فيديو: اشتقاق الدوال المثلثية عند نقطةٍ ما باستخدام قاعدة السلسلة

إذا كانت ﺹ = ٦ظا ﺱ − ٧قتا^٢ ﺱ، فأوجد دﺹ/دﺱ عندما تكون ﺱ = 𝜋٣ / ٤ .

٠٤:٠٠

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كانت ص تساوي ظا س، ناقص سبعة قتا تربيع س. فاوجد د ص د س عندما تكون س تساوي تلاتة 𝜋 على الأربعة.

هنوجد المشتقة الأولى للـ ص. والـ ص بتحتوى على دوال مثلثية؛ اللي هي ظا س، وَ قتا تربيع س. المشتقة الأولى للـ ظا س بالنسبة للـ س، بتساوي قا تربيع س. حيث الـ س دي زاوية لا تساوي 𝜋 عَ الاتنين زائد الـ ن 𝜋. حيث الـ ن تنتمي للأعداد الصحيحة. لأن الـ قا س لمّا هنعوّض بالـ س تساوي 𝜋 عَ الاتنين، هتبقى قيمتها واحد على صفر؛ لأنها مقلوب جتا. فبالتالي بنشيل القيم اللي تخلّي الـ جتا بصفر؛ علشان قا س تبقى قيمتها موجودة.

ومشتقة الـ قتا س بالنسبة للـ س، بتساوي سالب قتا س في ظتا س. حيث الـ س لا تساوي الـ ن في الـ 𝜋، والـ ن تنتمي للأعداد الصحيحة. لأن عند الـ 𝜋، جيب الزاوية بيساوي صفر. والـ قتا دي مقلوب جيب الزاوية. فبالتالي هتبقى قيمتها واحد على صفر. وما ينفعش نقسم على الصفر.

هنوجد د ص د س. الـ ظا س هنوجدها مباشرةً. لكن المشكلة عندنا هنا في قتا تربيع س. فهنعتبر قتا تربيع س، كأنها د س الكل تربيع. لمّا بنوجد مشتقتها، بتبقى الأس نضربه في الدالة، في مشتقة الدالة. وده باستخدام قاعدة السلسلة. يبقى د ص د س هتساوي … الستة عدد ثابت زيّ ما هو. وَ ظا س هيبقى اشتقاقها قا تربيع س. ناقص … سبعة قتا تربيع س، هتبقى السبعة عدد ثابت زيّ ما هو. وهننزّل الأس نضرب فيه، اللي هو الاتنين. وَ قتا س هي الدالة زيّ د س كده؛ هننقّص أُسّها واحد، ونضرب في اشتقاقها. اللي هو سالب قتا س ظتا س.

هنبسّط، يبقى د ص د س هتساوي ستة قا تربيع س، ناقص أربعتاشر … قتا س في قتا س هتبقى قتا تربيع س. في ظتا س. وفيه هنا سالب، لمّا هنضربها في إشارة الناقص، هتبقى الإشارة دي موجبة. هنعوّض بالـ س تساوي تلاتة 𝜋 عَ الأربعة. الـ قا تلاتة 𝜋 عَ الأربعة قيمتها سالب الجذر التربيعي للاتنين. والـ قتا تلاتة 𝜋 عَ الأربعة قيمتها موجب الجذر التربيعي للاتنين. والـ ظتا تلاتة 𝜋 عَ الأربعة قيمتها سالب واحد.

هنعوّض بالقيم دي في الدالة المعطاة. هنعوّض بالقيم دي في د ص د س. يبقى ستة مضروبة في؛ سالب الجذر التربيعي للاتنين الكل تربيع، زائد أربعتاشر في الجذر التربيعي للاتنين تربيع. مضروبين في السالب واحد. هتساوي … ستة في سالب الجذر التربيعي للاتنين تربيع، هتبقى ستة في اتنين باتناشر. زائد أربعتاشر في اتنين في سالب واحد. يبقى اتناشر ناقص تمنية وعشرين، هتساوي سالب ستاشر. ويبقى هي دي قيمة د ص د س، عندما تكون س تساوي تلاتة 𝜋 عَ الأربعة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.