فيديو السؤال: حل نظام من معادلتين باستخدام المصفوفات الرياضيات

الخط المستقيم الذي معادلته ﺹ + ﺃﺱ = ﺟ يمر بالنقطتين (−٥‎، ٥)، (٣‎، ١٠). أوجد ﺃ، ﺟ باستخدام المصفوفات.

١٠:٠٠

‏نسخة الفيديو النصية

الخط المستقيم الذي معادلته ﺹ زائد ﺃﺱ يساوي ﺟ يمر بالنقطتين سالب خمسة، خمسة وثلاثة، ١٠. أوجد ﺃ وﺟ باستخدام المصفوفات.

قبل أن نستخدم المصفوفات لحل هذه المسألة، سنبدأ بمحاولة كتابة نظام من المعادلات الخطية. في البداية، نحن نعلم أن الخط المستقيم الذي معادلته ﺹ زائد ﺃﺱ يساوي ﺟ يمر بالنقطتين سالب خمسة، خمسة وثلاثة، ١٠. بعبارة أخرى، عند ﺱ يساوي سالب خمسة، فإن ﺹ يساوي خمسة. ومن ثم، يمكننا التعويض بهاتين القيمتين في معادلة الخط المستقيم ﺹ زائد ﺃﺱ يساوي ﺟ. وسيكون بإمكاننا تكرار ذلك مع الإحداثيين ثلاثة، ١٠، وعندئذ سيكون لدينا نظام من معادلات خطية نحله لإيجاد قيمة كل من ﺃ وﺟ. بالتعويض عن ﺹ بخمسة وعن ﺱ بسالب خمسة، تصبح المعادلة لدينا خمسة زائد ﺃ في سالب خمسة يساوي ﺟ، ويمكن كتابة ذلك على الصورة خمسة ناقص خمسة ﺃ يساوي ﺟ.

وأخيرًا، سنعيد ترتيب هذه المعادلة للتأكد من أن المتغيرين في الطرف نفسه. يمكننا فعل ذلك بإضافة خمسة ﺃ إلى الطرفين ما يجعلنا نحصل على خمسة ﺃ زائد ﺟ يساوي خمسة. والآن دعونا نكرر ذلك، لكن هذه المرة سنجعل ﺱ يساوي ثلاثة وﺹ يساوي ١٠. هذا يعطينا ١٠ زائد ثلاثة ﺃ يساوي ﺟ. وهذه المرة، سنطرح ثلاثة ﺃ من الطرفين ما يجعلنا نحصل على سالب ثلاثة ﺃ زائد ﺟ يساوي ١٠. لدينا الآن نظام من معادلات خطية، لذا دعونا نفرغ بعض المساحة ونفكر في الخطوة التالية.

علينا إيجاد طريقة لتمثيل نظام المعادلات الخطية هذا باستخدام المصفوفات. لعلنا نتذكر طريقة ضرب مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين في مصفوفة عمود، فهي تمكننا من تمثيل نظام المعادلات الخطية الموجود على الصورة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﻙ واحد، وﺟﺱ زائد ﺩﺹ يساوي ﻙ اثنين باستخدام المصفوفات، ليكون على صورة المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين ﺃ، ‏ﺏ، ‏ﺟ، ‏ﺩ في المصفوفة العمود ﺱ، ‏ﺹ يساوي المصفوفة العمود ﻙ واحد، ‏ﻙ اثنين. بعبارة أخرى، نحن ببساطة نأخذ معاملي ﺱ وﺹ ونضعهما في مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين. في هذه الحالة، نستخدم المتغيرين ﺃ وﺟ، اللذين يجب عدم الخلط بينهما وبين الثابتين ﺃ وﺟ في الصيغة العامة.

معامل ﺃ في المعادلة الأولى هو خمسة، ومعامل ﺟ في المعادلة الأولى هو واحد. معامل ﺃ في المعادلة الثانية هو سالب ثلاثة، ومعامل ﺟ هو واحد أيضًا. إذن الطرف الأيمن من نظام المعادلات الخطية يمكن تمثيله على صورة المصفوفة خمسة، واحد، سالب ثلاثة، واحد في المصفوفة العمود ﺃ، ‏ﺟ. سنأخذ بعد ذلك الثابتين خمسة و١٠ ونكتب مصفوفة عمودًا ثانية كما هو موضح. مهمتنا هي حل هذه المعادلة المصفوفية بجعل المصفوفة العمود ﺃ، ‏ﺟ المتغير التابع؛ أي في طرف بمفردها. لذا، دعونا نتخيل أننا نتعامل مع المعادلة المصفوفية العامة ﺃﺱ يساوي ﺟ، حيث ﺃ مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين، وﺱ مصفوفة عمود للمتغيرات، وﺟ مصفوفة عمود أخرى.

إننا نحل هذه المعادلة بضرب الطرفين في معكوس المصفوفة ﺃ. وهذا مفيد لأن معكوس ﺃ في ﺃ يعطينا مصفوفة الوحدة. وعند ضرب مصفوفة الوحدة في أي مصفوفة أخرى، فإننا نحصل على المصفوفة الأصلية. حسنًا، المصفوفة ﺃ هي مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين، وعناصرها هي خمسة، واحد، سالب ثلاثة، واحد. ومن الواضح هنا أن الخطوة التالية هي إيجاد معكوس هذه المصفوفة. سنعرف المصفوفة العامة التي رتبتها اثنان في اثنين ﺃ، ‏ﺏ، ‏ﺟ، ‏ﺩ بأنها تساوي المصفوفة ﺃ.

ولإيجاد معكوسها، فإننا نضرب مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين، والتي سوف نعرفها بعد قليل، في واحد على قيمة محدد المصفوفة ﺃ، حيث قيمة محدد ﺃ تساوي حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيمن والسفلي الأيسر ناقص حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيسر والسفلي الأيمن. ويمكن إيجاد المصفوفة ذات الرتبة اثنان في اثنين التي نضرب ذلك فيها عن طريق تبديل العنصرين العلوي الأيمن والسفلي الأيسر ثم تغيير إشارتي العنصرين الآخرين.

دعونا نبدأ إذن بإيجاد قيمة محدد المصفوفة التي لدينا. إنها تساوي خمسة مضروبًا في واحد ناقص واحد مضروبًا في سالب ثلاثة. وهذا يعطينا خمسة ناقص سالب ثلاثة، وهو ما يساوي ثمانية. إذن، لإيجاد معكوس المصفوفة ﺃ، سنضرب واحدًا على ثمانية في مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين. ويمكن إيجاد هذه المصفوفة عن طريق تبديل العنصرين العلوي الأيمن والسفلي الأيسر، ثم تغيير إشارتي العنصرين الآخرين. إذن، معكوس المصفوفة ﺃ يساوي ثمنًا في المصفوفة واحد، سالب واحد، ثلاثة، خمسة. ومع أنه بإمكاننا توزيع الثمن على المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين، فإن ذلك ينتج عنه مصفوفة بها كثير من الكسور. لذلك، سنفعل هذا في النهاية.

تذكر أنه لإيجاد مصفوفة المتغيرات ﺱ في المعادلة المصفوفية ﺃﺱ يساوي ﺟ، فإننا نضرب الطرفين في معكوس المصفوفة ﺃ. وعندئذ يتبقى لدينا في الطرف الأيمن مصفوفة المتغيرات ﺱ. حسنًا، مصفوفة المتغيرات هي المصفوفة العمود ﺃ، ‏ﺟ. وهذا يساوي معكوس المصفوفة ﺃ في مصفوفة الثوابت خمسة، ١٠. كيف يمكننا إذن ضرب هاتين المصفوفتين؟ سنبدأ بإيجاد حاصل الضرب القياسي لعنصري الصف الأول من المصفوفة الأولى وعنصري المصفوفة العمود. هذا يساوي واحدًا في خمسة زائد سالب واحد في ١٠، وهو ما يساوي سالب خمسة.

سنوجد بعد ذلك حاصل الضرب القياسي لعنصري الصف الثاني وعنصري المصفوفة العمود. هذا يساوي ثلاثة في خمسة زائد خمسة في ١٠، وهو ما يساوي ٦٥. إذن، المصفوفة ﺃ، ‏ﺟ تساوي ثمنًا مضروبًا في المصفوفة التي تحتوي على هذين العنصرين. والآن يمكننا توزيع الثمن على هذه المصفوفة، وسنفعل ذلك ببساطة بضرب سالب خمسة في ثمن، و ٦٥ في ثمن. يمكننا أيضًا ترك ذلك على الصورة الكسرية. وعندما نفعل ذلك، نجد أن المصفوفة ﺃ، ‏ﺟ تساوي المصفوفة سالب خمسة أثمان، ٦٥ على ثمانية.

إننا بالطبع نحاول إيجاد قيمتي ﺃ وﺟ، لذا فإننا سنستنتجهما من صورة المصفوفة. إذا كانت هناك مصفوفتان متساويتان، فهذا يعني أن العناصر المنفردة المتناظرة في كل منهما يجب أن تكون متساوية. إذن، العنصر ﺃ يساوي العنصر سالب خمسة أثمان، والعنصر ﺟ يساوي العنصر ٦٥ على ثمانية. وبهذا نكون قد انتهينا من الحل. لقد أوجدنا قيمتي ﺃ وﺟ. وهما سالب خمسة أثمان و٦٥ على ثمانية على الترتيب.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.