فيديو السؤال: إيجاد طول ضلع في مثلث قائم الزاوية باستخدام المتطابقات المثلثية الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

الدائرة ‪𝑀‬‏ محيطها 259، والقطعة المستقيمة ‪𝑍𝑌‬‏ مماس للدائرة عند النقطة ‪𝑌‬‏. احسب طول القطعة المستقيمة ‪𝑍𝑌‬‏، لأقرب جزء من المائة.

الخطوة الأولى في هذا النوع من المسائل هي تحديد القيم التي نعرفها. أول معلومة عرفناها هي أن محيط الدائرة يساوي 259. نحن نعلم أن هناك صيغة لإيجاد محيط الدائرة. وهي ‪𝑐‬‏ يساوي ‪𝜋𝑑‬‏. لكن كيف سيفيدنا هذا؟ بالنظر إلى الرسم، نلاحظ أن ‪𝑋𝑌‬‏ هو القطر، وذلك لأننا نعلم أن المركز هو ‪𝑀‬‏. لذا يمكننا استخدام هذه الصيغة والمعطيات لدينا لإيجاد طول القطر. يمكننا القول إن 259 يساوي ‪𝜋𝑑‬‏. وهذا يعطينا 259 مقسومًا على ‪𝜋‬‏ يساوي ‪𝑑‬‏. إذن هذا هو طول القطر.

يمكننا حساب قيمة هذا المقدار. ولكن سنتركه على هذه الصورة؛ ليكون الناتج دقيقًا؛ ولمنع حدوث أي أخطاء تتعلق بالتقريب لاحقًا في المسألة. حسنًا، لقد أوجدنا طول هذا الضلع، أي ‪𝑋𝑌‬‏، وهو القطر. لكن هل هناك أي خطوة أخرى يمكننا القيام بها؟ نحن نعلم من المعطيات أن القطعة المستقيمة ‪𝑍𝑌‬‏ مماس للدائرة عند النقطة ‪𝑌‬‏. لكن ماذا يعني هذا؟ نحن نعلم أنه إذا كانت قطعة مستقيمة مماسًّا لدائرة عند نقطة معينة، فستتكون زاوية قائمة بين المماس ونصف القطر عند هذه النقطة، كما هو موضح هنا. مرة أخرى، نعلم أن ‪𝑀𝑌‬‏ هو نصف القطر؛ لأننا نعرف أن ‪𝑀‬‏ مركز الدائرة.

حسنًا، جيد. ما الذي علينا فعله الآن؟ في هذا السؤال، نريد إيجاد طول القطعة المستقيمة ‪𝑍𝑌‬‏. لدينا مثلث قائم الزاوية نعلم طول أحد أضلاعه، ونريد إيجاد طول ضلع آخر فيه، ولدينا قياس زاوية. وبما أن لدينا هذه المعلومات وقياس هذه الزاوية، فسنستخدم النسب المثلثية لمساعدتنا على حل هذه المسألة وإيجاد طول القطعة المستقيمة ‪𝑍𝑌‬‏. حسنًا، أول ما يمكننا فعله إذا استخدمنا حساب المثلثات هو تسمية أضلاع هذا المثلث.

لدينا الوتر، وهو أطول ضلع مقابل للزاوية القائمة. ولدينا الضلع المقابل، وهو الضلع الذي يقابل الزاوية المعطاة. ولدينا الضلع المجاور، وهو الضلع الذي يقع بين الزاوية القائمة والزاوية المعطاة. كما أنه يجاور الزاوية المعطاة أيضًا. عند حل مسألة في حساب المثلثات، يكون علينا اتباع خطوات ثابتة. الخطوة الأولى هي تسمية أضلاع المثلث، وهو ما قمنا به بالفعل. والخطوة الثانية هي تحديد النسبة المثلثية التي سنستخدمها.

لكي نتمكن من فعل ذلك، توجد طريقة تساعدنا على التذكر، وهي الاختصار ‪SOHCAHTOA‬‏. يوضح لنا هذا الاختصار أن جيب الزاوية يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر. وجيب تمام الزاوية يساوي طول الضلع المجاور مقسومًا على طول الوتر. وظل الزاوية يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور. حسنًا، إذا ألقينا نظرة على المسألة، فسنلاحظ أننا نعرف طول الضلع المقابل ونريد إيجاد طول الضلع المجاور؛ لأنه يمثل طول القطعة المستقيمة ‪𝑍𝑌‬‏. ومن ثم بالنظر إلى الاختصار ‪SOHCAHTOA‬‏، نلاحظ أن الحرفين ‪𝑂‬‏،‪‏ 𝐴‬‏، أي الضلع المقابل والضلع المجاور، جزآن من نسبة الظل. لذا سنستخدم النسبة ‪tan 𝜃‬‏، وهو ما يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور.

الخطوة الثالثة أو الخطوة التالية هي التعويض بالقيم التي لدينا. وعندما نفعل ذلك، نحصل على tan 30 يساوي 259 على ‪𝜋‬‏ على ‪𝐴‬‏، وهو الضلع المجاور. والآن يمكننا إعادة ترتيب ذلك وجعل ‪𝐴‬‏ المتغير التابع عن طريق ضرب كلا الطرفين في ‪𝐴‬‏ ثم القسمة على tan 30. دعونا نحسب قيمة هذا المقدار باستخدام الآلة الحاسبة؛ لأننا أوجدنا أن ‪𝐴‬‏، وهو طول القطعة المستقيمة ‪𝑍𝑌‬‏، يساوي 259 على ‪𝜋‬‏ مقسومًا على tan 30. ومن ثم نجد أن طول الضلع المجاور ‪𝐴‬‏ يساوي 142.79418 وهكذا مع توالي الأرقام. لم ننته بعد عند هذه الخطوة؛ لأننا نريد إيجاد الحل لأقرب جزء من المائة.

إذا كنا نريد تقريب الناتج لأقرب جزء من المائة، فإننا نقربه لأقرب منزلتين عشريتين؛ لأن المنزلة العشرية الأولى هي الجزء من العشرة. لذا نرسم خطًّا هنا. نلاحظ أن العدد على يمين هذا الخط هو الرقم المحدد. وبما أن هذا الرقم أقل من خمسة، فإننا نقرب لأسفل. إذن يمكننا القول إن طول القطعة المستقيمة ‪𝑍𝑌‬‏ يساوي 142.79، وذلك لأقرب منزلتين عشريتين أو لأقرب جزء من المائة.