فيديو السؤال: تحويل عدد عشري دوري إلى كسر الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

من خلال إيجاد مجموع متتابعة هندسية غير منتهية، عبر عن ٠٫٤٣ دوري في صورة كسر اعتيادي.

بداية، نلاحظ أن هذا الرمز الذي هو عبارة عن نقطة أعلى العدد ثلاثة فقط يعني أن ثلاثة هو العدد الدوري. إذن فهذا هو العدد العشري ٠٫٤ متبوعًا بسلسلة من العدد ثلاثة تستمر إلى ما لا نهاية. نريد التعبير عن هذا العدد العشري على صورة كسر. ويخبرنا السؤال أن نحل هذه المسألة بإيجاد مجموع متتابعة هندسية غير منتهية. من ثم، علينا أن نفكر في كيفية تقسيم هذا العدد العشري إلى مجموع. يمكننا فصل القيم في كل منزلة عشرية. وعليه، يمكن كتابة هذا العدد العشري على صورة ٠٫٤ زائد ٠٫٠٣ زائد ٠٫٠٠٣ زائد ٠٫٠٠٠٣ وهكذا. كل حد من الحدود ٠٫٠٣ و٠٫٠٠٣ و٠٫٠٠٠٣ وهكذا؛ أصغر من الحد الذي يسبقه بمقدار ١٠ مرات. ولذا تكون هذه الحدود متتابعة هندسية لها نسبة مشتركة (أساس المتتابعة الهندسية) تساوي ٠٫١ أو عشرًا.

الحد الأول في المتتابعة، أي ﺃ واحد، يساوي ٠٫٠٣. وبما أن القيمة المطلقة للنسبة المشتركة أصغر من واحد، فإن هذه المتسلسلة متقاربة. ومن ثم يمكننا إيجاد مجموعها. مجموع أي متتابعة هندسية غير منتهية حدها الأول ﺃ واحد ولها نسبة مشتركة ﺭ، والتي يجب أن تكون القيمة المطلقة لها أصغر من واحد تمامًا، يساوي ﺃ واحدًا على واحد ناقص ﺭ. بالتعويض بـ ٠٫٠٣ عن ﺃ واحد و٠٫١بـ عن ﺭ، نجد أن مجموع هذه المتتابعة الهندسية غير المنتهية يساوي ٠٫٠٣ على واحد ناقص ٠٫١. وهذا يساوي ٠٫٠٣. يمكننا بعد ذلك ضرب كل من البسط والمقام في ٠٫٩ بحيث يصبحان عددين صحيحين. وهذا يعطينا ثلاثة على ١٠٠. وبالطبع، يمكننا تبسيط ثلاثة على ٩٠ إلى واحد على ٩٠ بقسمة البسط والمقام على ثلاثة.

لقد وجدنا أن العدد العشري الدوري، ٣٠ دوري، يساوي واحدًا على ٠٫٠٣. لكن علينا أيضًا أن نجمع معه العدد العشري ٣٠. العدد ٠٫٤ في صورة كسر هو أربعة أعشار، أو خمسان. إذن ٠٫٤ دوري يساوي أربعة أعشار زائد واحد على ٠٫٤٣. وهذا يساوي ٣٠ على ١٢ زائد واحد على ٣٠، وهو ما يساوي ٣٠ على ١٣. لا يمكن تبسيط هذا الكسر أكثر من ذلك؛ إذ لا يوجد عامل مشترك بين البسط والمقام سوى العدد واحد. بهذا نكون قد توصلنا إلى حل المسألة.

يمكننا التحقق من ذلك باستخدام القسمة القصيرة. لكي نقسم ٣٠ على ١٣، يمكننا أولًا أن نقسم على ٣٠ ؛ لنحصل على ١٠، ثم نقسم ١٫٣ على ثلاثة. أولًا: العدد ثلاثة ليس من عوامل العدد واحد؛ لذا نضع صفرًا ونحصل على باقي القسمة واحد. العدد ثلاثة يتكرر في العدد ١٫٣ أربع مرات، ويكون باقي القسمة واحدًا. والعدد ثلاثة يتكرر في العدد ١٣ ثلاث مرات، ويكون باقي القسمة واحدًا. والعدد ثلاثة يتكرر في العدد ١٠ ثلاث مرات، ويكون باقي القسمة واحدًا. والعدد ثلاثة يتكرر في العدد ١٠ ثلاث مرات، ويكون باقي القسمة واحدًا. ويمكننا ملاحظة أن هذا سيستمر إلى ما لا نهاية. نلاحظ إذن أن ١٠ مقسوم على ١٣ يساوي بالفعل العدد العشري الدوري ٣٠ دوري. وعليه، فإجابة هذا السؤال هي أن ٠٫٤٣ دوري في صورة كسر اعتيادي يكون على الصورة ٠٫٤٣ على ١٣.