فيديو السؤال: اشتقاق الدوال التي تتضمن نسبًا مثلثية باستخدام الاشتقاق اللوغاريتمي الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد دﺹ على ﺩﺱ، إذا كان ﺹ يساوي ثمانية في جا أربعة ﺱ الكل أس اثنين ﺱ.

المطلوب منا هنا هو إيجاد مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. لكن إذا نظرنا إلى الدالة ﺹ، سنجد أن لدينا الأس اثنين ﺱ، وهو تعبير بدلالة ﺱ. ما يعني أنه لا يمكننا تطبيق قواعد الاشتقاق المعتادة مباشرة أي قاعدة حاصل الضرب أو قاعدة القسمة أو قاعدة السلسلة. لكن ما يمكننا فعله هو استخدام الاشتقاق اللوغاريتمي. وهو عملية مكونة من أربع خطوات للدالة ﺹ تساوي ﺩ ﺱ، حيث الخطوة الأولى هي أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين، مع تذكر أن اللوغاريتم الطبيعي هو اللوغاريتم للأساس ﻫ؛ حيث ﻫ هو عدد أويلر، ويساوي تقريبًا ٢٫٧١٨٢٨ وهكذا مع توالي الأرقام.

في هذه الحالة، لدينا ﺹ يساوي ثمانية في جا أربعة ﺱ الكل أس اثنين ﺱ، ومن ثم نأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين. عند هذه النقطة، علينا تحديد أن ﺹ يجب أن يكون أكبر من صفر. هذا لأن لوغاريتم صفر غير معرف واللوغاريتم غير موجود للقيم السالبة. إذا أردنا تضمين قيمًا سالبة، فعلينا أيضًا وضع كل من ﺹ وﺩ ﺱ داخل علامتي القيمة المطلقة، وفي هذه الحالة، تحديد أن ﺹ لا يساوي صفرًا. لكن بالنسبة إلى هذه المسألة، سنحدد فقط أن ﺹ أكبر من صفر.

والآن، سيتضح في الخطوة الثانية في الاشتقاق اللوغاريتمي كيف سيساعدنا أخذ اللوغاريتمات. نستخدم قوانين اللوغاريتمات لفك أو تبسيط الطرف الأيسر. وبما أن لدينا أسًّا في مدخل اللوغاريتم في الطرف الأيسر، سنستخدم قاعدة القوة للوغاريتمات. تنص هذه القاعدة على أن لوغاريتم ﺏ أس ﺟ للأساس ﺃ يساوي ﺟ في لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ. ما يعني أننا نكتب الأس ﺟ بالأسفل أمام اللوغاريتم ونضربه فيه. في هذه الحالة، هذا يعني أن اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ يساوي اثنين ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لثمانية جا أربعة ﺱ. نرى الآن، أنه في الطرف الأيسر، لدينا حاصل ضرب تعبيرين بدلالة ﺱ.

وهذا يقودنا إلى الخطوة الثالثة في الاشتقاق اللوغاريتمي، وهي اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى ﺱ. بما أن لدينا حاصل ضرب في الطرف الأيسر، يمكننا استخدام قاعدة حاصل الضرب للاشتقاق. وتنص هذه القاعدة على أنه إذا كان ﻉ وﻕ دالتين قابلتين للاشتقاق لـ ﺱ، فإن ﺩ على ﺩﺱ لـ ﻉﻕ، أي حاصل الضرب، يساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. الآن، إذا جعلنا ﻉ يساوي اثنين ﺱ وﻕ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لثمانية في جا أربعة ﺱ، فإنه لاستخدام قاعدة حاصل الضرب، علينا إيجاد ﺩﻕ على ﺩﺱ وﺩﻉ على ﺩﺱ. وبالنظر نجد أن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي اثنين. أما لاشتقاق ﻕ، يمكننا استخدام النتيجة التي تنص على أن ﺩ على ﺩﺱ للوغاريتم الطبيعي لدالة قابلة للاشتقاق ﺩ ﺱ يساوي واحدًا على ﺩ ﺱ في ﺩﺩ على ﺩﺱ.

إذن ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على ثمانية جا أربعة ﺱ في ﺩ على ﺩﺱ لثمانية جا أربعة ﺱ. ولاشتقاق ثمانية جا أربعة ﺱ، نستخدم حقيقة أن ﺩ على ﺩﺱ لـ جا ﻉ، حيث ﻉ دالة قابلة للاشتقاق في المتغير ﺱ، يساوي ﺩﻉ على ﺩﺱ في جتا ﻉ، بحيث يصبح ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على ثمانية في جا أربعة ﺱ الكل في أربعة في ثمانية جتا أربعة ﺱ. لدينا العامل المشترك ثمانية في المقام والبسط، ومن ثم يحذف كل منهما الآخر، بحيث يصبح لدينا ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي أربعة جتا أربعة ﺱ على جا أربعة ﺱ. إذن لدينا ﻉ يساوي اثنين ﺱ، وﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي اثنين، وﻕ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لثمانية جا أربعة ﺱ، وﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي أربعة جتا أربعة ﺱ على جا أربعة ﺱ.

ولمزيد من التبسيط، يمكننا القول إنه بما أن جتا على جا هو ظتا، فإن ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي أربعة في ظتا أربعة ﺱ. والآن بتطبيق قاعدة حاصل الضرب للاشتقاق على الطرف الأيسر، يصبح لدينا اثنان ﺱ، أي ﻉ، في أربعة في ظتا أربعة ﺱ، أي ﺩﻕ على ﺩﺱ، زائد اللوغاريتم الطبيعي لثمانية جا أربعة ﺱ، أي ﻕ، في اثنين، أي ﺩﻉ على ﺩﺱ. وبإفراغ بعض المساحة، يمكننا إعادة كتابة ذلك وإعادة ترتيبه. ليصبح لدينا ﺩ على ﺩﺱ للوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ يساوي اثنين في اللوغاريتم الطبيعي لثمانية جا أربعة ﺱ زائد ثمانية ﺱ في ظتا أربعة ﺱ.

لم ننته بعد من الخطوة الثالثة؛ حيث ما زلنا بحاجة إلى اشتقاق اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ. ومرة أخرى، يمكننا استخدام النتيجة المعروفة التي تنص على أن ﺩ على ﺩﺱ للوغاريتم الطبيعي للدالة ﺩ ﺱ يساوي واحدًا على ﺩ ﺱ في ﺩﺩ على ﺩﺱ. وبما أن ﺹ هي بالفعل دالة في المتغير ﺱ، فإن الطرف الأيمن يساوي واحدًا على ﺹ في دﺹ على ﺩﺱ. هذا يقودنا إلى الخطوة الأخيرة في الاشتقاق اللوغاريتمي، وهي الحل لإيجاد دﺹ على ﺩﺱ.

يمكننا فعل ذلك بضرب كلا الطرفين في ﺹ بحيث إنه في الطرف الأيمن يحذف ﺹ كل منهما الآخر، ويتبقى لدينا دﺹ في ﺩﺱ. في الطرف الأيسر، يمكننا إعادة كتابة الدالة ﺹ بحيث نضرب في ثمانية جا أربعة ﺱ أس اثنين ﺱ ونخرج العامل المشترك اثنين. إذن، باستخدام الاشتقاق اللوغاريتمي لاشتقاق الدالة ﺹ تساوي ثمانية جا أربعة ﺱ الكل أس اثنين ﺱ، حصلنا على دﺹ على ﺩﺱ يساوي اثنين في ثمانية جا أربعة ﺱ أس اثنين ﺱ، مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لثمانية جا أربعة ﺱ زائد أربعة ﺱ في ظتا أربعة ﺱ.