نسخة الفيديو النصية
يوضح الشكل المتجهين 𝐀 و𝐁 في فضاء ثلاثي الأبعاد. يقع كلا المتجهين في المستوى 𝑥𝑦. طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي واحدًا. احسب 𝐀 مضروبًا ضربًا اتجاهيًّا في 𝐁.
يتمحور هذا السؤال حول حاصل الضرب الاتجاهي. والمطلوب منا تحديدًا حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝐀 في 𝐁؛ حيث المتجهان 𝐀 و𝐁 معطيان على صورة سهمين مرسومين على الشكل. ونعلم من المعطيات أن كلًّا من 𝐀 و𝐁 يقعان في المستوى 𝑥𝑦.
لنبدأ بتذكر تعريف حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين. لنتناول متجهين عامين 𝐂 و𝐃 ونفترض أنهما يقعان في المستوى 𝑥𝑦. بعد ذلك، يمكننا كتابة هذين المتجهين في الصورة المركبة على صورة مركبة 𝑥، سميناها 𝑥، مضروبة في 𝐢 هات زائد مركبة 𝑦، سميناها 𝑦، مضروبة في 𝐣 هات. تذكر أن 𝐢 هات هو متجه الوحدة في الاتجاه 𝑥، وأن 𝐣 هات هو متجه الوحدة في الاتجاه 𝑦. ومن ثم، فإن حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝐂 في 𝐃 يساوي المركبة 𝑥 للمتجه 𝐂 مضروبة في المركبة 𝑦 للمتجه 𝐃 ناقص المركبة 𝑦 للمتجه 𝐂 مضروبة في المركبة 𝑥 للمتجه 𝐃 الكل مضروب في 𝐤 هات، وذلك هو متجه الوحدة في الاتجاه 𝑧.
نعلم من هذا التعبير عن حاصل الضرب الاتجاهي أنه لحساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝐀 في 𝐁، علينا معرفة المركبتين 𝑥 و𝑦 للمتجهين 𝐀 و𝐁. يخبرنا السؤال أن طول ضلع كل مربع على شبكة الرسم في الشكل يساوي واحدًا. هذا يعني أنه لإيجاد المركبتين 𝑥 و𝑦 للمتجهين، علينا ببساطة عد المربعات التي يمتد إليها كل متجه في الاتجاه 𝑥 وفي الاتجاه 𝑦.
لنبدأ بإجراء ذلك للمتجه 𝐀. نلاحظ أن المتجه 𝐀 يمتد بمقدار واحد، اثنين، ثلاثة، أربعة، خمس مربعات في الاتجاه السالب لـ 𝑥، ويمتد بمقدار مربع واحد في الاتجاه السالب لـ 𝑦. ومن ثم، لدينا مركبة 𝑥 للمتجه 𝐀 وتساوي سالب خمسة، ومركبة 𝑦 للمتجه 𝐀 وتساوي سالب واحد. هذا يعني أنه يمكننا كتابة المتجه 𝐀 في الصورة المركبة على صورة سالب خمسة 𝐢 هات ناقص واحد 𝐣 هات.
والآن، لنفعل الأمر نفسه مع المتجه 𝐁. نلاحظ أن المتجه 𝐁 يمتد بمقدار وحدة واحدة؛ وحدتين في الاتجاه الموجب لـ 𝑥، وواحد، اثنين، ثلاث وحدات في الاتجاه السالب لـ 𝑦. إذن، المركبة 𝑥 للمتجه 𝐁 تساوي اثنين، والمركبة 𝑦 للمتجه 𝐁 تساوي سالب ثلاثة. ويمكننا كتابة 𝐁 في الصورة المركبة على صورة اثنين 𝐢 هات ناقص ثلاثة 𝐣 هات.
الآن بعد أن أصبح لدينا كل من المتجهين 𝐀 و𝐁 في الصورة المركبة، أصبحنا مستعدين لحساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝐀 في 𝐁. بالنظر إلى التعبير العام لحاصل الضرب الاتجاهي، نلاحظ أن الحد الأول يعطى بواسطة المركبة 𝑥 للمتجه الأول في حاصل الضرب مضروبة في المركبة 𝑦 للمتجه الثاني في حاصل الضرب. المتجه الأول في حاصل الضرب الاتجاهي هو 𝐀، والمتجه الثاني هو 𝐁. إذن، علينا ضرب المركبة 𝑥 للمتجه 𝐀، التي تساوي سالب خمسة، في المركبة 𝑦 للمتجه 𝐁، التي تساوي سالب ثلاثة.
بعد ذلك، سنطرح حدًّا ثانيًا من هذا الحد الأول. هذا الحد الثاني هو المركبة 𝑦 للمتجه الأول في حاصل الضرب مضروبة في المركبة 𝑥 للمتجه الثاني في حاصل الضرب. إذن في هذه الحالة، هذا الحد هو المركبة 𝑦 للمتجه 𝐀، التي تساوي سالب واحد، مضروبة في المركبة 𝑥 للمتجه 𝐁، التي تساوي اثنين. وبعد ذلك، سنضرب الكل في متجه الوحدة 𝐤 هات.
خطوتنا الأخيرة هي إيجاد قيمة هذا التعبير هنا. هذا الحد الأول هو سالب خمسة مضروبًا في سالب ثلاثة، ما يعطينا موجب 15. وهذا الحد الثاني هو سالب واحد مضروبًا في اثنين ما يعطينا سالب اثنين. إذن، لدينا 15 ناقص سالب اثنين، ما يعطينا 17. إذن، الإجابة النهائية هي أن حاصل الضرب الاتجاهي لـ 𝐀 في 𝐁 يساوي 17 𝐤 هات.
