فيديو السؤال: إيجاد أصفار دالة باستخدام التحليل الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

باستخدام التحليل، أوجد أصفار الدالة ﺩ ﺹ تساوي ﺹ تربيع زائد ثمانية ﺹ زائد سبعة.

في هذا السؤال، لدينا الدالة ﺩ ﺹ، وهي دالة تربيعية في ﺹ، كما نرى. والمطلوب هو إيجاد أصفار هذه الدالة، وعلمنا من السؤال أن علينا فعل ذلك باستخدام طريقة التحليل. للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ بتذكر ما نعنيه بأصفار الدالة. أصفار أي دالة ﺩ ﺹ هي قيم ﺹ؛ حيث قيمة ﺩ عند قيم ﺹ هذه تساوي صفرًا. بعبارة أخرى، إنها القيم المدخلة للدالة التي تكون قيمها المخرجة المناظرة تساوي صفرًا.

هناك العديد من الطرق المختلفة لإيجاد أصفار الدالة. والسؤال يطلب منا فعل ذلك باستخدام طريقة التحليل. لاستخدام طريقة التحليل هذه، دعونا نبدأ بإعادة كتابة المعادلة. علينا أن نساوي الدالة ﺩ بصفر. هذا يعطينا المعادلة ﺹ تربيع زائد ثمانية ﺹ زائد سبعة يساوي صفرًا. الآن، علينا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمتي ﺹ. لتحليل معادلة تربيعية يكون فيها معامل ﺹ تربيع واحدًا، يمكننا فعل ذلك من خلال إيجاد عددين حاصل ضربهما يعطينا الحد الثابت، أي سبعة، ومجموعهما يعطينا معامل ﺹ، أي ثمانية.

لإيجاد هذين العددين، فإن أسهل طريقة هي البدء بكتابة جميع أزواج الأعداد التي نعرف أن حاصل ضرب كل زوج منها يعطينا الحد الثابت. وهي تسمى أزواج عوامل العدد. في هذه الحالة، يوجد زوج واحد فقط. واحد في سبعة يساوي سبعة. يمكننا ملاحظة أن مجموع هذين العددين، أي واحد زائد سبعة، يساوي معامل ﺹ. وهو ثمانية. ومن ثم، تخبرنا طريقة التحليل أنه يمكننا تحليل الدالة التربيعية على النحو الآتي. بما أن سبعة في واحد يساوي سبعة، وسبعة زائد واحد يساوي ثمانية، فإن ﺹ تربيع زائد ثمانية ﺹ زائد سبعة يساوي ﺹ زائد سبعة مضروبًا في ﺹ زائد واحد.

ويمكننا التحقق من ذلك — إذا أردنا — عن طريق توزيع الأقواس. يمكننا فعل ذلك باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني. بضرب الحدين الأولين، نحصل على ﺹ في ﺹ، وهو ما يساوي ﺹ تربيع. بعد ذلك، بضرب الحدين الخارجيين، نحصل على واحد مضروبًا في ﺹ، وهو ما يساوي ﺹ. بعد ذلك، نجد أن حاصل ضرب الحدين الداخليين هو سبعة ﺹ. وسبعة ﺹ زائد ﺹ يساوي ثمانية ﺹ. وأخيرًا، حاصل ضرب الحدين الأخيرين يساوي سبعة. هذا يعني أننا قد حللنا الدالة التربيعية بنجاح.

الآن، يمكننا ملاحظة أنه في الطرف الأيمن من المعادلة، لدينا حاصل ضرب، ونجد أن حاصل الضرب هذا لا بد أن يساوي صفرًا. ولكي يساوي حاصل الضرب صفرًا، يجب أن يكون أحد العاملين يساوي صفرًا. إذن، إما ﺹ زائد سبعة يساوي صفرًا، وإما ﺹ زائد واحد يساوي صفرًا. يمكننا حل هاتين المعادلتين لإيجاد قيمتي ﺹ. بداية، لحل ﺹ زائد سبعة يساوي صفرًا، نطرح سبعة من كلا طرفي المعادلة لنحصل على ﺹ يساوي سالب سبعة. بعد ذلك، لحل ﺹ زائد واحد يساوي صفرًا، نطرح واحدًا من كلا طرفي المعادلة. فنحصل على ﺹ يساوي سالب واحد. وبهذا، نكون قد تمكنا باستخدام التحليل من إيجاد أصفار الدالة ﺩ ﺹ تساوي ﺹ تربيع زائد ثمانية ﺹ زائد سبعة. والصفران هما سالب سبعة وسالب واحد.