نسخة الفيديو النصية
محل حلوى يبيع كيس حلوى الخطمي بمبلغ ٥ جنيهات مصرية وكيس حلوى الجيلي بمبلغ ٦ جنيهات مصرية. يريد طفل شراء كلا النوعين، ويوضح الشكل الآتي الشروط المفروضة على ما يمكن للطفل شراؤه؛ حيث ﺱ يمثل عدد أكياس حلوى الخطمي التي يمكنه شراؤها، وﺹ يمثل عدد أكياس حلوى الجيلي التي يمكنه شراؤها. ما أقل سعر يمكن للطفل أن يدفعه في تلك الحالة؟
هذا مثال لمسألة برمجة خطية. لدينا شروط أو قيود مفروضة على كمية كل نوع من الحلوى. ويمكن كتابة هذه القيود على صورة متباينات. يقودنا هذا إلى منطقة حل، كما هو موضح على الشكل. ويمكن إيجاد الحل الأمثل، وهو في هذا السؤال أقل سعر، عند أحد رءوس منطقة الحل هذه.
هيا نبدأ بإيجاد معادلات الخطوط المستقيمة الثلاثة الموجودة على الشكل. يقطع الخط الرأسي المحور ﺱ عند أربعة. إذن معادلة هذا الخط المستقيم هي ﺱ يساوي أربعة. وبما أن المنطقة المظللة تقع على يسار هذا المستقيم، والخط المستقيم متصل، فإن هذا يناظر المتباينة: ﺱ أقل من أو يساوي أربعة. يقطع الخط الأفقي المحور ﺹ عند ثلاثة. ومن ثم، فإن معادلة هذا الخط المستقيم هي: ﺹ يساوي ثلاثة. تقع المنطقة المظللة أسفل هذا المستقيم. وبما أن الخط المستقيم متصل، تكون المتباينة هنا هي ﺹ أقل من أو يساوي ثلاثة.
وأخيرًا: لدينا خط مستقيم قطري له ميل سالب. وهو يقطع كلًّا من المحور ﺱ والمحور ﺹ عند ستة. مجموع قيمتي الإحداثيين ﺱ وﺹ لكل نقطة على هذا الخط المستقيم يساوي ستة. وعليه فإن معادلة الخط المستقيم هي: ﺱ زائد ﺹ يساوي ستة. وهو أيضًا خط مستقيم متصل. لكن هذه المرة، تقع المنطقة المظللة أعلى الخط المستقيم، وهو ما يعطينا المتباينة: ﺱ زائد ﺹ أكبر من أو يساوي ستة. وهذه هي الشروط الثلاثة المفروضة على عدد أكياس الحلوى التي يمكن للطفل شراؤها. فيمكنه شراء أربعة أكياس من الخطمي على الأكثر، وثلاثة أكياس من حلوى الجيلي على الأكثر، وستة أكياس أو أكثر من الحلوى إجمالًا.
خطوتنا التالية هي إيجاد دالة الهدف بدلالة المتغيرين ﺱ وﺹ. علمنا أن تكلفة كيس الخطمي خمسة جنيهات مصرية. إذن التكلفة الكلية لأكياس حلوى الخطمي تساوي خمسة ﺱ. تكلفة كيس حلوى الجيلي ستة جنيهات مصرية. ومن ثم، فإن التكلفة الكلية لأكياس حلوى الجيلي تساوي ستة ﺹ. وهذا يعطينا التكلفة الإجمالية ﺕ يساوي خمسة ﺱ زائد ستة ﺹ.
وكما ذكرنا من قبل، توجد القيم العظمى والصغرى عند أحد رءوس منطقة الحل. في هذا السؤال، إحداثيات هذه الرءوس هي ثلاثة، ثلاثة؛ وأربعة، اثنان؛ وأربعة، ثلاثة. يمكننا الآن التعويض بقيم ﺱ وﺹ في المقدار الذي يعبر عن التكلفة لإيجاد أقل سعر ممكن. عند النقطة ثلاثة، ثلاثة، فإن التكلفة تساوي خمسة مضروبًا في ثلاثة زائد ستة مضروبًا في ثلاثة. هذا يساوي ١٥ زائد ١٨، أي ٣٣ جنيهًا مصريًّا. وعند النقطة أربعة، اثنين، فإن ﺕ يساوي خمسة مضروبًا في أربعة زائد ستة مضروبًا في اثنين. هذا يساوي ٢٠ زائد ١٢، وهو ما يساوي ٣٢ جنيهًا مصريًّا. إذن تبلغ تكلفة شراء أربعة أكياس من الخطمي وكيسين من حلوى الجيلي ٣٢ جنيهًا مصريًّا.
من الواضح أن التعويض بـ ﺱ يساوي أربعة وﺹ يساوي ثلاثة سيعطينا قيمة أكبر من ذلك؛ لأننا نشتري أربعة أكياس من حلوى الخطمي، لكن نريد ثلاثة أكياس من حلوى الجيلي هذه المرة. وعند تكملة ذلك، نجد أن هذا يساوي ٣٨ جنيهًا مصريًّا، وهو ما يزيد عن القيمة السابقة بمقدار ستة جنيهات. مطلوب منا إيجاد أقل سعر ممكن. وأقل سعر بناء على القيود الموضحة في الشكل هو ٣٢ جنيهًا مصريًّا. ونحصل على ذلك عند ﺱ يساوي أربعة وﺹ يساوي اثنين، وهو ما يعني أن ﺱ زائد ﺹ يساوي ستة. هذا يعني أن الطفل يشتري أربعة أكياس من حلوى الخطمي، وكيسين من حلوى الجيلي؛ أي ستة أكياس إجمالًا.
