فيديو السؤال: إيجاد فترات تناقص وتزايد الدالة التي تتضمن دالة جذرية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد الفترات التي تكون خلالها الدالة ﺩﺱ تساوي خمسة ﺱ في الجذر التربيعي لسالب خمسة ﺱ زائد ثلاثة تزايدية وتناقصية.

هيا نبدأ بتذكر ما معنى أن تكون الدالة تزايدية أو تناقصية. إذا فكرنا في ذلك بيانيًّا، تكون الدالة تزايدية إذا كان منحنى هذه الدالة يميل لأعلى. ويمثل الميل بالمشتقة ﺩ شرطة ﺱ. ومن ثم، يجب أن تكون المشتقة ﺩ شرطة ﺱ أكبر من صفر لتكون الدالة تزايدية.

والعكس صحيح في حالة الدالة التناقصية. ستكون مشتقتها الأولى ﺩ شرطة ﺱ أصغر من صفر. لاحظ أننا غير مهتمين بالنقطة التي عندها المشتقة الأولى تساوي صفرًا؛ لأنها تمثل نقطة توقف أو نقطة تحول. لذا من الواضح أننا سنحتاج إلى إيجاد ﺩ شرطة ﺱ. علينا اشتقاق الدالة.

هذه الدالة عبارة عن حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق. ومن ثم، سنستخدم قاعدة الضرب. تنص هذه القاعدة على أن المشتقة الأولى لـ ﻉ في ﻕ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. لذا، سنعرف ﻉ بأنه خمسة ﺱ، وﻕ بأنه الجذر التربيعي لسالب خمسة ﺱ زائد ثلاثة. هذا يساوي سالب خمسة ﺱ زائد ثلاثة أس نصف. توضح لنا قاعدة الضرب أننا سنحتاج إلى اشتقاق كل حد من هذه الحدود بالنسبة إلى ﺱ.

المشتقة الأولى لخمسة ﺱ تساوي ببساطة خمسة. إذن، ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي خمسة. سنستخدم صورة خاصة من قاعدة السلسلة لاشتقاق سالب خمسة ﺱ زائد ثلاثة أس نصف. وتسمى القاعدة العامة للقوة. ما سنفعله هو ضرب الحد بالكامل في الأس ثم نطرح واحدًا من الأس. ثم نضرب ذلك كله في مشتقة الدالة الداخلية. ومشتقة سالب خمسة ﺱ زائد ثلاثة تساوي سالب خمسة. إذن، ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي سالب خمسة على اثنين في سالب خمسة ﺱ زائد ثلاثةأس سالب نصف.

وبما أن الأس السالب يعطينا المقلوب، يمكننا كتابة ذلك على صورة سالب خمسة على اثنين في الجذر التربيعي لسالب خمسة ﺱ زائد ثلاثة. إذن ﺩ شرطة ﺱ تساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ. وهذا يساوي خمسة ﺱ في سالب خمسة على اثنين في الجذر التربيعي لسالب خمسة ﺱ زائد ثلاثة زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. وهو ما يساوي الجذر التربيعي لسالب خمسة ﺱ زائد ثلاثة في خمسة. هذا يبسط إلى سالب ٢٥ﺱ على اثنين في الجذر التربيعي لسالب خمسة ﺱ زائد ثلاثة زائد خمسة في الجذر التربيعي لسالب خمسة ﺱ زائد ثلاثة.

لكي نعرف متى تكون هذه المشتقة أكبر من صفر أو أصغر من صفر، علينا تبسيط هذا التعبير. وسنتعامل مع الحد الثاني باعتباره كسرًا، ونوجد مقامًا مشتركًا. سنضرب بسط الكسر الثاني ومقامه في اثنين في الجذر التربيعي لسالب خمسة ﺱ زائد ثلاثة. الجذر التربيعي لسالب خمسة ﺱ زائد ثلاثة في نفسه يساوي سالب خمسة ﺱ زائد ثلاثة. إذن سنحصل على ١٠ في سالب خمسة ﺱ زائد ثلاثة على اثنين في الجذر التربيعي لسالب خمسة ﺱ زائد ثلاثة. ويمكننا الآن جمع هذين البسطين.

وفي نفس الوقت سنوزع الأقواس، لنجد أن الكسر يساوي سالب ٢٥ﺱ ناقص ٥٠ﺱ زائد ٣٠ على اثنين في الجذر التربيعي لسالب خمسة ﺱ زائد ثلاثة. ويمكن تبسيط ذلك إلى سالب ٧٥ﺱ زائد ٣٠ على اثنين في الجذر التربيعي لسالب خمسة ﺱ زائد ثلاثة. نحن الآن جاهزون لإيجاد فترات تزايد وتناقص الدالة. لكن قبل أن نفعل ذلك، علينا أن نضع شرطًا لقيم ﺱ للتأكد من أننا لا نتعامل مع جذر تربيعي سالب. تذكر أن الجذر التربيعي لعدد سالب لن يعطينا قيمة حقيقية. لذا، يجب أن يكون التعبير داخل الجذر التربيعي، سالب خمسة ﺱ زائد ثلاثة، أكبر من صفر.

إذا طرحنا ثلاثة من كلا الطرفين، فسنحصل على سالب خمسة ﺱ أكبر من سالب ثلاثة. ثم نقسم الطرفين على سالب خمسة، ولا ننسى أن نعكس علامة المتباينة عندما نفعل ذلك. ومن ثم، نجد أنه مهما يكن، يجب أن تكون قيمة ﺱ أصغر من ثلاثة على خمسة لكي تكون المشتقة معرفة. لنتناول الحالة التي تكون فيها الدالة تزايدية. يجب أن تكون قيمة مشتقتها الأولى أكبر من صفر. المشتقة الأولى هنا عبارة عن كسر. نعلم أن الجذر التربيعي لسالب خمسة ﺱ زائد ثلاثة لقيم ﺱ الأصغر من ثلاثة أخماس سيكون دائمًا قيمة موجبة. ومن ثم، عند ضرب اثنين في هذا العدد سنحصل على قيمة موجبة أيضًا. ومن ثم، سيكون الكسر موجبًا إذا كان البسط موجبًا. وهذا لأن قسمة قيمة موجبة على قيمة موجبة تساوي قيمة موجبة.

إذن ستكون الدالة تزايدية عندما يكون سالب ٧٥ﺱ زائد ٣٠ أكبر من صفر. سنطرح ٣٠ من كلا الطرفين، ومن ثم نحصل على سالب ٧٥ﺱ أكبر من سالب ٣٠. ثم نقسم الطرفين على سالب ٧٥، ونعكس علامة المتباينة مرة أخرى؛ لأننا نقسم على عدد سالب. ونحصل بذلك على ﺱ أصغر من ٣٠ على ٧٥، وهو ما يمكن تبسيطه إلى خمسين. إذن، تكون الدالة تزايدية لقيم ﺱ الأصغر من خمسين. وخمسان أصغر من ثلاثة أخماس. لذا، لا داعي للقلق بشأن الشرط الذي ذكرناه سابقًا. باستخدام ترميز المجموعة، يمكننا القول إن الدالة تزايدية خلال الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية إلى خمسين.

وبالطبع لكي تكون الدالة تناقصية، يجب أن تكون مشتقتها الأولى أصغر من صفر. وبما أن المقام موجب دائمًا، فلا بد أن يكون البسط سالبًا في هذه الحالة. بعبارة أخرى، سالب ٧٥ﺱ زائد ٣٠ أصغر من صفر. وبحل هذه المتباينة لإيجاد قيمة ﺱ، نجد أن ﺱ أكبر من خمسين. تذكر بالطبع أن ﺱ يجب أن يكون أصغر من ثلاثة أخماس لكي تكون المشتقة معرفة، وكذلك لكي تكون الدالة الأصلية معرفة. وعلى ذلك، تكون الدالة تناقصية خلال الفترة المفتوحة من خمسين إلى ثلاثة أخماس.

إذن فترتا تزايد وتناقص الدالة هما الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية إلى خمسين، والفترة المفتوحة من خمسين إلى ثلاثة أخماس على الترتيب.