تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: تبسيط المقادير المثلثية

أحمد مدحت

يوضِّح الفيديو كيفية تبسيط المقادير المثلثية باستخدام الدالتين جا وَ جتا، وكذلك تبسيطها باستخدام التحليل.

٠٥:١٩

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن تبسيط المقادير المثلثية. في الفيديو ده هنشوف إزاي نبسّط المقادير المثلثية، باستخدام الدالتين جا وَ جتا. وبعد كده هنشوف إزاي نبسّطها، من خلال تحليل العوامل. هنبدأ الأول نشوف إزاي نبسّط المقادير المثلثية، باستخدام الدالتين جا وَ جتا. وده هيكون من خلال مثال. هيظهر لنا المثال. عندنا في المثال عايزين نبسّط المقدار: قتا 𝜃 قا 𝜃 ناقص ظتا 𝜃.

علشان نبسّط المقدار اللي عندنا، فإحنا عايزين نعيد كتابته مرة تانية؛ في صورة تكون بتحتوي على دالة مثلثية واحدة، أو تكون بتحتوي عَ الدالتين جا وَ جتا بس. فبالنسبة للمقدار اللي عندنا: قتا 𝜃 قا 𝜃 ناقص ظتا 𝜃. فعلشان نكتبه في صورة بتحتوي على الدالتين جا وَ جتا بس، فإحنا هنستخدم متطابقات المقلوب، والمتطابقات النسبية.

فمن متطابقات المقلوب، هنلاقي قتا 𝜃 بتساوي واحد على جا 𝜃. وَ قا 𝜃 بتساوي واحد على جتا 𝜃. ومن المتطابقات النسبية، ظتا 𝜃 بتساوي جتا 𝜃 على جا 𝜃. فهنلاقي المقدار بيساوي واحد على جا 𝜃، في واحد على جتا 𝜃، ناقص جتا 𝜃 على جا 𝜃. ولمّا هنضرب واحد على جا 𝜃، في واحد على جتا 𝜃. هنلاقي المقدار بيساوي واحد على جا 𝜃 جتا 𝜃، ناقص جتا 𝜃 على جا 𝜃.

بعد كده عايزين نطرح جتا 𝜃 على جا 𝜃، من واحد على جا 𝜃 جتا 𝜃. وبالتالي محتاجين نكتب الكسرين؛ بحيث يكون ليهم نفس المقام. يعني عايزين نوجد المقام المشترك للكسرين اللي عندنا. فهنلاقي إن المقام المشترك بين الكسرين، هو: جا 𝜃 جتا 𝜃، واللي هو المقام بتاع الكسر الأول. أمّا الكسر التاني، فمقامه هو: جا 𝜃. وعلشان نخلّيه جا 𝜃 جتا 𝜃، فإحنا هنضربه في جتا 𝜃. وعلشان نحافظ على الكسر زيّ ما هو، فإحنا كمان هنضرب البسط في جتا 𝜃.

يعني بالنسبة للكسر جتا 𝜃 على جا 𝜃، فإحنا هنضربه بسطًا ومقامًا في جتا 𝜃. فهنلاقي المقدار بيساوي واحد على جا 𝜃 جتا 𝜃، ناقص جتا تربيع 𝜃 على جا 𝜃 جتا 𝜃. بكده إحنا أوجدنا المقام المشترك بين الكسرين، يعني الكسرين ليهم نفس المقام. وبالتالي نقدر نطرح. فلمّا هنطرح هنلاقي المقدار بيساوي واحد ناقص جتا تربيع 𝜃، على جا 𝜃 جتا 𝜃.

بالنسبة لواحد ناقص جتا تربيع 𝜃. فمن متطابقات فيثاغورس، هنلاقيها بتساوي جا تربيع 𝜃. فهنلاقي المقدار بيساوي جا تربيع 𝜃، على جا 𝜃 جتا 𝜃. ولمّا هنقسم البسط والمقام على جا 𝜃، هنلاقي المقدار بيساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃. هنكمّل المثال في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة. كنا وصلنا إن المقدار قتا 𝜃 قا 𝜃 ناقص ظتا 𝜃 بيساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃. ومن خلال المتطابقات النسبية، جا 𝜃 على جتا 𝜃، بتساوي ظا 𝜃. يعني المقدار بيساوي ظا 𝜃. وهي دي أبسط صورة.

نقدر نتأكد من الحل بتاعنا، من خلال التمثيل البياني للعلاقتين: ص تساوي قتا 𝜃 قا 𝜃 ناقص ظتا 𝜃، وَ ص تساوي ظا 𝜃. فهيظهر لنا التمثيل البياني بتاع العلاقتين. هنلاحظ إن التمثيلين البيانيين للعلاقتين اللي عندنا، بيظهروا متطابقين. وده بيدعّم الحل بتاعنا. بكده يبقى إحنا من خلال المثال ده، عرفنا إزاي نبسّط المقادير المثلثية، باستخدام الدالتين جا وَ جتا. هنقلب الصفحة.

بعد كده هنشوف إزاي نبسّط المقادير المثلثية باستخدام التحليل. وده هيكون من خلال مثال. هيظهر لنا المثال. في المثال اللي عندنا عايزين نبسّط المقدار: جا تربيع س جتا س؛ ناقص جا، 𝜋 عَ الاتنين ناقص س. أول حاجة المقدار اللي عندنا هو: جا تربيع س جتا س؛ ناقص جا، 𝜋 عَ الاتنين ناقص س. ومن متطابقات الزاويتين المتتامّتين، جا 𝜋 عَ الاتنين ناقص س، بتساوي جتا س. بالتالي المقدار هيساوي جا تربيع س جتا س، ناقص جتا س.

بالنسبة للمقدار ده، فإحنا نقدر نحلّله بإخراج العامل المشترك الأكبر. فهنحلّل المقدار اللي عندنا بإخراج العامل المشترك سالب جتا س. فهنلاقي المقدار بيساوي سالب جتا س في، واحد ناقص جا تربيع س. ومن متطابقات فيثاغورس، واحد ناقص جا تربيع س، بيساوي جتا تربيع س. بالتالي المقدار هيساوي سالب جتا س، في جتا تربيع س. يعني المقدار هيساوي سالب جتا تكعيب س. وهي دي أبسط صورة.

نقدر ندعّم الحل بتاعنا، من خلال التمثيل البياني للعلاقتين: ص تساوي جا تربيع س جتا س؛ ناقص جا، 𝜋 عَ الاتنين ناقص س. وَ ص تساوي سالب جتا تكعيب س. هيظهر لنا التمثيل البياني للعلاقتين. هنلاحظ إن التمثيليين البيانيين للعلاقتين، بيظهروا متطابقين. وده بيدعّم الحل بتاعنا. وهو إن المقدار بيساوي سالب جتا تكعيب س.

عايزين ناخد بالنا، إن إحنا ما نقدرش نستخدم التمثيل البياني، كإثبات على إن المقدارين متساويين. وده لأن من المستحيل إن إحنا نقدر نبيّن إن التمثيلين البيانيين متطابقين على المجال اللي إحنا مستخدمينه، في التمثيل البياني.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده عرفنا إزاي نبسّط المقادير المثلثية، باستخدام الدالتين جا وَ جتا. وكمان عرفنا إزاي نبسّط المقادير المثلثية باستخدام التحليل.