فيديو السؤال: ضرب ثلاث مصفوفات معطاة الرياضيات

انظر المصفوفاتﺃ = [٠‎، ١]، ﺏ = [−٤‎، ١‎، −٦‎، ٦]، ﺟ = [٥‎، ٣]. أوجد ﺃﺟﺏ، ﺏﺃﺟ، إن أمكن.

٠٨:٥١

‏نسخة الفيديو النصية

انظر المصفوفات ﺃ يساوي صفرًا، واحدًا، ﺏ يساوي سالب أربعة، واحدًا، سالب ستة، ستة، ﺟ يساوي خمسة، ثلاثة. أوجد ﺃﺟﺏ وﺏﺃﺟ إن أمكن.

في هذه المسألة، سنتناول ضرب المصفوفات. لذا علينا أولًا أن نتذكر شيئًا عن ضرب المصفوفات. وهو أنه لضرب مصفوفتين معًا، يجب أن يكون عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى مساويًا لعدد الصفوف في المصفوفة الثانية. حسنًا، إذا ألقينا نظرة على المصفوفات الثلاث، فالمصفوفة ﺃ رتبتها اثنان في واحد. هذا يعني أن لدينا صفين وعمودًا واحدًا. والمصفوفة ﺏ رتبتها اثنان في اثنين. والمصفوفة ﺟ رتبتها واحد في اثنين.

أولًا، سنبدأ بالنظر إلى ضرب المصفوفات ﺃﺟﺏ ونرى ما إذا كان هذا الضرب ممكنًا بالفعل أم لا. حسنًا، إذا بدأنا بضرب المصفوفة ﺃ في المصفوفة ﺟ، فسنجد أن هذا ممكنًا؛ لأننا سنلاحظ أن عدد الأعمدة في المصفوفة ﺃ يساوي واحدًا، وأن عدد الصفوف في المصفوفة ﺟ يساوي واحدًا أيضًا. ونلاحظ أيضًا أنه إذا بدأنا بضرب ﺟﺏ أولًا، فسيكون ذلك ممكنًا أيضًا. وذلك لأن عدد أعمدة المصفوفة ﺟ يساوي اثنين، وعدد صفوف المصفوفة ﺏ يساوي اثنين أيضًا. وعليه نلاحظ أنه يمكننا البدء بضرب أي من هذين الزوجين من المصفوفات. ما سنبدأ به هو ضرب المصفوفة ﺃ في المصفوفة ﺟ.

إذا نظرنا إلى ضرب ﺃﺟ، فإنه سيكون المصفوفة صفر، واحد مضروبة في المصفوفة خمسة، ثلاثة. وما نعرفه عن ضرب مصفوفة رتبتها اثنان في واحد في مصفوفة رتبتها واحد في اثنين هو أن المصفوفة الناتجة ستكون رتبتها اثنين في اثنين؛ لأنه سيكون لدينا عدد صفوف المصفوفة الأولى وعدد أعمدة المصفوفة الثانية. والآن، لتكوين العنصر الأول في مصفوفة النواتج، نضرب العنصرين المتناظرين من الصف الأول والعمود الأول في المصفوفتين الأولى والثانية على الترتيب. وعليه، نحصل على صفر مضروبًا في خمسة. وللعنصر التالي، سيكون لدينا صفر مضروبًا في ثلاثة. وذلك لأننا ما نزال في الصف الأول، وسننظر الآن إلى العمود الثاني في المصفوفة الثانية.

إذن، إذا ألقينا نظرة على العنصر الأول من الصف الثاني في المصفوفة الأولى وضربناه في العنصر الأول من العمود الأول في المصفوفة الثانية، فسنحصل على واحد مضروبًا في خمسة. ويمكننا إيجاد العنصر الأخير بضرب واحد في ثلاثة. وهذا يعطينا مصفوفة ناتجة، رتبتها اثنان في اثنين، وتتألف من صفر، صفر، خمسة، ثلاثة، وهذا هو حاصل ضرب ﺃﺟ.

حسنًا، ما علينا فعله الآن لإيجاد حاصل ضرب ﺃﺟﺏ هو ضرب المصفوفة الناتجة هذه في المصفوفة ﺏ. وما سنحصل عليه هو المصفوفة: صفر، صفر، خمسة، ثلاثة، مضروبة في المصفوفة سالب أربعة، واحد، سالب ستة، ستة. وبما أننا نضرب مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين في أخرى رتبتها اثنان في اثنين، فإن المصفوفة الناتجة ستكون رتبتها اثنين في اثنين أيضًا. ولإيجاد العناصر المختلفة للمصفوفة الناتجة، سنضرب عنصري الصف الأول من المصفوفة الأولى في العنصرين المناظرين لهما في العمود الأول من المصفوفة الثانية، ثم سنجمعها معًا. وبذلك يكون لدينا صفر مضروبًا في سالب أربعة زائد صفر في سالب ستة.

ثم نكرر ذلك مع العنصر التالي، لكن هذه المرة بضرب عنصري الصف الأول من المصفوفة الأولى في العمود الثاني من المصفوفة الثانية ثم جمعها معًا. ليكون لدينا صفر مضروبًا في واحد زائد صفر مضروبًا في ستة. وباتباع هذا النمط، يكون العنصر التالي خمسة مضروبًا في سالب أربعة زائد ثلاثة مضروبًا في سالب ستة، وأخيرًا يكون العنصر الأخير خمسة مضروبًا في واحد زائد ثلاثة مضروبًا في ستة. ثم إذا حسبنا كل عنصر من هذه العناصر، فسنحصل على المصفوفة الناتجة: صفر، صفر، سالب ٣٨، ٢٣. وهذه هي قيمة حاصل ضرب ﺃﺟﺏ.

حسنًا، ننتقل الآن إلى الجزء التالي من المسألة، وسنحاول إيجاد حاصل ضرب ﺏﺃﺟ. الآن فيما يتعلق بضرب ﺏﺃﺟ، إذا تحققنا مجددًا من إن كان يمكننا البدء بضرب ﺏﺃ؛ حسنًا، نرى أنه يمكننا ذلك بالفعل؛ لأن عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى ﺏ اثنان، وعدد الصفوف في المصفوفة الثانية ﺃ يساوي اثنين أيضًا. لذا، سنتمكن من ضربهما معًا. وبالمثل، إذا أردنا ضرب ﺃ وﺟ أولًا، فسنتمكن من فعل ذلك أيضًا؛ لأن عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى ﺃ هو واحد، وعدد الصفوف في المصفوفة الثانية ﺟ واحد أيضًا.

عند هذه المرحلة، من المفيد أن نوضح مثالًا لا يمكننا فيه ضرب المصفوفتين إحداهما في الأخرى. وهذا يتحقق في حالة محاولة إيجاد حاصل ضرب ﺃﺏ؛ لأننا إذا ألقينا نظرة على ﺃﺏ، نجد أن المصفوفة ﺃ تحتوي على عمود واحد، بينما المصفوفة ﺏ تحتوي على صفين. وعليه، فهما مختلفتان؛ لذا لن يمكننا إيجاد حاصل ضرب ﺃﺏ. حسنًا، رائع. لقد تبين لنا الآن ما يمكننا ضربه، وما لا يمكننا ضربه عندما ننظر إلى ﺏﺃﺟ. فما سنفعله هو أن ننظر إلى ﺏﺃ أولًا.

والآن، عندما نضرب المصفوفة ﺏ في المصفوفة ﺃ، يصبح لدينا المصفوفة سالب أربعة، واحد، سالب ستة، ستة مضروبة في المصفوفة صفر، واحد. وهذه المرة، نظرًا لأن لدينا مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين مضروبة في مصفوفة رتبتها اثنان في واحد، فإن رتبة المصفوفة الناتجة ستكون اثنين في واحد أيضًا، لأنها عبارة عن عدد صفوف المصفوفة الأولى في عدد أعمدة المصفوفة الثانية.

لإيجاد قيم حاصل ضرب المصفوفتين، ما سنفعله مجددًا هو ضرب القيمتين المناظرتين في الصف الأول من المصفوفة الأولى في عمود المصفوفة الثانية، ثم الانتقال إلى الصف الثاني في المصفوفة الأولى وضربه في عمود المصفوفة الثانية، وهو العمود الوحيد في المصفوفة الثانية. ليكون لدينا سالب أربعة مضروبًا في صفر زائد واحد مضروبًا في واحد، ثم سالب ستة مضروبًا في صفر زائد ستة مضروبًا في واحد؛ وهو ما سيعطينا مصفوفة النواتج ﺏﺃ التي تساوي واحد، ستة. هذا رائع. الخطوة الأخيرة الآن هي ضرب ﺏﺃ في المصفوفة ﺟ لنحصل على ﺏﺃﺟ.

حسنًا، لإجراء ذلك، علينا ضرب المصفوفة واحد، ستة في المصفوفة خمسة، ثلاثة. ما لدينا هنا هو مصفوفة رتبتها اثنان في واحد مضروبة في مصفوفة رتبتها واحد في اثنين. ومن ثم، ستكون رتبة مصفوفة النواتج اثنين في اثنين؛ لأنها ستتألف من عدد صفوف المصفوفة الأولى في عدد أعمدة المصفوفة الثانية.

لذا عند إجراء عملية الضرب، سنحصل على واحد مضروبًا في خمسة للعنصر الأول، ثم واحد مضروبًا في ثلاثة، وستة مضروبًا في خمسة، وستة مضروبًا في ثلاثة، وهو ما يعطينا مصفوفة النواتج خمسة، ثلاثة، ٣٠، ١٨. إذن، يمكننا القول إنه يمكننا إيجاد كل من ﺃﺟﺏ وﺏﺃﺟ، حيث ﺃﺟﺏ هي المصفوفة صفر، صفر، سالب ٣٨، ٢٣، وﺏﺃﺟ هي المصفوفة خمسة، ثلاثة، ٣٠، ١٨.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.