيمة ﺩ لصفر باستخدام تعريف الدالة في المسألة. بالتعويض عن ﺱ بصفر، نحصل على واحد على صفر زائد واحد. وهذا يساوي واحدًا بالطبع. وبناء على هذه الحقيقة، يمكننا استبعاد الخيار (د) حيث ﺩ لصفر يبدو أن قيمتها سالب واحد، وتحديد الخيار (ج) ليكون الإجابة الصحيحة.