فيديو السؤال: اشتقاق تركيب من الدوال اللوغاريتمية والكسرية باستخدام قاعدة السلسلة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد دﺹ على دﺱ، إذا كان ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لسالب ثمانية ﺱ تربيع مقسومًا على سبعة ﺱ ناقص ثلاثة.

المطلوب منا في السؤال هو إيجاد دﺹ على دﺱ. هذه هي المشتقة الأولى لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا ملاحظة أن ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لدالة كسرية. إذن إحدى طرق إيجاد دﺹ على دﺱ هي استخدام قاعدة القسمة لاشتقاق الدالة الكسرية. يمكننا بعد ذلك استخدام قاعدة السلسلة لإيجاد دﺹ على دﺱ. وهذا قد ينجح. لكن توجد طريقة أبسط في هذه الحالة.

سنستخدم قوانين اللوغاريتمات لتبسيط التعبير. أول شيء سنفعله هو أن نأخذ سالب واحد من البسط ونضربه في المقام. وهذا يعطينا اللوغاريتم الطبيعي لثمانية ﺱ تربيع مقسومًا على ثلاثة ناقص سبعة ﺱ. بعد ذلك، نريد استخدام حقيقة أن لوغاريتم ﺃ ناقص لوغاريتم ﺏ يساوي لوغاريتم ﺃ مقسومًا على ﺏ. سنستخدم ذلك لكتابة لوغاريتم حاصل القسمة باعتباره الفرق بين لوغاريتمين.

وبذلك، نحصل على اللوغاريتم الطبيعي لثمانية ﺱ تربيع ناقص اللوغاريتم الطبيعي لثلاثة ناقص سبعة ﺱ. ويمكننا الآن ملاحظة أن كلا حدي ﺹ في هذا التعبير عبارة عن تركيب من دالتين. ومن ثم، سنشتق هذا باستخدام قاعدة السلسلة. ونتذكر أن قاعدة السلسلة تنص على أنه للدالتين د ور، فإن مشتقة د ر تساوي ر شرطة ﺱ في د شرطة لـ ر ﺱ.

لنبدأ إذن باشتقاق الدالة الأولى. سنفترض أن د هو دالة اللوغاريتم الطبيعي وأن ر هو ثمانية ﺱ تربيع. إذن لدينا الآن د ر تساوي اللوغاريتم الطبيعي ر. علينا إيجاد تعبير لـ د شرطة ر. ويمكننا اشتقاق ذلك لأننا نعلم أن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي ﺱ تساوي واحدًا مقسومًا على ﺱ. وهذا يعطينا د شرطة ر يساوي واحدًا على ر.

بعد ذلك، علينا إيجاد تعبير ر شرطة ﺱ. نعلم أن ر ﺱ يساوي ثمانية ﺱ تربيع. إذن، يمكننا اشتقاق ذلك باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. نضرب في أس ﺱ، وهو اثنان، ونطرح واحدًا من هذا الأس. ومن ثم نحصل على: ر شرطة ﺱ يساوي ١٦ﺱ. والآن، نحن جاهزون لإيجاد مشتقة الحد الأول. وفقًا لقاعدة السلسلة، هذا يساوي ر شرطة ﺱ في د شرطة ر. أوجدنا أن ر شرطة ﺱ يساوي ١٦ﺱ، ود شرطة ر يساوي واحدًا على ر.

وتذكر أن ر ﺱ يساوي ثمانية ﺱ تربيع. إذن سنعوض بذلك في تعبير المشتقة. وهذا يساوي ١٦ﺱ مقسومًا على ثمانية ﺱ تربيع. ويمكننا تبسيط ذلك. سنحذف العامل المشترك ﺱ من البسط والمقام. وسنقسم كلًّا من البسط والمقام على ثمانية. وهذا يعطينا اثنين مقسومًا على ﺱ. وبذلك نكون قد أوجدنا مشتقة الحد الأول. فهي تساوي اثنين على ﺱ. هيا نفرغ بعض المساحة ثم نوجد مشتقة الحد الثاني.

سنحتاج إلى استخدام قاعدة السلسلة. إذن سنفترض أن د هو دالة اللوغاريتم الطبيعي. ونفترض أن ر هو الدالة الداخلية ثلاثة ناقص سبعة ﺱ. مرة أخرى، نجد أن د ر يساوي اللوغاريتم الطبيعي ر. ومرة أخرى نعلم أن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي ﺱ تساوي واحدًا على ﺱ. إذن د شرطة ر يساوي واحدًا على ر. بعد ذلك، ر ﺱ هو الدالة الداخلية ثلاثة ناقص سبعة ﺱ. وهذه دالة خطية، لذا مشتقتها تساوي معامل ﺱ فحسب، وهو في هذه الحالة سالب سبعة.

نحن الآن جاهزون لإيجاد مشتقة الحد الثاني باستخدام قاعدة السلسلة. إنها تساوي ر شرطة ﺱ في د شرطة ر. كما أوضحنا أن ر شرطة ﺱ يساوي سالب سبعة، ود شرطة ر يساوي واحدًا على ر. ومرة أخرى، نعرف أن ر ﺱ يساوي ثلاثة ناقص سبعة ﺱ. سنعوض بذلك في المشتقة. وهذا يعطينا: سالب سبعة على ثلاثة ناقص سبعة ﺱ. سنضرب كلًّا من البسط والمقام في سالب واحد. وهذا يعطينا سبعة مقسومًا على سبعة ﺱ ناقص ثلاثة.

وبذلك نكون قد اشتققنا كلا حدي ﺹ في التعبير. وهذا يعني أنه يمكننا إيجاد دﺹ على دﺱ. إذن، دﺹ على دﺱ سيكون الفرق بين المشتقتين. هذا يساوي اثنين على ﺱ ناقص سبعة مقسومًا على سبعة ﺱ ناقص ثلاثة. ويمكننا أن نترك الناتج بهذا الشكل. ولكننا سنجمع ذلك في دالة كسرية واحدة. بالضرب التبادلي ثم تجميع الكسرين، نحصل على: اثنان في سبعة ﺱ ناقص ثلاثة ناقص سبعة ﺱ الكل مقسوم على ﺱ في سبعة ﺱ ناقص ثلاثة.

بضرب الأقواس في البسط، نحصل على: ١٤ﺱ ناقص ستة ناقص سبعة ﺱ. و١٤ﺱ ناقص سبعة ﺱ يساوي سبعة ﺱ. إذن يمكن تبسيط البسط ليصبح: سبعة ﺱ ناقص ستة. وآخر شيء سنفعله هو توزيع ﺱ في المقام على القوسين. وهذا يعطينا: سبعة ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ. وهذه هي الإجابة النهائية. وبذلك نكون قد أوجدنا أنه إذا كان ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لسالب ثمانية ﺱ تربيع مقسومًا على سبعة ﺱ ناقص ثلاثة، فإن دﺹ على دﺱ يساوي سبعة ﺱ ناقص ستة الكل مقسوم على سبعة ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ.