فيديو السؤال: استخدام الاحتمالات الممثلة في شكل فن لحساب الاحتمالات الشرطية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

فيما يلي شكل فن. احسب قيمة احتمال وقوع الحدث ﺏ بشرط وقوع الحدث ﺃ.

أول ما علينا فعله هو النظر إلى هذا الترميز الرياضي. فلدينا حرف ﻝ، وهو ما يعني الاحتمال، يليه قوس يوجد بداخله ﺏ وخط رأسي، ثم ﺃ. وهذا يعني احتمال وقوع الحدث ﺏ، بشرط وقوع الحدث ﺃ. وهذا الخط الرأسي يعني «بشرط». الآن ما فعلته هو أنني قلصت المساحة التي سننظر إليها. لذا، لونت هذا الجزء بأكمله باللون البرتقالي. ويمكننا تجاهله؛ لأننا نريد حساب احتمال وقوع الحدث ﺏ، بشرط وقوع الحدث ﺃ. ومن ثم، فإننا نعلم أن ﺃ لا بد أن يكون قد حدث. وكل ما يتعلق بالحدث ﺃ يوجد داخل الدائرة اليمنى. لذا، يمكننا تجاهل أي شيء آخر.

إذن، لحل هذه المسألة، لدينا طريقتان يمكننا استخدامهما، إحداهما باستخدام صيغة سأوضحها لكم بعد قليل. لكن أولًا، سأشرح لكم طريقة مختلفة قليلًا. في البداية، ننظر إلى شكل فن والقيم الموجودة فيه. نرى أن لدينا مساحة الحدث ﺃ. إذن، لدينا ثلاثة أعشار، وهو ما يمثل احتمال وقوع الحدث ﺃ. وذلك لأن هذا الجزء هو الذي يمثل الحدث ﺃ فقط. فإنه لا يتضمن التقاطع أو الجزء المتداخل في شكل فن. بينما يمثل الكسر عشران المساحة المتداخلة أو التقاطع. وهنا حيث يقع الحدثان ﺃ وﺏ.

في هذا السؤال، مطلوب منا حساب قيمة احتمال وقوع الحدث ﺏ، بشرط وقوع الحدث ﺃ. ومن ثم سنركز على الكسر عشرين؛ لأنه يمثل الجزء الوحيد الذي سيقع فيه الحدث ﺏ. والآن، توجد طريقتان لاستخدام هذا المعطى لحل المسألة. الطريقة الأولى هي التفكير في البسطين فقط. وهما ثلاثة واثنان. وذلك لأن المقامين متساويان. لذا، يمكننا اعتبار أن لدينا ثلاثة أجزاء وجزأين فقط. إذن، يمكننا القول: إن إجمالي الأجزاء لدينا هو ثلاثة زائد اثنين، وهو ما يساوي خمسة. ومن ذلك، يمكننا القول: إن إجمالي الأجزاء الموجودة داخل الحدث ﺃ هو خمسة.

ومن ثم، يمكننا القول: إن احتمال وقوع الحدث ﺏ بشرط وقوع الحدث ﺃ يساوي خمسين. وذلك لأن الجزأين يمثلان الجزء الذي وقع فيه الحدثان ﺃ وﺏ. وعليه، فإن الحدث ﺏ وقع فيه أيضًا. إذن، لدينا جزآن من إجمالي الأجزاء الخمسة. أي لدينا خمسان. وهناك طريقة أخرى يمكننا التفكير بها، وهي اعتبار عشرين جزءًا من إجمالي خمسة أعشار. وعندما نقول: «من إجمالي»، فإننا نقصد هنا القسمة على الإجمالي. أي إن عشرين مقسومًا على خمسة أعشار. والآن، إذا قسمنا الكسرين، فما سنفعله في الواقع هو ضربهما مع قلب الكسر الثاني أو إيجاد المقلوب. إذن، لدينا عشران مضروبًا في ١٠ على خمسة.

والآن، لكي نضرب الكسرين، ما يمكننا فعله هو ضرب البسطين، ثم ضرب المقامين. ومن ثم، يصبح لدينا ٢٠ على ٥٠. لكننا لا نحتاج إلى ذلك؛ لأنه يمكننا الاختزال سابقًا؛ حيث لدينا ١٠ في البسط، و ١٠ في المقام. لذا، سيلغي كل منهما الآخر. بالتالي، سيتبقى لدينا اثنان على خمسة، أو خمسان، وهي الإجابة نفسها التي حصلنا عليها بالطريقة الأخرى. ومن ذلك نعرف أنها إجابة صحيحة.

حسنًا، لقد قلت: إن لدينا طريقتين لحل المسألة. وهذه كانت إحداهما، ولكننا اتبعنا طريقتين لإجراء العملية الحسابية. لكنني سأعرض لكم أيضًا صيغة كان بإمكاننا استخدامها للحصول على الإجابة الصحيحة. وهذه الصيغة هي أن احتمال وقوع الحدث ﺏ بشرط وقوع الحدث ﺃ يساوي احتمال وقوع الحدثين ﺏ وﺃ مقسومًا على احتمال وقوع الحدث ﺃ. ولو أننا استخدمنا هذه الصيغة، لكان هذا يقودنا إلى الخطوة التي أجريناها هنا، وهي عشران مقسومًا على خمسة أعشار. وذلك لأن عشرين هو احتمال وقوع الحدثين ﺏ وﺃ معًا. وخمسة أعشار هو احتمال وقوع الحدث ﺃ. إذن، كنا سننتقل مباشرة إلى هذه الخطوة، التي كان يمكننا حلها بعد ذلك لنحصل على خمسين.