تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: كتابة الدوال التربيعية على صيغة رأس المنحنى

أحمد لطفي

يوضِّح الفيديو طريقة كتابة الدوال التربيعية على صيغة رأس المنحنى، وتأثير عوامل هذه الصيغة على شكل الدالة، واستخدام الصيغة في تمثيل الدوال التربيعية بيانيًّا.

٠٩:١٧

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلم عن كتابة الدوال التربيعية على صيغة رأس المنحنى، وهنعرف إيه هي صيغة رأس المنحنى، وإزاي هنقدر نكتب أي دالة تربيعية في صورة صيغة رأس المنحنى.

في البداية، صيغة رأس المنحنى هتكون بالشكل ده، ص بتساوي أ مضروبة في س ناقص ك الكل أُس اتنين زائد ن؛ حيث النقطة ك ون هتمثّل نقطة رأس القطع المكافئ، وس بتساوي ك هتمثّل معادلة محور التماثل، وأ هتحدّد شكل القطع مكافئ؛ يبقى عرفنا إن صيغة رأس المنحنى هي ص بتساوي أ في س ناقص ك الكل تربيع زائد ن. لو عندنا دالة تربيعية بالشكل ده، وعايزين نكتبها على صيغة رأس المنحنى، فهنستخدم طريقة إكمال المربع؛ فهتبقى ص بتساوي س تربيع زائد ستة س زائد تسعة ناقص خمسة ناقص تسعة؛ يعني ص هتساوي س تربيع زائد ستة س زائد تسعة، ممكن أكتبها في صورة س زائد تلاتة الكل تربيع ناقص أربعتاشر، يبقى قدرت أكتب المعادلة التربيعية ص بتساوي س تربيع زائد ستة س ناقص خمسة في صورة ص بتساوي س زائد تلاتة الكل تربيع ناقص أربعتاشر. لو هناخد مثال آخر،

عندنا دالة تربيعية بالشكل ده، ص بتساوي سالب اتنين س تربيع زائد تمنية س ناقص تلاتة. عايزين نكتبها في صورة صيغة رأس المنحنى، فهنقول ص بتساوي عندنا الحدين سالب اتنين س تربيع زائد تمنية س، هناخد منهم سالب اتنين عامل مشترك، فهيبقى سالب اتنين مضروبة في س تربيع ناقص أربعة س الكل ناقص تلاتة. هنستخدم طريقة إكمال المربع، فهيبقى ص بتساوي سالب اتنين مضروبة في س تربيع ناقص أربعة س زائد أربعة ناقص تلاتة ناقص سالب اتنين مضروبة في أربعة؛ يعني ص بتساوي سالب اتنين مضروبة في س تربيع ناقص أربعة س زائد أربعة، ممكن أكتبها في صورة س ناقص اتنين الكل تربيع زائد خمسة؛ وبالتالي المعادلة التربيعية ص بتساوي سالب اتنين س تربيع زائد تمنية س ناقص تلاتة، قدرت أكتبها في صورة صيغة رأس المنحنى، وكانت ص بتساوي سالب اتنين مضروبة في س ناقص اتنين الكل تربيع زائد خمسة.

في صفحة جديدة هنشوف احتمالات قيم ن، فهنقول إن قيمة ن هتكون قيمة صغرى لو كانت أ أصغر من الصفر، وإن قيمة ن هتكون قيمة عظمي إذا كانت أ أكبر من الصفر. ويبقى كده قدرنا نحدد قيم ن إذا كانت هتكون قيمة صغرى أو قيمة عظمي، على حسب أ أصغر من الصفر ولا أ أكبر من الصفر.

هنلاحظ إننا ممكن نكتب معادلة القطع المكافئ على صورة رأس المنحنى؛ لو كان عندنا منحنى، ومُعطى نقطة رأس المنحنى، ونقطة أخرى على المنحنى. يعني مثلًا لو عندنا منحنى بالشكل ده، مُعطى عندنا نقطة رأس المنحنى اللي هي النقطة تلاتة واتنين، ومُعطى عندنا نقطة أخرى على المنحنى اللي هي سالب واحد وسالب اتنين، يبقى أول حاجة بما إن رأس المنحنى عند تلاتة واتنين، يعنى نقدر نحدد قيم ك ون؛ وبالتالي ك هتكون هي الإحداثي السيني لنقطة رأس المنحنى اللي هي بتساوي تلاتة، ون هي الإحداثي الصادي لنقطة رأس المنحنى يعني ن بتساوي اتنين؛ وبالتالي صيغة رأس المنحنى هتكون ص بتساوي أ في س ناقص ك الكل تربيع زائد ن، هنعوّض عن ك بـ تلاتة ون بـ اتنين؛ فهتبقى عندنا صيغة رأس المنحنى ص بتساوي أ مضروبة في س ناقص تلاتة الكل تربيع زائد اتنين. عشان نقدر نِوجد قيمة أ هنستخدم النقطة الأخرى معلومة على منحنى، اللي هي سالب واحد وسالب اتنين، هنعوّض عن س بـ سالب واحد وعن ص بـ سالب اتنين ونِوجد قيمة أ؛ وبالتالي أ هتساوي سالب واحد على أربعة، وهتبقى معادلة القطع المكافئ على صيغة رأس المنحنى ص بتساوي سالب واحد على أربعة مضروبة في س ناقص تلاتة الكل تربيع زائد اتنين.

هنلاحظ من صيغة رأس المنحنى إن إشارة أ لا تحدّد عرض القطع المكافئ؛ يعني لو عايز أحدد عرض القطع المكافئ، فقيمة أ مش هتحدد لي عرض القطع المكافئ، لكن هتحدد لي إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو مفتوحًا إلى أسفل؛ يعني في المثال السابق قيمة أ كانت سالبة، وبالتالي المنحنى هيكون مفتوح إلى أسفل؛ ولو كانت قيمة أ موجبة، هيكون المنحنى مفتوح إلى أعلى، لكن عرض القطع المكافئ هيتحدّد عن طريق القيمة المطلقة لـ أ. لو عايزين نوّضح من خلال مثال، ففي صفحة جديدة هيكون عندنا مثال بالشكل ده،

مطلوب تمثيل المعادلة ص بتساوي أربعة س تربيع ناقص ستاشر س ناقص أربعين بيانيًّا. أول خطوة هنكتب المعادلة على صورة صيغة رأس المنحنى، فهيكون عندنا ص بتساوي أربعة س تربيع ناقص ستاشر س ناقص أربعين، أربعة س تربيع ناقص ستاشر س هناخذ أربعة عامل مشترك، فتبقى ص بتساوي أربعة مضروبة في س تربيع ناقص أربعة س ناقص أربعين. هنستخدم طريقة إكمال المربع، فهتبقى ص بتساوي أربعة مضروبة في س تربيع ناقص أربعة س زائد أربعة ناقص أربعين ناقص أربعة في أربعة؛ يعني ص هتساوي أربعة مضروبة في س تربيع ناقص أربعة س زائدأربعة، ممكن نكتبها في صورة س ناقص اتنين الكل تربيع ناقص ستة وخمسين، ويبقى نقدر نستنتج إن رأس المنحنى عند النقطة اتنين وسالب ستة وخمسين، وإن معادلة محور التماثل هتكون س بتساوي اتنين.

وعشان نقدر نمثل المعادلة ص بتساوي أربعة في س ناقص اتنين الكل تربيع ناقص ستة وخمسين بيانيًّا، هنمثل المعادلة ص بتساوي واحد في س ناقص اتنين الكل تربيع ناقص ستة وخمسين بيانيًّا؛ يعني لو كانت قيمة أ هتساوي واحد، هنشوف التمثيل البياني للدالة التربيعية هيكون شكله عامل إزاي، فهيكون بالشكل ده، هنلاحظ إننا لو كبّرنا قيمة أ، عرض المنحنى هيكون أصغر؛ يعني لو خلينا أ بـ اتنين وتلاتة وأربعة هيكون شكل المنحنى بالشكل ده. وبالتالي شكل المنحنى اللي باللون الأزرق هو اللي هيمثل المعادلة ص بتساوي أربعة في س ناقص اتنين الكل تربيع ناقص ستة وخمسين.

ويبقى كده قدرنا نمثل المعادلة ص بتساوي أربعة س تربيع ناقص ستاشر س ناقص أربعين بيانيًّا. في النهاية نكون عرفنا إيه هي صيغة رأس المنحنى، وإزاي نقدر نكتب المعادلة التربيعية في صيغة رأس المنحنى، وإزاي نقدر نمثل المعادلة التربيعية بيانيًّا باستخدام صيغة رأس المنحنى.