فيديو السؤال: استخدام دوال كثافة الاحتمال للمتغيرات العشوائية المتصلة لإيجاد الاحتمالات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

افترض أن ﺱ متغير عشوائي متصل له دالة كثافة الاحتمال ﺩ ﺱ تساوي ﺃ على ٦٢ﺱ، إذا كان ﺱ أكبر من أو يساوي ٣٠، وأقل من أو يساوي ٣٢، ويساوي صفرًا فيما عدا ذلك. أوجد احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ٣٠٫٥ وأقل من أو يساوي ٣١٫٥.

أولًا، نتذكر أنه للمتغير العشوائي المتصل ﺱ، احتمال وقوع ﺱ في فترة معينة يساوي المساحة أسفل منحنى دالة كثافة الاحتمال ﺩ ﺱ بين طرفي تلك الفترة. في هذه المسألة، دالة كثافة الاحتمال ممثلة بخط مستقيم لأن ﺩ ﺱ دالة خطية لـ ﺱ. ونريد إيجاد احتمال وقوع ﺱ بين ٣٠٫٥ و٣١٫٥. نتذكر أيضًا أنه يمكننا إيجاد المساحة أسفل أي منحنى، وكذلك المساحة أسفل خط مستقيم، باستخدام التكامل.

بوجه عام، يمكننا إيجاد احتمال وقوع ﺱ في الفترة من ﺃ إلى ﺏ عن طريق إيجاد التكامل المحدد من ﺃ إلى ﺏ لدالة كثافة الاحتمال ﺩ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ومن ثم في هذه الحالة، علينا إيجاد التكامل من ٣٠٫٥ إلى ٣١٫٥ لـ ﺃ على ٦٢ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. في الحقيقة، ليس من الصعب إيجاد قيمة هذا التكامل أمامنا. لكن المشكلة هي أننا لا نعلم قيمة هذا الثابت ﺃ. إذن، علينا أولًا إيجاد قيمة هذا الثابت. ولفعل ذلك، علينا أن نسترجع أحد احتمالات دوال كثافة الاحتمال، وهو أنه لأي دالة كثافة احتمال ﺩ ﺱ، يجب أن يكون التكامل من سالب ∞ إلى موجب ∞ لـ ﺩ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ مساويًا لواحد، وهي طريقة أخرى للتعبير عن أن المساحة أسفل المنحنى تساوي واحدًا.

دالة كثافة الاحتمال في هذا السؤال غير صفرية فقط على الفترة من ٣٠ إلى ٣٢، وعليه نعرف أن التكامل من ٣٠ إلى ٣٢ لـ ﺃ على ٦٢ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يجب أن يساوي واحدًا. ومن ثم، بإيجاد هذا التكامل، سنحصل على معادلة يمكننا حلها لإيجاد قيمة ﺃ. بعد ذلك، نتذكر أنه لإيجاد تكامل ﺱ مرفوعًا لقوة ما، حيث هذه القوة لا تساوي سالب واحد، نزيد القوة، أو الأس، بمقدار واحد، ثم نقسم على الأس الجديد. وعليه، فإن تكامل ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺱ تربيع على اثنين. ثم نضرب في الثابت ﺃ على ٦٢. وهذا يبسط إلى ﺃﺱ تربيع على ١٢٤. وبإيجاد قيمة ذلك بين الحدين ٣٢ و٣٠، نحصل على الإجابة واحد.

بالتعويض في الحدين ٣٠ و٣٢، نحصل على ٣٢ تربيع على ١٢٤ مضروبًا في ﺃ ناقص ٣٠ تربيع على ١٢٤ مضروبًا في ﺃ يساوي واحدًا. يمكننا التحليل بأخذ ﺃ عاملًا مشتركًا، ومن ثم إيجاد قيمة ٣٢ تربيع و٣٠ تربيع لنحصل على ﺃ مضروبًا في ١٠٢٤ على ١٢٤ ناقص ٩٠٠ على ١٢٤ يساوي واحدًا. وذلك يبسط إلى ﺃ مضروبًا في ١٢٤ على ١٢٤ يساوي واحدًا. لكن بالطبع، ١٢٤ على ١٢٤ يساوي واحدًا. بهذا، يصبح لدينا ﺃ في واحد يساوي واحدًا. ونستنتج من هذا أن ﺃ يساوي واحدًا. الآن، بعد أن أوجدنا قيمة ﺃ، يمكننا التعويض بذلك في التكامل الذي كتبناه سابقًا لنتمكن من إيجاد احتمال أن يقع ﺱ بين ٣٠٫٥ و٣١٫٥.

ومن ثم، نحصل على التكامل من ٣٠٫٥ إلى ٣١٫٥ لواحد على ٦٢ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وبإجراء التكامل كما فعلنا من قبل، نحصل على ﺱ تربيع على ١٢٤ بين ٣٠٫٥ و٣١٫٥. نعوض بعد ذلك في الحدين لنحصل على ٣١٫٥ تربيع على ١٢٤ ناقص ٣٠٫٥ تربيع أيضًا على ١٢٤. وهذا يعطينا القيمة ٦٢ على ١٢٤، والتي يمكن تبسيطها إلى نصف. إذن، باسترجاع أن التكامل من سالب ∞ إلى موجب ∞ لأي دالة كثافة احتمال ﺩ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يجب أن يساوي واحدًا، تمكنا من إيجاد قيمة هذا الثابت المجهول ﺃ، واستخدام التكامل بعد ذلك لإيجاد احتمال وقوع ﺱ في الفترة المعطاة. ووجدنا أن احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ٣٠٫٥ وأقل من أو يساوي ٣١٫٥ يساوي نصفًا.