تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: دوال خاصة: الدالة الدرجية ودالة القيمة المطلقة

نهال عصمت

يتناول الفيديو أنواع الدوال المتعددة التعريف كالدالة الدرجية، ودالة القيمة المطلقة، ويوضِّح ذلك بالأمثلة.

١٠:٤٧

‏نسخة الفيديو النصية

دوال خاصة.

هنتكلم عن الدالة الدرجية، ودالة القيمة المطلقة، وهنبدأ نشوف أمثلة عليهم. في البداية هنتكلم عن الدالة الدرجية. وهي نوع شهير من الدوال المتعددة التعريف الخطية. وتتكون من قطع مستقيمة أفقية. وسُميت بهذا الاسم لأن تمثيلها البياني يشبه الدَّرَج أو السُّلَم. عايزين نبدأ نشوف مثال على الدالة الدرجية. هنجيب صفحة جديدة.

مثال على الدالة الدرجية. هي دالة أكبر عدد صحيح. وبتُكتب بالصورة دي. حيث دالة أكبر عدد صحيح هي أكبر عدد صحيح، أقل من أو يساوي الـ س. يعني لو عايزين نوجد دالة أكبر عدد صحيح لتلاتة وخمسة وعشرين من مية، هنلاقيها بتساوي تلاتة. ودالة أكبر عدد صحيح لسالب أربعة وستة من عشرة، هنلاقيها بتساوي سالب خمسة.

ونقدر نقول إن تمثيل دالة أكبر عدد صحيح بيانيًّا بتبقى بالشكل ده. وهي عبارة عن قطع مستقيمة أفقية. ومجال دالة أكبر عدد صحيح هي مجموعة الأعداد الحقيقية. أمّا مدى دالة أكبر عدد صحيح هي الأعداد، أو مجموعة الأعداد الصحيحة. هنبدأ نجيب صفحة جديدة، ونشوف مثال من الواقع؛ إزاي نقدر نستخدم الدالة الدرجية، أو دالة أكبر عدد صحيح.

رسوم مركز إصلاح سيارات، سبعين جنيه، لأيّ جزء من ساعة العمل الأولى. وخمسة وخمسين جنيه، لأيّ جزء من أيّ ساعة إضافية. المطلوب هو كتابة الدالة التي تمثّل هذا الموقف، وتمثيلها بيانيًّا

في البداية هنبدأ نكوّن جدول يمثّل الوقت والتكلفة. حيث س هي عدد ساعات العمل. وَ ر س هي إجمالي رسوم العمل. هنبدأ نرسم الجدول بالشكل ده. في البداية هنكتب هنا س، اللي هي عدد ساعات العمل. وهنكتب هنا ر س، اللي هي إجمالي رسوم العمل.

في البداية، في حالة س أكبر من الصفر، وأصغر من أو تساوي الواحد؛ رسوم العمل في الحالة دي هتبقى سبعين جنيه. طب في حالة لو س أكبر من الواحد، وأصغر من أو تساوي الاتنين؛ هنبدأ نزوّد رسوم إضافية. يعني سبعين زائد خمسة وخمسين، هيبقى مية خمسة وعشرين. وهكذا، هنكمل بقية الجدول.

في حالة لو س أكبر من اتنين، وأصغر من أو تساوي تلاتة؛ إجمالي رسوم العمل هتبقى مية وتمانين. ولو عندنا س أكبر من تلاتة، وأصغر من أو تساوي أربعة؛ هيبقى إجمالي رسوم العمل ميتين خمسة وتلاتين. وفي حالة لو س أكبر من، عفوًا، أكبر من أربعة، وأصغر من أو تساوي الخمسة؛ هيبقى إجمالي رسوم العمل ميتين وتسعين. يبقى في كل ساعة إضافية، زوّدنا خمسة وخمسين جنيه.

بعد ما كوّنّا الجدول، عايزين نبدأ نمثّله بيانيًّا. هنرسم المستوى الإحداثي بالشكل ده. هنبدأ نمثل البيانات الموجودة في الجدول بيانيًّا. عندنا س أكبر من الصفر، وأصغر من أو تساوي الواحد. في حالة ر س بسبعين، يبقى هنيجي عند ر س بسبعين. في حالة لو س بصفر، هنعمل دايرة غير مظللة. ولو س بواحد، هنعمل دايرة مظللة. وهنَصِل ما بينهم.

بعد كده عندنا س أكبر من الواحد، وأصغر من أو تساوي الاتنين، في حالة ر س بمية خمسة وعشرين. يبقى هنعمل في حالة ر س بمية خمسة وعشرين، عند الواحد دايرة غير مظللة. وعند الاتنين دايرة مظللة بالشكل ده. وهنصل ما بينهم. وهكذا في حالة س أكبر من اتنين، وأصغر من أو تساوي تلاتة. ر س بمية وتمانين، هنيجي عند مية وتمانين. في حالة الاتنين هنعمل دايرة غير مظللة. وفي حالة التلاتة هنعمل دايرة مظللة. ونَصِل ما بينهم.

بعد كده عندنا س أكبر من تلاتة، وَ س أصغر من أو تساوي أربعة. في حالة ر س بميتين خمسة وتلاتين، يبقى هنيجي عند ميتين خمسة وتلاتين. وهنعمل عند التلاتة دايرة غير مظللة. وعند الأربعة دايرة مظللة. ونَصِل بينهم بعد كده س أكبر من أربعة، وأصغر من أو تساوي الخمسة. في حالة ر س بميتين وتسعين، هنيجي عند ميتين وتسعين. ونبدأ نعمل عند الأربعة دايرة غير مظللة. وعند الخمسة دايرة مظللة بالشكل ده. ونَصِل بينهم. يبقى كده قدرنا نمثل الدايلة، عفوًا، وكده قدرنا نمثّل الدالة بيانيًّا.

يبقى بعد ما اتكلمنا عن الدالة الدرجية؛ وهي نوع شهير من الدوال المتعددة التعريف. وشُفنا مثال عليها؛ وهي دالة أكبر عدد صحيح. هنبدأ نجيب صفحة جديدة، ونتكلم عن دالة القيمة المطلقة.

دالة القيمة المطلقة هي نوع آخَر من الدوال المتعددة التعريف. وهي الدالة التي تحتوي على عبارة جبرية، يُستخدم فيها رمز القيمة المطلقة. وبتتكتب بالشكل ده: د س تساوي القيمة المطلقة لـ س. وتُعرَّف بالشكل الآتي: وهي د س تساوي س؛ حيث س أكبر من الصفر. وصفر حيث س تساوي صفر. وسالب س حيث س أصغر من الصفر. هنبدأ نجيب صفحة جديدة، ونتكلم عن التمثيل البياني لدالة القيمة المطلقة.

تمثَّل دالة القيمة المطلقة بيانيًّا بالشكل ده. هنلاحظ إن شكل التمثيل البياني على شكل حرف V. والمجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية. أمّا المدى فهو مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة. هنلاحظ إن دالة القيمة المطلقة تتكوَّن من مقطعان. وهما: س تساوي صفر، وَ د س تساوي صفر. ولا يمكن أن تكون د س أصغر من الصفر.

بعد ما اتكلمنا على دالة القيمة المطلقة، هنبدأ نجيب صفحة جديدة، ونشوف مثال على دالة القيمة المطلقة.

مطلوب: مثِّل الدالة د س تساوي القيمة المطلقة لاتنين س، ناقص أربعة، بيانيًّا. ثم حدّد المجال والمدى.

هنبدأ نكون جدول. هنحطّ قيم لـ س، وهي: س تساوي صفر، وَ س أكبر من الصفر، وَ س أصغر من الصفر. هنرسم جدول بالشكل ده. هنكتب هنا س. وهنكتب هنا الدالة، وهي القيمة المطلقة لاتنين س، ناقص أربعة. هنعوّض عن س بسالب اتنين وسالب واحد، وهي القيم اللي أصغر من الصفر. وهنعوض عن س بصفر. وهنعوض عن س بواحد واتنين، اللي هي القيم اللي أكبر من الصفر.

في حالة لو س بسالب اتنين، هتبقى قيمة الدالة بصفر. في حالة لو س بسالب واحد، قيمة الدالة هتبقى سالب اتنين. في حالة لو س بصفر، هنعوّض في الدالة، هنلاقي إن قيمتها سالب أربعة. في حالة لو س بواحد، قيمة الدالة هتبقى سالب اتنين. في حالة لو س باتنين، هتبقى قيمة الدالة صفر.

وبالتالي بقى عندنا أزواج مرتّبة، مكونة من س، وَ د س. هنبدأ نمثّل الأزواج المرتبة في المستوى الإحداثي. هنرسم المستوى الإحداثي بالشكل ده. هنبدأ نحدِّد النقط عليه. النقطة الأولى هي سالب اتنين وصفر. والنقطة التانية هي سالب واحد وسالب اتنين. النقطة التالتة هي صفر وسالب أربعة. النقطة الرابعة هي واحد وسالب اتنين. والنقطة الخامسة والأخيرة هي اتنين وصفر. بعد كده هنبدأ نوصّل بين النقاط بالشكل ده. وبكده قدرنا نمثّل الدالة بيانيًّا.

بعد كده عايزين نحدّد المجال والمدى. هنلاقي إن المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية. أمّا المدى فهو مجموعة كل د س؛ حيث د س أكبر من أو تساوي سالب أربعة. يبقى كده مثلنا الدالة بيانيًّا. وقدرنا نحدّد المجال والمدى.

يبقى كده اتكلمنا عن الدالة الدرجية، وشُفنا مثال عليها، وهي دالة أكبر عدد صحيح. واتكلمنا عن دالة القيمة المطلقة، وشُفنا مثال عليها.