فيديو السؤال: حساب كتلة نجم بمعلومية الفترة المدارية لكوكب ونصف قطر مداره الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

يمكن استخدام الصيغة ‪𝑀‬‏ يساوي أربعة ‪𝜋‬‏ تربيع ‪𝑟‬‏ تكعيب الكل مقسوم على ‪𝐺𝑇‬‏ تربيع لحساب الكتلة، ‪𝑀‬‏، لكوكب أو نجم بمعلومية الفترة المدارية، ‪𝑇‬‏، ونصف قطر المدار، ‪𝑟‬‏، لجسم يتحرك في مدار دائري. اكتشف كوكب حول نجم بعيد، فترة هذا الكوكب المدارية 105 أيام، ونصف قطر مداره 0.480 وحدة فلكية. ما كتلة النجم؟ استخدم القيمة 6.67 في 10 أس سالب 11 متر مكعب لكل كيلوجرام ثانية تربيع لثابت الجذب العام، والقيمة 1.50 في 10 أس 11 متر لطول وحدة فلكية واحدة. اكتب إجابتك بالصيغة العلمية لأقرب منزلتين عشريتين.

إذن، لدينا كوكب يدور في مدار دائري حول نجم. ومن الرائع أننا في ضوء فهمنا للفيزياء وبعض الرياضيات الأساسية يمكننا الاستفادة من المعلومات حول مدارات الكواكب البعيدة لمعرفة كتل الأجسام الكبيرة والبعيدة مثل النجوم. لنلق نظرة فاحصة على الصيغة التي علينا استخدامها. ‏‪𝑀‬‏ يساوي أربعة ‪𝜋‬‏ تربيع ‪𝑟‬‏ تكعيب الكل مقسوم على ‪𝐺𝑇‬‏ تربيع. لدينا الآن قيم لجميع الحدود في هذه الصيغة. ولكن قبل أن نعوض بها، يجب أن يعبر عنها بالوحدات الأساسية للنظام الدولي.

‏‪𝐺‬‏، ثابت الجذب العام، مكتوب بالفعل بالمتر، والكيلوجرام، والثانية. ولذا لا حاجة لتحويله. والآن لنلق نظرة على نصف قطر المدار، ‪𝑟‬‏، الذي نعلم أنه يساوي 0.480‪AU‬‏. ومع أن الوحدة الفلكية تستخدم كثيرًا في علم الفلك، لكنها ليست إحدى وحدات النظام الدولي. ولذا دعونا نحولها إلى المتر. أخبرنا السؤال أن واحد ‪AU‬‏ يساوي 1.5 في 10 أس 11 متر. بمعلومية ذلك، يمكننا ضرب ‪𝑟‬‏ في 1.50 في 10 أس 11 متر مقسومًا على واحد ‪AU‬‏، ما يساوي واحدًا. ومن ثم، يمكننا حذف الوحدتين ‪AU‬‏. وبذلك نجد أن ‪𝑟‬‏ يساوي 7.200 في 10 أس 10 متر.

بعد ذلك، سنلقي نظرة على الفترة المدارية، ‪𝑇‬‏، التي تساوي 105 أيام، واليوم ليس وحدة الزمن الأساسية في النظام الدولي. ولذا علينا تحويله إلى ثانية. تذكر أن اليوم الواحد يساوي 24 ساعة، والساعة تساوي 60 دقيقة، والدقيقة تساوي 60 ثانية. يمكننا استخدام علاقات التساوي الثلاث هذه لكتابة ثلاثة عوامل تحويل، كل منها يساوي واحدًا. والآن يمكننا حذف وحدات اليوم والساعة والدقيقة، لتتبقى الثانية فقط. وبضرب 105 في 24 في 60 في 60 ثانية، نحصل على فترة مدارية ‪𝑇‬‏ قيمتها 9.072 في 10 أس ستة ثانية.

إذن، جميع القيم جاهزة للحساب. وبالتعويض بها في الصيغة، نحصل على ‪𝑀‬‏ يساوي أربعة ‪𝜋‬‏ تربيع مضروبًا في 7.200 في 10 أس 10 متر الكل تكعيب مقسومًا على 6.67 في 10 أس سالب 11 متر مكعب لكل كيلوجرام ثانية تربيع، مضروبًا في 9.072 في 10 أس ستة ثانية الكل تربيع. لدينا الآن الكثير من الوحدات هنا، ولذا دعونا نتأكد من أن جميعها صحيحة لإيجاد قيمة نهائية للكتلة بوحدة الكيلوجرام.

ولتتضح الصورة، فلنجمع الوحدات معًا هنا، مع التأكد من توزيع الأسس الصحيحة. والآن، لنحذف وحدتي المتر المكعب وكذلك وحدتي الثانية تربيع في المقام، ليتبقى فقط واحد على كيلوجرام في المقام أو كيلوجرام فقط في البسط. بحساب ذلك، نحصل على ‪𝑀‬‏ يساوي 2.684 في 10 أس 30 كيلوجرام. وأخيرًا، بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نجد أن كتلة النجم تساوي 2.68 في 10 أس 30 كيلوجرام.