فيديو: استخدام المعكوس الضربي للمصفوفات لإيجاد حلول نظم المعادلات

يوضح الفيديو المصفوفة المربعة، ونظام المعادلات المربع، وكيفية حل نظام معادلات مربع باستخدام المعكوس الضربي لمصفوفة معاملاته، وأمثلةً على ذلك.

٠٨:٥٦

‏نسخة الفيديو النصية

استخدام المعكوس الضربي للمصفوفات لإيجاد حلول نظم المعادلات.

في الفيديو ده، هنتعلّم إزّاي بنحلّ نظام معادلات باستخدام المعكوس الضربي لمصفوفة النظام. المصفوفة المربعة هي المصفوفة اللي عدد صفوفها بيساوي عدد أعمدتها. وبالتالي بنسمّي نظام المعادلات اللي عدد معادلاته بيساوي عدد متغيّراته نظام المعادلات المربع. فإذا كانت مصفوفة نظام المعادلات ليها معكوس ضربي، فبالتالي ده معناه إن ليه حلّ وحيد. يعني إذا كانت مصفوفة أ هي مصفوفة معاملات لنظام معادلات خطّية مربع. وكانت المصفوفة أ ليها معكوس ضربي. فإذا كانت معادلة مصفوفات النظام على الصورة: أ س بيساوي ب، حيث أ هي مصفوفة المعاملات، وَ س هي مصفوفة المتغيّرات، وَ ب هي مصفوفة الثوابت للنظام. فبالتالي نظام المعادلات ليه حلّ وحيد بنوجده باستخدام معادلة المصفوفات: س بتساوي المعكوس الضربي للمصفوفة أ في المصفوفة ب.

نحلّ مثال. أوجد حلّ نظام المعادلات: اتنين س ناقص تلاتة ص بيساوي سالب واحد، وسالب تلاتة س زائد خمسة ص بيساوي تلاتة باستخدام المعكوس الضربي لمصفوفة معاملات النظام.

أول حاجة، نكتب معادلة مصفوفات النظام على الصورة: أ في س بيساوي ب. فهتبقى بالشكل ده. وعشان نوجد حلّ نظام المعادلات، هنوجد مصفوفة المتغيّرات. وعشان نوجدها، هنستخدم الصيغة: س يساوي المعكوس الضربي للمصفوفة أ في المصفوفة ب. فهنحسب المعكوس الضربي للمصفوفة أ؛ عشان نوجد المصفوفة س. المعكوس الضربي للمصفوفة أ هيساوي واحد على، أ د ناقص ب ج، في المصفوفة د سالب ب، سالب ج أ. حيث أ هو العنصر الأول في الصفّ الأول. وَ د هو العنصر التاني في الصفّ التاني. وَ ب هو العنصر التاني في الصفّ الأول. وَ ج هو العنصر الأول في الصفّ التاني. ولو عوّضنا في الصيغة، ده هيساوي الصورة دي. وبإجراء العمليات على المقام، هنلاقيه بيساوي واحد. فبالتالي المعكوس الضربي للمصفوفة أ هيساوي المصفوفة دي.

بعد ما حسبنا المعكوس الضربي للمصفوفة أ، نعوّض بيه في الصيغة: س بتساوي المعكوس الضربي للمصفوفة أ في ب. فمعادلة مصفوفات النظام هتبقى بالشكل ده. وده هيساوي خمسة في سالب واحد، زائد تلاتة في تلاتة؛ وتلاتة في سالب واحد، زائد اتنين في تلاتة. وبعد إجراء الحسابات، ده هيساوي أربعة، وتلاتة. يبقى حلّ نظام المعادلات هو: س بتساوي أربعة، وَ ص بتساوي تلاتة. أو ممكن نكتبها على الصورة: أربعة، وتلاتة.

مثال تاني. استثمر عادل مبلغ عشرين ألف جنيه لشراء أسهم في ثلاثة مشاريع بربح سنوي متوقَّع يساوي عشرة في المية، وتمنية في المية، وستة في المية. وكان الاستثمار ذو الربح الأعلى بمخاطرة أعلى. وكان متوسّط الربح السنوي المتوقَّع يساوي ألف وتلتمية وأربعين جنيه. فإذا استثمر عادل في أسهم المشروع الثالث ما يعادل ثلاثة أضعاف استثماره في أسهم المشروعين الآخرين. فما المقدار الذي يجب أن يستثمره في أسهم كل مشروع؟

نعيد صياغة السؤال على شكل نظام معادلات. فبما إن عادل استثمر مبلغ عشرين ألف جنيه في شراء أسهم تلات مشاريع. فده معناه إن س، اللي هي أسهم المشروع الأول، زائد ص، اللي هي أسهم المشروع التاني، زائد ع، اللي هي أسهم المشروع التالت، هيساوي عشرين ألف جنيه. وبما إنه استثمر في أسهم المشروع التالت ما يعادل تلات أضعاف استثماره في أسهم المشروعين الآخرين. فده معناه إن تلاتة س زائد تلاتة ص هيساوي ع. أو ممكن نكتبها على الصورة: تلاتة س، زائد تلاتة ص، ناقص ع هيساوي صفر.

وبما إن الربح السنوي المتوقَّع بيساوي عشرة في المية بالنسبة لأسهم المشروع الأول. وتمنية في المية بالنسبة لأسهم المشروع التاني. وستة في المية بالنسبة لأسهم المشروع التالت. وكان متوسّط الربح السنوي المتوقَّع بيساوي ألف وتلتمية وأربعين جنيه. فده معناه إن عشرة من مية س، زائد تمنية من مية ص، زائد ستة من مية ع هيساوي ألف وتلتمية وأربعين. نكتب نظام المعادلات على صورة معادلة مصفوفات بالصيغة: أ س بيساوي ب. فهتبقى بالشكل ده. بعدين عشان نوجد مصفوفة المتغيّرات س، لازم نوجد المعكوس الضربي للمصفوفة أ، ونضربه في المصفوفة ب.

وبعد إجراء الحسابات، هنلاقي المعكوس الضربي للمصفوفة أ هيبقى بالشكل ده. فهنعوّض بالمعكوس الضربي للمصفوفة أ وبالمصفوفة ب في المعادلة؛ لإيجاد مصفوفة المتغيّرات. وبعد إجراء الحسابات، ده هيساوي ألفين وتلات آلاف، وخمستاشر ألف. يعني حلّ نظام المعادلات هو: س بتساوي ألفين، وَ ص بتساوي تلات آلاف، وَ ع بتساوي خمستاشر ألف. أو ممكن نكتبه على الصورة: ألفين، تلات آلاف، خمستاشر ألف. يبقى عادل استثمر ألفين جنيه في أسهم المشروع الأول. وتلات آلاف جنيه في أسهم المشروع التاني. وخمستاشر ألف جنيه في أسهم المشروع التالت.

ولو عاوزين نتحقّق من الإجابة، هنعوّض بقيم س وَ ص وَ ع في معادلات النظام. فبالتعويض في المعادلة الأولى، هنلاقي إن ألفين، زائد تلات آلاف، زائد خمستاشر ألف هيساوي فعلًا عشرين ألف. وده معناه إن المعادلة الأولى اتحقّقت. وبالنسبة للمعادلة التانية، هنلاقي إن تلاتة في ألفين، زائد تلاتة في تلات آلاف، ناقص خمستاشر ألف هيساوي فعلًا صفر. وده معناه إن المعادلة التانية اتحقّقت. وبالنسبة للمعادلة التالتة، هنلاقي إن عشرة من مية في ألفين، زائد تمنية من مية في تلات آلاف، زائد ستة من مية في خمستاشر ألف هيساوي فعلًا ألف وتلتمية وأربعين. وده معناه إن المعادلة التالتة اتحقّقت.

يبقى في الفيديو ده اتعرّفنا على نظام المعادلات المربع، والمصفوفة المربعة. واتعلّمنا إزّاي بنحلّ نظام معادلات باستخدام المعكوس الضربي لمصفوفة معاملات النظام.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.