نسخة الفيديو النصية
إذا كان قياس الزاوية الحادة الواقعة بين الخطين المستقيمين اللذين معادلتاهما ﻙﺹ ناقص اثنين ﺱ زائد ١٩ يساوي صفرًا وتسعة ﺱ ناقص سبعة ﺹ ناقص ثمانية يساوي صفرًا يساوي 𝜋 على أربعة، فأوجد جميع قيم ﻙ الممكنة.
في هذا السؤال، لدينا معادلتا خطين مستقيمين، وكلاهما معطى في الصورة العامة. ويمكننا ملاحظة أن إحدى معادلتي هذين الخطين المستقيمين تتضمن القيمة المجهولة ﻙ. وعلينا تحديد قيمة ﻙ. ورد في السؤال أن قياس الزاوية الحادة بين الخطين المستقيمين يساوي 𝜋 على أربعة. وجدير بالذكر أنه علينا تحديد جميع قيم ﻙ الممكنة؛ لذا قد تكون هناك عدة حلول صحيحة أو لا توجد حلول.
لحل السؤال، دعونا نبدأ بتذكر كيفية إيجاد قياس الزاوية الحادة المحصورة بين خطين مستقيمين. نعلم أنه إذا كانت 𝛼 هي الزاوية الحادة بين خطين مستقيمين ميلهما ﻡ واحد وﻡ اثنان، فإن ظا 𝛼 سيساوي القيمة المطلقة لـ ﻡ واحد ناقص ﻡ اثنين مقسومًا على واحد زائد ﻡ واحد مضروبًا في ﻡ اثنين. إذا عرفنا ميلي الخطين المستقيمين ﻡ واحد وﻡ اثنين، فيمكننا إيجاد قيمة 𝛼 بحساب الدالة العكسية للظل لطرفي المعادلة. لكننا في هذه المسألة لا نريد إيجاد قيمة 𝛼. وذلك لأننا نعلم بالفعل أن 𝛼 تساوي 𝜋 على أربعة. ولكن نريد إيجاد قيمة ﻙ. بما أننا نعرف قيمة 𝛼، يمكننا التعويض بها في المعادلة. يمكننا بعد ذلك استخدام المعادلتين المعطاتين لإيجاد مقدارين يمثلان ميلي الخطين المستقيمين.
لنبدأ بميل الخط المستقيم الأول. نريد إيجاد ميل الخط المستقيم ﻙﺹ ناقص اثنين ﺱ زائد ١٩ يساوي صفرًا. يمكننا ملاحظة أن معادلة هذا الخط معطاة في الصورة العامة، ومن الصعب تحديد ميل خط مستقيم عندما تكون معادلته معطاة في الصورة العامة. لذا دعونا نعد ترتيب هذه المعادلة في صيغة الميل والمقطع. نبدأ بإضافة اثنين ﺱ إلى طرفي المعادلة وطرح ١٩ من طرفي المعادلة. نحصل على ﻙﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص ١٩.
بعد ذلك، سنقسم الطرفين على ﻙ. وهذا يعطينا ﺹ يساوي اثنين ﺱ على ﻙ ناقص ١٩ على ﻙ. جدير بالذكر أننا نضع فرضًا هنا. نحن نفترض أن قيمة ﻙ لا تساوي صفرًا. إذا كانت قيمة ﻙ تساوي صفرًا، فيمكن تبسيط هذه المعادلة إلى سالب اثنين ﺱ زائد ١٩ يساوي صفرًا. ثم يمكننا إعادة ترتيب المعادلة لنحصل على ﺱ يساوي ١٩ على اثنين. بعبارة أخرى، سيكون هذا الخط المستقيم رأسيًّا عند ١٩ على اثنين.
بما أن الخطوط المستقيمة الرأسية ليس لها ميل معرف، فلا يمكننا استخدام هذه الصيغة لتحديد قياس الزاوية بين مستقيمين إذا كان أحدهما خطًّا مستقيمًا رأسيًّا. لذا علينا التعامل في هذه الحالة مع كل مستقيم على حدة. لكن يمكننا تحديد ميل الخط المستقيم الثاني بالطريقة نفسها. نبدأ بإضافة سبعة ﺹ إلى طرفي المعادلة. نحصل على سبعة ﺹ يساوي تسعة ﺱ ناقص ثمانية. ثم نقسم طرفي المعادلة على سبعة. ﺹ يساوي تسعة على سبعة ﺱ ناقص ثمانية على سبعة.
قبل أن نستخدم هذه الصيغة، دعونا نتناول الآن الحالة التي تكون فيها قيمة ﻙ تساوي صفرًا. سنبدأ برسم الخط المستقيم الأول. وهو خط مستقيم رأسي عند ١٩ على اثنين. علمنا من معطيات السؤال أن قياس الزاوية الواقعة بين الخطين المستقيمين تساوي 𝜋 على أربعة. ويمكننا ملاحظة أن هذا الخط المستقيم الرأسي يوازي المحور ﺹ. من ثم قياس الزاوية الواقعة بين هذا الخط المستقيم وأي خط مستقيم آخر ستكون هي نفسها الزاوية بين ذلك الخط المستقيم الآخر والمحور ﺹ؛ حيث إنه قاطع لمستقيمين متوازيين. ويوضح السؤال تحديدًا أن قياس هذه الزاوية يساوي 𝜋 على أربعة. ومن ثم نلاحظ أيضًا أن قياس الزاوية التي يصنعها الخط المستقيم مع الاتجاه الموجب للمحور ﺱ سيساوي أيضًا 𝜋 على أربعة. وسيكون الخط المستقيم الوحيد الذي يصنع زاوية قياسها 𝜋 على أربعة بهذه الطريقة مع الاتجاه الموجب للمحور ﺱ يكون ميله يساوي واحدًا.
تجدر الإشارة هنا إلى أننا وضعنا افتراضًا. لقد افترضنا أن ميل هذا الخط المستقيم له قيمة موجبة. ولن يختلف الأمر إذا افترضنا أن ميل الخط المستقيم له قيمة سالبة. وكنا، في هذه الحالة، سنجد أن قياس الزاوية مع الاتجاه السالب للمحور ﺱ يساوي 𝜋 على أربعة. ومن ثم، سيكون ميله سالب واحد. وفي كلتا الحالتين، يمكننا إثبات أن ذلك لا يتحقق هنا. بما أننا أوجدنا بالفعل ميل الخط المستقيم الثاني، فإن ميل الخط المستقيم الثاني في صيغة الميل والمقطع هو عبارة عن معامل ﺱ، الذي يساوي تسعة على سبعة. وهذا ليس سالب واحد أو موجب واحد. من ثم قيمة ﻙ لا يمكن أن تساوي صفرًا. بعد أن أثبتنا أن قيمة ﻙ لا تساوي صفرًا، دعونا نفرغ بعض المساحة ونتابع الحل بهذه الطريقة.
يمكننا إيجاد ميلي الخطين المستقيمين باعتبار أنهما معاملا ﺱ. ﻡ واحد يساوي اثنين على ﻙ، وﻡ اثنان يساوي تسعة على سبعة. يمكننا الآن التعويض بهاتين القيمتين في الصيغة مع الأخذ في الاعتبار أن 𝛼 تساوي 𝜋 على أربعة. بالتعويض بهذه القيم، نحصل على ظا 𝜋 على أربعة يساوي القيمة المطلقة لاثنين على ﻙ ناقص تسعة على سبعة مقسومًا على واحد زائد اثنين على ﻙ في تسعة على سبعة. وهكذا، أصبحت المعادلة بالكامل بدلالة ﻙ. إذن، يمكننا حل المعادلة لإيجاد قيم ﻙ.
لنبدأ بتبسيط الطرف الأيسر من هذه المعادلة. سنبدأ بالبسط. نريد ضرب اثنين على ﻙ في سبعة على سبعة وتسعة على سبعة في ﻙ مقسومًا على ﻙ. بعد إجراء ذلك ثم التبسيط، نحصل على ١٤ ناقص تسعة ﻙ الكل مقسوم على سبعة ﻙ. يمكننا أيضًا تبسيط المقام. اثنان على ﻙ في تسعة على سبعة يساوي ١٨ على سبعة ﻙ. ومن ثم يمكن تبسيط الطرف الأيسر من هذه المعادلة لنحصل على القيمة المطلقة لـ ١٤ ناقص تسعة ﻙ على سبعة ﻙ مقسومًا على واحد زائد ١٨ على سبعة ﻙ. يمكننا إيجاد قيمة الطرف الأيمن من المعادلة. 𝜋 ظا على أربعة يساوي واحدًا.
ما زلنا بحاجة إلى تبسيط الطرف الأيسر من هذه المعادلة. سنفعل ذلك بضرب كل من البسط والمقام في سبعة ﻙ. وبالقيام بذلك والتبسيط، نحصل على واحد يساوي القيمة المطلقة لـ ١٤ ناقص تسعة ﻙ مقسومًا على سبعة ﻙ زائد ١٨. يمكننا الآن حل هذه المعادلة باعتبارها معادلة قيمة مطلقة. نتذكر أنه إذا كانت القيمة المطلقة لـ ﺱ تساوي واحدًا، فهذا يعني أن ﺱ يساوي إما واحدًا أو سالب واحد. وهكذا يصبح لدينا معادلتان. إما ١٤ ناقص تسعة ﻙ على سبعة ﻙ زائد ١٨ يساوي واحدًا أو ١٤ ناقص تسعة ﻙ على سبعة ﻙ زائد ١٨ يساوي سالب واحد.
يمكننا حل هاتين المعادلتين لإيجاد قيمة ﻙ. في المعادلة الأولى، نضرب الطرفين في سبعة ﻙ زائد ١٨. هذا يعطينا سبعة ﻙ زائد ١٨ يساوي ١٤ ناقص تسعة ﻙ. يمكننا بعد ذلك إضافة تسعة ﻙ إلى طرفي المعادلة وطرح ١٨ من طرفي المعادلة. هذا يعطينا ١٦ﻙ يساوي سالب أربعة. وأخيرًا، سنقسم طرفي المعادلة على ١٦. نحصل على ﻙ يساوي سالب أربعة على ١٦، وهو ما يبسط إلى سالب ربع. يمكننا اتباع الخطوات نفسها في المعادلة الثانية. نضرب الطرفين في سبعة ﻙ زائد ١٨. نحصل على سالب سبعة ﻙ ناقص ١٨ يساوي ١٤ ناقص تسعة ﻙ.
يمكننا الآن حل هذه المعادلة بإضافة تسعة ﻙ إلى طرفي المعادلة وإضافة ١٨ إلى طرفي المعادلة. وهذا يعطينا اثنين ﻙ يساوي ٣٢. ويمكننا إيجاد قيمة ﻙ بقسمة طرفي المعادلة على اثنين. نحصل على ﻙ يساوي ١٦، وبهذا نحصل على الإجابة النهائية. إذا كان قياس الزاوية الحادة الواقعة بين الخطين المستقيمين المعطيين يساوي 𝜋 على أربعة، فلن يكون هناك سوى قيمتين ممكنتين لـ ﻙ. إما ﻙ يساوي سالب ربع أو ﻙ يساوي ١٦.
