نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد أجزاء الأهرامات والمخاريط، ونستخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد أبعادها.
لعلنا نتذكر أن نظرية فيثاغورس تنص على أن مربع وتر المثلث القائم الزاوية يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. ويمكن تطبيق نظرية فيثاغورس على المسائل التي تتناول الأشكال الثلاثية الأبعاد بطرق عدة. وإحدى هذه الطرق هي استخدام المثلثات القائمة الزاوية الموجودة على أوجه الجسم الثلاثي الأبعاد أو أخذ شرائح ثنائية الأبعاد من داخله. ولتحديد هذه المثلثات، علينا أن نكون على دراية بأجزاء بعض الأجسام الثلاثية الأبعاد الشائعة وخواصها، مثل الأهرام والمخاريط، ومنها الهرم الرباعي المنتظم.
الارتفاع العمودي للهرم هو المسافة العمودية بين قمة الهرم وقاعدته. ومن ثم فإن هذا الخط المستقيم يكون عموديًّا على أي خط مستقيم يتقاطع معه في قاعدة الهرم. والحرف الجانبي للهرم هو الحرف الذي يصل بين قمته وأحد رءوسه الأخرى التي تكون القاعدة. والارتفاع الجانبي للهرم هو المسافة العمودية من أحد أضلاع قاعدة الهرم إلى قمته.
المخروط الدائري القائم يشبه الهرم، ولكن قاعدته دائرية. الأطوال الرئيسية في المخروط هي الراسم، والارتفاع العمودي، ونصف قطر قاعدة المخروط. وتشكل هذه الأطوال الثلاثة مثلثًا قائم الزاوية، كما هو موضح في الشكل.
في هذا الفيديو سنتناول أمثلة على كيفية تطبيق نظرية فيثاغورس على الزوايا القائمة داخل الأشكال الثلاثية الأبعاد، ومن ذلك الأهرامات والمخاريط، لحساب أطوال مجهولة. دعونا نلق نظرة على مثال يتناول إيجاد طول مجهول داخل مكعب.
إذا كان ﺃﺏﺟﺩﻫﻭﺯﺡ مكعبًا طول حرفه ستة جذر اثنين سنتيمتر، وﺱ منتصف ﺃﺏ، فأوجد مساحة المستطيل ﺩﺱﺹﻫ.
مساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب طولي ضلعيه. في هذه الحالة، طولا ضلعي المستطيل ﺩﺱﺹﻫ هما ﺩﺱ، ﺱﺹ. ونعلم من معطيات السؤال أن طول ضلع المكعب يساوي ستة جذر اثنين سنتيمتر. وأن الخط المستقيم ﺱﺹ يوازي أحد أحرف المكعب ويمتد بين حرفين آخرين. ولذا فإن طوله لا بد أن يساوي ستة جذر اثنين أيضًا.
لإيجاد طول المستقيم ﺩﺱ، دعونا ننظر إلى شكل قاعدة المكعب من الأعلى. وسنجد أن المثلث المظلل مثلث قائم الزاوية؛ وذلك لأن قياس الزوايا الداخلية لوجه المكعب، مثل ﺩﺃﺱ، يساوي ٩٠ درجة. الضلع ﺃﺩ أحد أحرف المكعب؛ ومن ثم طوله يساوي ستة جذر اثنين. وبما أن ﺱ هي نقطة منتصف حرف المكعب، فإن الضلع ﺃﺱ يساوي نصف طول الحرف، أي ثلاثة جذر اثنين.
ﺩﺱ هو وتر هذا المثلث القائم الزاوية. ومن ثم يمكن إيجاد طول الضلع ﺩﺱ من خلال تطبيق نظرية فيثاغورس، التي تنص على أن مربع وتر المثلث القائم الزاوية، ﺟ، يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، ﺃ، ﺏ. إذن، في هذه الحالة، ﺩﺱ تربيع يساوي ﺃﺩ تربيع زائد ﺃﺱ تربيع. ﺃﺩ يساوي ستة جذر اثنين، وﺃﺱ يساوي ثلاثة جذر اثنين. إذن ﺩﺱ تربيع يساوي ستة جذر اثنين الكل تربيع زائد ثلاثة جذر اثنين الكل تربيع. وستة جذر اثنين الكل تربيع يساوي ٣٦ في اثنين، وهو ما يساوي ٧٢. وثلاثة جذر اثنين الكل تربيع يساوي تسعة في اثنين، وهو ما يساوي ١٨. وبجمعهما معًا نحصل على ٩٠.
إذن طول ﺩﺱ يساوي الجذر التربيعي لـ ٩٠، وهو ما يمكن تبسيطه ليصبح ثلاثة جذر ١٠. إذن مساحة المستطيل ﺩﺱﺹﻫ تساوي ﺩﺱ في ﺱﺹ، وهو ما يساوي ثلاثة جذر ١٠ في ستة جذر اثنين. وبجمع الجذور الصماء، نحصل على ثلاثة في ستة، وهو ما يساوي ١٨، والجذر التربيعي لـ ١٠ في اثنين، أي ما يساوي جذر ٢٠. ويمكن تبسيط ذلك لنحصل على مساحة ﺩﺱﺹﻫ، وتساوي ٣٦ جذر خمسة، ووحدة القياس هي السنتيمتر المربع.
والآن، دعونا نتناول مثالًا نحسب فيه ارتفاع هرم قاعدته على شكل مثلث متساوي الأضلاع.
ﻡﺃﺏﺟ هرم منتظم تمثل قاعدته ﺃﺏﺟ مثلثًا متساوي الأضلاع طول ضلعه ٣٢ سنتيمترًا. إذا كان طول الحرف الجانبي للهرم ٨٨ سنتيمترًا، فأوجد ارتفاعه لأقرب جزء من مائة.
دعونا نبدأ الحل برسم الهرم. قاعدة الهرم على شكل مثلث متساوي الأضلاع. ومن ثم الأضلاع الثلاثة ﺃﺏ، ﺏﺟ، ﺃﺟ متساوية في الطول، ويبلغ طولها ٣٢ سنتيمترًا. ونظرًا لأن هذا الهرم منتظم، فإن الحروف الجانبية أيضًا متساوية في الطول، وتساوي ٨٨ سنتيمترًا.
وباستخدام تماثل الأضلاع، نحصل على ارتفاع الهرم من طول الخط ﻡﺱ؛ حيث ﺱ مركز القاعدة المثلثية. هذا الخط رأسي. ومن ثم فهو يسقط عموديًّا على أي خط مستقيم موجود في قاعدة المثلث، مثل المستقيم ﺃﺱ. ومن ثم فإن المثلث ﺃﻡﺱ مثلث قائم الزاوية. إذن وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن مربع وتر هذا المثلث القائم الزاوية، ﺃﻡ، يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، ﺃﺱ، ﻡﺱ.
ﻡﺱ تربيع هو مربع ارتفاع الهرم، وهي الكمية التي علينا إيجادها. ومن ثم سنعيد ترتيب هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻡﺱ. ويمكننا فعل ذلك بطرح ﺃﺱ تربيع من كلا الطرفين وأخذ الجذر التربيعي؛ لنحصل على ﻡﺱ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃﻡ تربيع ناقص ﺃﺱ تربيع. ﺃﻡ هو الحرف الجانبي للهرم، وطوله معطى في السؤال، ويساوي ٨٨ سنتيمترًا. ولكن طول ﺃﺱ مجهول حاليًّا؛ لذا علينا إيجاده من القاعدة التي على شكل مثلث متساوي الأضلاع.
القاعدة ﺃﺏﺟ عبارة عن مثلث متساوي الأضلاع مركزه عند النقطة ﺱ. وإذا مددنا المستقيم ﺃﺱ إلى الضلع الآخر من المثلث، فسنجد أنه يقطع المستقيم ﺏﺟ عند نقطة منتصفه، أي عند ﺹ. ومتوسط المثلث الذي يمر من رأس المثلث عبر مركزه مقسم بنسبة اثنين إلى واحد. إذن ﺃﺱ يساوي ضعف طول ﺱﺹ. وهذا يعني أيضًا أن طول ﺃﺱ يساوي ثلثي طول القطعة المستقيمة ﺃﺹ.
هذا المثلث الفرعي ﺃﺏﺹ مثلث قائم الزاوية. وفيه الوتر ﺃﺏ هو طول ضلع القاعدة، ويساوي ٣٢ سنتيمترًا. والضلع ﺏﺹ يساوي نصف طول ضلع القاعدة، أي ١٦ سنتيمترًا. ويمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس مرة أخرى على هذا المثلث القائم الزاوية. مربع طول الوتر، ﺃﺏ، يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، ﺃﺹ، ﺏﺹ. ويمكننا إعادة ترتيب المعادلة لإيجاد قيمة ﺃﺹ عن طريق طرح ﺏﺹ تربيع من كلا الطرفين وأخذ الجذر التربيعي؛ لنحصل على ﺃﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃﺏ تربيع ناقص ﺏﺹ تربيع.
بما أن ﺃﺱ يساوي ثلثي ﺃﺹ، فإن ﺃﺱ يساوي ثلثين في الجذر التربيعي لـ ﺃﺏ تربيع ناقص ﺏﺹ تربيع. وأخيرًا بأخذ الجذر التربيعي نحصل على ﺃﺱ تربيع، وهو ما يساوي أربعة أتساع في ﺃﺏ تربيع ناقص ﺏﺹ تربيع.
والآن يمكننا التعبير عن ارتفاع الهرم، ﻡﺱ، بصيغة مكونة بالكامل من كميات معلومة. ﻡﺱ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃﻡ تربيع ناقص أربعة أتساع ﺃﺏ تربيع ناقص ﺏﺹ تربيع. ﺃﻡ هو الحرف الجانبي للهرم، وطوله ٨٨ سنتيمترًا. ﺃﺏ هو طول ضلع القاعدة، ويساوي ٣٢ سنتيمترًا. وﺏﺹ يساوي نصف طول ضلع القاعدة، ويساوي ١٦ سنتيمترًا. إذن، ﻡﺱ يساوي الجذر التربيعي لـ ٨٨ تربيع ناقص أربعة أتساع في ٣٢ تربيع ناقص ١٦ تربيع. وبإجراء هذه العملية الحسابية، نجد أن ارتفاع الهرم يساوي ٨٦٫٠٤ سنتيمترًا، لأقرب جزء من مائة.
في المثال التالي، سنستخدم شبكة الهرم لحساب ارتفاعه الرأسي وارتفاعه الجانبي.
لدينا شبكة هرم رباعي بالأبعاد الموضحة. أوجد ارتفاع الهرم، لأقرب جزء من مائة. أوجد الارتفاع الجانبي للهرم، لأقرب جزء من مائة.
دعونا نبدأ برسم الهرم في ثلاثة أبعاد. دعونا نسم رءوس القاعدة الأربعة ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ والرأس العلوي ﻫ. ونعلم من الشبكة أن طول ضلع القاعدة الرباعية يساوي خمسة سنتيمترات، وطول الحرف الجانبي للهرم يساوي أربعة سنتيمترات. ويمكننا رسم خط رأسي من الرأس ﻫ إلى قاعدة الهرم. ويتقاطع الخط مع قاعدة الهرم عند مركزها في النقطة ﺱ. وطوله هو ارتفاع الهرم.
هذا الخط يسقط عموديًّا على أي خط موجود في القاعدة، مثل المستقيم ﺃﺱ. ومن ثم فهو يشكل مثلثًا قائم الزاوية ﺃﺱﻫ. إذن وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن مربع وتر هذا المثلث، ﺃﻫ، يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، ﺱﻫ، ﺃﺱ. وبإعادة ترتيب المعادلة لإيجاد ارتفاع الهرم، ﺱﻫ، عن طريق طرح ﺃﺱ تربيع وأخذ الجذر التربيعي، نحصل على ﺱﻫ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃﻫ تربيع ناقص ﺃﺱ تربيع. ﺃﻫ هو الارتفاع الجانبي للهرم، ويساوي أربعة سنتيمترات. وطول ﺃﺱ مجهول حاليًّا.
لإيجاد طول ﺃﺱ، انظر لقاعدة الهرم من الأعلى. مركز القاعدة، ﺱ، هو نقطة منتصف قطر المربع، أي ﺃﺟ. والمثلث ﺃﺏﺟ مثلث قائم الزاوية. إذن وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن مربع وتر هذا المثلث، ﺃﺟ، يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، ﺃﺏ، ﺏﺟ.
ﺃﺟ يساوي ضعف طول ﺃﺱ، ومن ثم يمكن إعادة كتابة الطرف الأيمن في صورة اثنين ﺃﺱ الكل تربيع. وبما أن القاعدة مربعة الشكل، فإن ﺃﺏ يساوي ﺏﺟ؛ إذن الطرف الأيسر يساوي اثنين ﺃﺏ تربيع. والطرف الأيمن يحتوي على عامل مشترك أربعة، والطرف الأيسر يحتوي على عامل مشترك اثنين. وبقسمة كلا الطرفين على أربعة، نحصل على ﺃﺱ تربيع يساوي نصف ﺃﺏ تربيع.
ومن ثم يمكننا التعبير عن ارتفاع الهرم بمعلومية جميع الأطوال. ﺱﻫ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃﻫ تربيع ناقص نصف ﺃﺏ تربيع. ﺃﻫ هو الحرف الجانبي للهرم، وطوله أربعة سنتيمترات، وﺃﺏ هو طول ضلع القاعدة، ويساوي خمسة سنتيمترات. إذن ﺱﻫ يساوي الجذر التربيعي لأربعة تربيع ناقص نصف في خمسة تربيع. وبإجراء هذه العملية الحسابية نحصل على ارتفاع الهرم، ويساوي ١٫٨٧ سنتيمتر لأقرب جزء من مائة.
بالنسبة إلى الجزء الثاني من السؤال، دعونا نفرغ بعض المساحة ونعد رسم الهرم. الارتفاع الجانبي للهرم هو طول الخط الواصل بين الرأس العلوي، ﻫ، ونقطة منتصف أحد أحرف قاعدته، وليكن ﺏﺟ. ومثلما فعلنا من قبل، يمكننا رسم خط رأسي من الرأس ﻫ إلى النقطة ﺱ، وهي مركز القاعدة. والزاوية المحصورة بين هذا الخط والمستقيم ﺱﺹ زاوية قائمة. إذن، المثلث ﺱﺹﻫ مثلث قائم الزاوية.
يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس مرة أخرى لإيجاد الارتفاع الجانبي، ﺹﻫ. هذا هو وتر المثلث القائم الزاوية ﺱﺹﻫ. إذن، مربعه يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، ﺱﺹ، ﺱﻫ. وطول ﺱﻫ معلوم بالفعل من الجزء السابق من إجابة السؤال. إذن، كل ما علينا فعله هو إيجاد قيمة ﺱﺹ. ﺱ هو مركز القاعدة، وﺱﺹ يوازي الحرف ﺃﺏ. إذن، ﺱﺹ يساوي نصف طول الحرف، أي خمسة على اثنين سنتيمتر.
بحساب الجذر التربيعي للمعادلة السابقة، نحصل على الارتفاع الجانبي. ﺹﻫ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱﺹ تربيع زائد ﺱﻫ تربيع. ﺱﺹ تربيع يساوي خمسة على اثنين الكل تربيع، وﺱﻫ يساوي الجذر التربيعي لأربعة تربيع ناقص نصف في خمسة تربيع. إذن، ﺱﻫ تربيع يساوي أربعة تربيع ناقص نصف في خمسة تربيع. وبإجراء هذه العملية الحسابية، نحصل على ﺹﻫ، وهو الارتفاع الجانبي للهرم، ويساوي ٣٫١٢ سنتيمترات لأقرب جزء من مائة.
في المثال الأخير، سنحسب محيط مخروط دائري قائم، ومساحة قاعدته من خلال إيجاد طول نصف قطره.
مخروط دائري قائم، ارتفاعه ٩٠ سنتيمترًا، وطول راسمه ١٠٦ سنتيمترات. أوجد كلًّا من محيط ومساحة قاعدته بدلالة 𝜋.
دعونا نبدأ برسم المخروط. الارتفاع ٩٠ سنتيمترًا، وطول الراسم ١٠٦ سنتيمترات، ونصف قطر القاعدة، نق، مجهول. القاعدة دائرية الشكل. ولعلنا نتذكر أن محيط الدائرة يساوي اثنين 𝜋 في نصف القطر نق. ومساحة الدائرة تساوي 𝜋 في نصف القطر نق تربيع.
يشكل كل من الارتفاع العمودي والراسم ونصف القطر مثلثًا قائم الزاوية. ومن ثم يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس، التي تنص على أن مربع وتر هذا المثلث القائم الزاوية، أي الراسم ﻝ، يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، وهما نصف القطر نق والارتفاع ﻉ.
بإعادة ترتيب المعادلة لإيجاد قيمة نق عن طريق طرح ﻉ تربيع من كلا الطرفين، وأخذ الجذر التربيعي، نحصل على نصف القطر، نق، يساوي الجذر التربيعي لـ ﻝ تربيع ناقص ﻉ تربيع. محيط الدائرة يساوي اثنين 𝜋 في نق، وهو ما يساوي اثنين 𝜋 في الجذر التربيعي لـ ١٠٦ تربيع ناقص ٩٠ تربيع. وبإجراء هذه العملية الحسابية، نحصل على محيط القاعدة، ويساوي ١١٢𝜋 سنتيمتر، وسنتركه على هذه الصورة كما هو مطلوب في السؤال. ومساحة القاعدة تساوي 𝜋 في نق تربيع، أي 𝜋 في ١٠٦ تربيع ناقص ٩٠ تربيع. وبإجراء هذه العملية الحسابية، نحصل على مساحة قاعدة المخروط، وتساوي ٣١٣٦𝜋 سنتيمتر مربع، وسنتركها أيضًا كما هي بدلالة 𝜋.
دعونا نختم هذا الفيديو بتلخيص بعض النقاط الأساسية. تنص نظرية فيثاغورس على أن مربع وتر المثلث القائم الزاوية، ﺟ، يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، ﺃ، ﺏ. يمكن تطبيق هذه النظرية على الأشكال الثلاثية الأبعاد، مثل المكعبات والأهرامات والمخاريط، عن طريق رسم شرائح ثنائية الأبعاد خلالها لتكوين مثلثات قائمة الزاوية؛ حيث يكون اثنان من أطوال أضلاع المثلث معروفين، ومن ثم يمكن إيجاد الضلع الثالث باستخدام نظرية فيثاغورس.
الارتفاع العمودي للهرم المنتظم يكون عموديًّا على أي خط مستقيم يمر بمركز قاعدته ويقع على هذه القاعدة. ومن ثم يمكن تكوين مثلث قائم الزاوية باستخدام الحرف الجانبي. الارتفاع الجانبي للهرم المنتظم هو المسافة العمودية من أي ضلع للقاعدة إلى قمة الهرم. يشكل كل من نصف قطر القاعدة نق، والارتفاع الرأسي ﻉ، وراسم المخروط ﻝ، مثلثًا قائم الزاوية؛ حيث يكون الراسم هو الوتر. إذن وفقًا لنظرية فيثاغورس، نق تربيع زائد ﻉ تربيع يساوي ﻝ تربيع.
