فيديو: إيجاد حاصل ضرب مصفوفتين

إذا كان ‪𝐴‬‏ هو المصفوفة ‪(−4, 2, 2, −4)‬‏ و‪𝐵‬‏ هو المصفوفة ‪(−3, −3, −1, 1)‬‏، فأوجد ‪𝐴𝐵‬‏، ‪𝐵𝐴‬‏.

٠٥:١٠

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان ‪𝐴‬‏ هو المصفوفة سالب أربعة، اثنان، اثنان، سالب أربعة، و‪𝐵‬‏ هو المصفوفة سالب ثلاثة، سالب ثلاثة، سالب واحد، واحد، فأوجد ‪𝐴𝐵‬‏ و‪𝐵𝐴‬‏.

علينا أولًا إيجاد ‪𝐴𝐵‬‏. ما هو ‪𝐴𝐵‬‏؟ هو حاصل ضرب المصفوفتين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ بهذا الترتيب. الخطوة الأولى هي التعويض بقيمتي ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ المذكورتين في المسألة. ‏‏‪𝐴‬‏ هو المصفوفة سالب أربعة، اثنان، اثنان، سالب أربعة، و‪𝐵‬‏ هو المصفوفة سالب ثلاثة، سالب ثلاثة، سالب واحد، واحد.

ما الذي نحصل عليه عند ضرب هاتين المصفوفتين؟ بداية، نحصل على مصفوفة أخرى، رتبتها اثنان في اثنين، وعلينا فقط كتابة عناصر هذه المصفوفة.

نبدأ بأول عنصر، وهو العنصر في أول صف وأول عمود في المصفوفة. نتناول الآن الصف الأول، ومن ثم ننظر إلى أول صف في المصفوفة إلى اليسار، المصفوفة ‪𝐴‬‏. وهو الصف سالب أربعة، اثنان، والعنصر الذي نريد إيجاده يقع في العمود الأول من ‪𝐴𝐵‬‏، ومن ثم ننظر إلى أول عمود أيضًا من المصفوفة إلى اليمين، المصفوفة ‪𝐵‬‏.

عنصر ‪𝐴𝐵‬‏ الذي نريده هو حاصل الضرب القياسي للصف المحدد في العمود المحدد: إذن، سالب أربعة في سالب ثلاثة زائد اثنين في سالب واحد. ومن ثم فإن هذا هو أول عنصر في أول صف من المصفوفة ‪𝐴𝐵‬‏.

فلننتقل الآن إلى العنصر الثاني في الصف الأول. يقع هذا العنصر في الصف الأول والعمود الثاني من المصفوفة ‪𝐴𝐵‬‏. ومن ثم فهو حاصل الضرب القياسي للصف الأول من ‪𝐴‬‏ في العمود الثاني من ‪𝐵‬‏. إذن، سالب أربعة في سالب ثلاثة زائد اثنين في واحد.

ما العنصر الذي سيكون في الصف الثاني والعمود الأول من ‪𝐴𝐵‬‏؟ إنه حاصل الضرب القياسي للصف الثاني من ‪𝐴‬‏ في العمود الأول من ‪𝐵:‬‏ إذن، اثنان في سالب ثلاثة زائد سالب أربعة في سالب واحد. وأخيرًا، العنصر في الصف الثاني والعمود الثاني من ‪𝐴𝐵‬‏ هو حاصل الضرب القياسي للصف الثاني من ‪𝐴‬‏ في العمود الثاني من ‪𝐵‬‏.

كل ما علينا الآن هو إيجاد قيم العناصر. سالب أربعة في سالب ثلاثة زائد اثنين في سالب واحد يساوي ‪10‬‏. سالب أربعة في سالب ثلاثة زائد اثنين في واحد يساوي ‪14‬‏. اثنان في سالب ثلاثة زائد سالب أربعة في سالب واحد يساوي سالب اثنين. وأخيرًا، اثنان في سالب ثلاثة زائد سالب أربعة في واحد يساوي سالب ‪10‬‏.

بهذا نكون قد أوجدنا ‪𝐴𝐵‬‏. علينا إذن إيجاد ‪𝐵𝐴‬‏. الفرق الوحيد هنا هو أن المصفوفة ‪𝐵‬‏ مكتوبة قبل المصفوفة ‪𝐴‬‏، ولدينا إذن سالب ثلاثة، سالب ثلاثة، سالب واحد، واحد، في سالب أربعة، اثنان، اثنان، سالب أربعة.

عنصر الصف الأول والعمود الأول في المصفوفة ‪𝐵𝐴‬‏ هو حاصل الضرب القياسي للصف الأول من ‪𝐵‬‏ في العمود الأول من ‪𝐴‬‏. وعنصر الصف الأول والعمود الثاني من المصفوفة ‪𝐵𝐴‬‏ هو حاصل الضرب القياسي للصف الأول من ‪𝐵‬‏ في العمود الثاني من ‪𝐴‬‏. وعنصر الصف الثاني والعمود الأول من ‪𝐵𝐴‬‏ هو حاصل الضرب القياسي للصف الثاني من ‪𝐵‬‏ في العمود الأول من ‪𝐴‬‏. وأخيرًا، عنصر الصف الثاني والعمود الثاني من ‪𝐵𝐴‬‏ هو حاصل الضرب القياسي للصف الثاني من ‪𝐵‬‏ في العمود الثاني من ‪𝐴‬‏.

وبإيجاد قيم كل العناصر، يصبح لدينا ستة، ستة، ستة، سالب ستة، وبذلك تصبح الإجابة النهائية هي أن المصفوفة ‪𝐴𝐵‬‏ هي المصفوفة ‪10‬‏، ‪14‬‏، سالب اثنين، سالب ‪10‬‏، والمصفوفة ‪𝐵𝐴‬‏ هي المصفوفة ستة، ستة، ستة، سالب ستة.

لاحظ أن قيم ‪𝐴𝐵‬‏ مختلفة عن ‪𝐵𝐴‬‏. ويعني ذلك أنه، على عكس ضرب الأعداد الطبيعية أو الأعداد الحقيقية أو حتى الأعداد المركبة، فإن ضرب المصفوفات ليس إبداليًا. أي إنه لا يحمل خاصية الإبدال. ولا يعني ذلك عدم إمكانية وجود مصفوفتين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ حيث ‪𝐴𝐵‬‏ يساوي ‪𝐵𝐴‬‏؛ بل يعني فقط أنه بشكل عام لا يمكننا الاعتماد على صحة ذلك دائمًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.