فيديو الدرس: تبسيط المقادير العددية: الأسس السالبة والكسرية الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم قواعد الأسس السالبة والكسرية لتبسيط المقادير العددية. سنبدأ بالنظر إلى القواعد التي يمكننا استخدامها عند التعامل مع الأسس السالبة والأسس الكسرية.

عند التعامل مع الأسس السالبة، نستخدم القاعدة التالية: ﺱ أس سالب ﻥ يساوي واحدًا على ﺱ أس ﻥ. لننظر إلى مثالين: أولًا: خمسة أس سالب اثنين، وثانيًا: اثنان أس سالب أربعة. باستخدام هذه القاعدة، يمكن إعادة كتابة خمسة أس سالب اثنين بالصورة واحد على خمسة أس اثنين أو خمسة تربيع. وبما أن خمسة تربيع يساوي ٢٥، فإن خمسة أس سالب اثنين يساوي واحدًا على ٢٥. وبالطريقة نفسها، اثنان أس سالب أربعة يساوي واحدًا على اثنين أس أربعة. هذا يساوي اثنين في اثنين في اثنين في اثنين. اثنان أس أربعة يساوي ١٦؛ إذن اثنان أس سالب أربعة يساوي واحدًا على ١٦.

لننظر الآن إلى ما يحدث عندما نريد رفع كسر ما إلى قوة سالبة. نعلم أن واحدًا على أي عدد يعرف بمقلوب هذا العدد. وعند إيجاد مقلوب كسر، نبدل البسط والمقام. هذا يعني أن ﺃ على ﺏ أس سالب ﻥ يساوي ﺏ على ﺃ أس ﻥ. في هذا المثال، أربعة على ثلاثة أس سالب اثنين يساوي ثلاثة على أربعة أس اثنين الكل تربيع. وعند رفع أي كسر إلى قوة ما، يمكننا رفع البسط والمقام لهذه القوة بشكل منفصل. ثلاثة أرباع أو ثلاثة على أربعة تربيع يساوي ثلاثة تربيع على أربعة تربيع. وهذا يساوي تسعة على ١٦.

سنستخدم هاتين القاعدتين عند التعامل مع الأسس السالبة للأعداد الصحيحة والأعداد الكسرية. عند التعامل مع الأسس الكسرية، نستخدم القاعدة التي تنص على أن ﺱ أس واحد على ﻥ يساوي الجذر النوني لـ ﺱ. هذا يعني أن ثمانية أس ثلث يساوي الجذر التكعيبي لثمانية. وبما أن اثنين تكعيب يساوي ثمانية، فإن الجذر التكعيبي لثمانية يساوي اثنين. هذا يعني أن ثمانية أس ثلث يساوي اثنين. عند محاولة حساب ﺱ أس ﻡ على ﻥ، نبدأ بإيجاد الجذر النوني لـ ﺱ ثم نرفع هذا الناتج إلى القوة ﻡ.

لننظر إلى ١٦ أس ثلاثة على اثنين. المقام يساوي اثنين، إذن هذا هو الجذر. علينا أن نأخذ الجذر التربيعي لـ ١٦. بما أن البسط يساوي ثلاثة، فسنكعب هذا الناتج. الجذر التربيعي لـ ١٦ يساوي أربعة، وأربعة تكعيب يساوي ٦٤. إذن ١٦ أس ثلاثة على اثنين يساوي ٦٤.

يمكننا أيضًا إجراء هاتين العمليتين بالترتيب العكسي. يمكننا رفع ﺱ للقوة ﻡ ثم أخذ الجذر النوني. في هذا المثال، سنحسب ١٦ تكعيب ثم نوجد الجذر التربيعي للناتج. وعلى الرغم من أن هذا يعطينا الناتج نفسه، فإن تكعيب ١٦ ثم حساب الجذر التربيعي لـ ٤٠٩٦ يعد أكثر تعقيدًا من إيجاد الجذر التربيعي لـ ١٦ ثم تكعيب أربعة. في الغالبية العظمى من الأسئلة، سيكون من الأسهل إيجاد الجذر أولًا.

لننظر الآن إلى ما يحدث عندما يكون لدينا أس كسري سالب، مثل ٣٢ أس سالب خمسين. نتذكر أنه عندما كان لدينا أس سالب، نظرنا إلى المقلوب. ‏‏٣٢ أس سالب خمسين يساوي واحدًا على ٣٢ أس خمسين. الخطوة التالية هي إيجاد الجذر الخامس لـ ٣٢ ثم تربيع الناتج. الجذر الخامس لـ ٣٢ يساوي اثنين. بذلك يتبقى لدينا واحد على اثنين تربيع. إذن ٣٢ أس سالب خمسين يساوي ربعًا. ‏‏ﺱ أس سالب ﻡ على ﻥ يساوي واحدًا على الجذر النوني لـ ﺱ أس ﻡ. يمكننا استخدام هذه القواعد الثلاث عند حل المسائل التي تحتوي على أسس كسرية.

سنتناول الآن بعض الأسئلة التي تتضمن أسسًا سالبة وكسرية.

أي من التالي يساوي أربعة في الجذر التربيعي لستة أس سالب واحد؟ هل هو (أ) ٢٤، أم (ب) أربعة جذر ستة، أم (ج) اثنان جذر ستة على ثلاثة، أم (د) ثلثان؟

عند التعامل مع الأسس السالبة، نستخدم القاعدة التي تنص على أن ﺱ أس سالب ﻥ يساوي واحدًا على ﺱ أس ﻥ. هذا يعني أن ﺱ أس سالب واحد يساوي واحدًا على ﺱ أس واحد، وهو ما يساوي واحدًا على ﺱ. الجذر التربيعي لستة أس سالب واحد يساوي واحدًا على الجذر التربيعي لستة. وهذا يعني أنه عند ضرب هذا في أربعة، نحصل على أربعة على الجذر التربيعي لستة أو أربعة على جذر ستة. وبما أن لدينا جذرًا أو جذرًا أصم في المقام، فعلينا إنطاق هذا الكسر. نفعل ذلك بضرب البسط والمقام في الجذر التربيعي لستة.

هذا يعطينا أربعة جذر ستة على ستة، لأن ضرب الجذر التربيعي لستة في الجذر التربيعي لستة يساوي ستة. وذلك نظرًا لأن أحد قوانين الأسس ينص على أن الجذر التربيعي لـ ﺱ في الجذر التربيعي لـ ﺱ يساوي ﺱ. يمكننا تبسيط هذا الكسر بقسمة البسط والمقام على اثنين. وبذلك، يتبقى لدينا اثنان جذر ستة على ثلاثة. إذن، الإجابة الصحيحة هي الخيار (ج). أربعة في الجذر التربيعي لستة أس سالب واحد يساوي اثنين جذر ستة على ثلاثة.

في المسألة التالية، لدينا أس كسري سالب.

أوجد قيمة ٦٤ على ٢٧ أس سالب ثلثين.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا الاستفادة من معرفتنا بالأسس الكسرية والسالبة. أولًا عندما نرفع كسرًا لقوة سالبة، فإن هذا يساوي مقلوب الكسر مرفوعًا لموجب هذه القوة. وعند إيجاد مقلوب كسر، نبدل البسط والمقام. هذا يعني أن ٦٤ على ٢٧ أس سالب ثلثين هو نفسه ٢٧ على ٦٤ أس ثلثين. نتذكر أيضًا أنه عند رفع كسر إلى قوة ما، يمكننا رفع كل من البسط والمقام إلى هذه القوة كل على حدة. هذا يعني أن لدينا ٢٧ أس ثلثين على ٦٤ أس ثلثين.

عند رفع أي عدد للقوة ﻡ على ﻥ، نوجد أولًا الجذر النوني للعدد ثم نرفع هذا الناتج للقوة ﻡ. لحساب ٢٧ أس ثلثين، علينا إيجاد الجذر التكعيبي لـ ٢٧ ثم تربيع الناتج. الجذر التكعيبي لـ ٢٧ يساوي ثلاثة. وبما أن ثلاثة تربيع يساوي تسعة، فإن ٢٧ أس ثلثين يساوي تسعة. نكرر ذلك مع المقام. الجذر التكعيبي لـ ٦٤ يساوي أربعة. وبما أن أربعة تربيع يساوي ١٦، فإن ٦٤ أس ثلثين يساوي ١٦. هذا يعني أن ٦٤ على ٢٧ أس سالب ثلثين يساوي تسعة على ١٦.

في المسألة التالية، علينا أولًا تحويل الأعداد العشرية إلى كسور.

أوجد قيمة ٠٫٠٣١٢٥ أس سالب ٠٫٢.

في هذه المسألة، ستكون الخطوة الأولى هي تحويل الأساس ٠٫٠٣١٢٥ والأس السالب ٠٫٢ إلى كسرين. ‏‏٠٫٠٣١٢٥ يساوي الكسر ٣١٢٥ على ١٠٠٠٠٠. هذا لأن الخمسة في خانة الأجزاء من مائة ألف. لا يتضح على الفور أكبر عامل مشترك بين ٣١٢٥ و١٠٠٠٠٠. يمكننا البدء بقسمة البسط والمقام على خمسة، أو ٢٥، أو ١٢٥، أو أي عامل آخر من عوامل البسط والمقام. حاصل قسمة ١٠٠٠٠٠ على ٣١٢٥ يساوي ٣٢. هذا يعني أن الكسر في أبسط صورة يساوي واحدًا على ٣٢. الأس في هذا السؤال كان سالب ٠٫٢، وهو ما يساوي سالب عشرين. وبقسمة البسط والمقام على اثنين، يمكن تبسيط ذلك إلى سالب خمس. يمكننا إذن إعادة كتابة العملية الحسابية في صورة واحد على ٣٢ أس سالب خمس.

نتذكر هنا أن رفع الكسر ﺃ على ﺏ للقوة سالب ﻥ يماثل رفع الكسر ﺏ على ﺃ للقوة ﻥ. هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة العملية الحسابية في صورة ٣٢ على واحد أس خمس. وأي عدد صحيح مقسوم على واحد يساوي هذا العدد الصحيح. وبالتالي، يمكن إعادة كتابة ذلك في صورة ٣٢ أس خمس. ورفع أي عدد لكسر الوحدة واحد على ﻥ يماثل إيجاد الجذر النوني لهذا العدد. لذا علينا حساب الجذر الخامس لـ ٣٢. بما أن اثنين أس خمسة يساوي ٣٢، فإن الجذر الخامس لـ ٣٢ يساوي اثنين. ‏‏٠٫٠٣١٢٥ مرفوعًا للقوة سالب ٠٫٢ يساوي اثنين.

في السؤال الأخير، سنجمع كل المهارات التي استخدمناها في هذا الفيديو.

أوجد قيمة أربعة أس ثلاثة على اثنين في ٣٢ أس سالب ٠٫٢ في اثنين أس سالب ثلاثة الكل مقسوم على ٣٢ أس سالب ٠٫٤ في اثنين أس سالب اثنين.

إحدى طرق حل هذه المسألة هي حساب كل حد من الحدود الخمسة على حدة. فيمكننا حساب أربعة أس ثلاثة على اثنين، و٣٢ أس سالب ٠٫٢، وهكذا. وعلى الرغم من أن ذلك سيعطينا الإجابة الصحيحة، فهناك طريقة أسرع إذا أدركنا أن أربعة و٣٢ من قوى العدد اثنين. أربعة يساوي اثنين تربيع، و٣٢ يساوي اثنين أس خمسة. هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة العملية الحسابية كما هو موضح. أربعة أس ثلاثة على اثنين يساوي اثنين تربيع أس ثلاثة على اثنين. و٣٢ أس سالب ٠٫٢ يساوي اثنين أس خمسة أس سالب ٠٫٢. و٣٢ أس سالب ٠٫٤ يساوي اثنين أس خمسة أس سالب ٠٫٤.

يمكننا الآن استخدام قوانين الأسس. ‏‏ﺱ أس ﺃ مرفوعًا للقوة ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ مضروبًا في ﺏ. يمكننا ضرب اثنين في ثلاثة على اثنين، وخمسة في سالب ٠٫٢، وخمسة في سالب ٠٫٤. اثنان في ثلاثة على اثنين يساوي ثلاثة. هذا يعني أن الحد الأول يساوي اثنين تكعيب. خمسة في سالب ٠٫٢ يساوي سالب واحد. إذن الحد الثاني هو اثنان أس سالب واحد. يكتمل البسط بالضرب في اثنين أس سالب ثلاثة. خمسة في سالب ٠٫٤ يساوي سالب اثنين. هذا يعني أن المقام يصبح اثنين أس سالب اثنين في اثنين أس سالب اثنين.

ثمة قانون آخر من قوانين الأسس ينص على أن ﺱ أس ﺃ في ﺱ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ زائد ﺏ. ومن ثم، علينا جمع ثلاثة وسالب واحد وسالب ثلاثة في البسط. هذا يعطينا سالب واحد. إذن، لدينا اثنان أس سالب واحد. نكرر ذلك في المقام. سالب اثنين زائد سالب اثنين يساوي سالب أربعة. تصبح المعادلة لدينا اثنان أس سالب واحد على اثنين أس سالب أربعة.

تنص قاعدة الأسس الثالثة التي سنستخدمها على أن ﺱ أس ﺃ على ﺱ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ ناقص ﺏ. لذا علينا طرح سالب أربعة من سالب واحد. وهذا مثل إضافة أربعة إلى سالب واحد، ما يعطينا ثلاثة. وبذلك يصبح لدينا اثنان أس ثلاثة أو اثنان تكعيب. اثنان تكعيب يساوي ثمانية. إذن، هذه هي إجابة العملية الحسابية.

لو كنا قد حاولنا حل المسألة عن طريق إيجاد كل حد على حدة، لكان بإمكاننا استخدام القاعدتين اللتين تنصان على أن ﺱ أس ﺃ على ﺏ يساوي الجذر البائي لـ ﺱ أس ﺃ، وأن ﺱ أس سالب ﺃ يساوي واحدًا على ﺱ أس ﺃ. أربعة أس ثلاثة على اثنين يساوي ثمانية. ‏‏٣٢ أس سالب ٠٫٢ أو سالب خمس يساوي نصفًا. وهذا يعني أن ٣٢ أس سالب ٠٫٤ أو سالب خمسين يساوي ربعًا. اثنان أس سالب ثلاثة يساوي ثمنًا، واثنان أس سالب اثنين يساوي ربعًا.

وكان سيتبقى لدينا ثمانية في نصف في ثمن مقسومًا على ربع في ربع. يمكن تبسيط البسط إلى نصف، والمقام إلى واحد على ١٦. وبما أن قسمة كسر على كسر هي نفسها ضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني، فإن نصفًا مقسومًا على واحد على ١٦ يساوي ثمانية أيضًا. وهذا يؤكد الإجابة التي حصلنا عليها باستخدام الطريقة الأولى.

سنلخص الآن النقاط الأساسية المستخلصة من هذا الفيديو. في هذا الفيديو، ذكرنا قوانين الأسس الثلاثة التي نستخدمها عندما نحتاج إلى جمع الأسس وطرحها وضربها. وعند التعامل مع الأسس السالبة، رأينا أن ﺱ أس سالب ﻥ يساوي واحدًا على ﺱ أس ﻥ. وتعلمنا أيضًا قاعدة الأسس الكسرية، وجمعنا بين هذه القواعد لحل المسائل التي تتضمن أعدادًا صحيحة وكسورًا وأعدادًا عشرية.