فيديو السؤال: إيجاد المشتقة الثانية لدالة معرفة ضمنيًّا باستخدام الاشتقاق الضمني الرياضيات

إذا كان ﺱ^٢ + ٣ﺹ^٢ = ٣، فأوجد ﺹ″ بالاشتقاق الضمني.

٠٦:٠٠

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺹ تربيع يساوي ثلاثة، فأوجد ﺹ شرطتين بالاشتقاق الضمني.

‏ﺹ شرطتان هي مشتقة ﺹ الثانية بالنسبة إلى ﺱ. والمطلوب منا هو إيجادها باستخدام الاشتقاق الضمني — أي باشتقاق كلا طرفي المعادلة بالنسبة إلى ﺱ. دعونا نقم بذلك. ‏ﺩ على ﺩﺱ لـ ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺹ تربيع يساوي ﺩ على ﺩﺱ لثلاثة. ويمكننا اشتقاق الحدين في الطرف الأيمن، كل على حدة.

المشتقة ﺩ على ﺩﺱ لـ ﺱ تربيع سهل إيجادها. فالناتج ما هو إلا اثنان ﺱ. ولكن ﺩ على ﺩﺱ لثلاثة ﺹ تربيع أصعب قليلًا. لذلك، يجب استخدام قاعدة السلسلة. إنها تنص على أن ﺩﺩ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺩ على ﺩﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ. إذن، بما أن ﺩ تساوي ثلاثة ﺹ تربيع، فإن لدينا ﺩ على ﺩﺹ لثلاثة ﺹ تربيع في ﺩﺹ على ﺩﺱ. وﺩ على ﺩﺹ لثلاثة ﺹ تربيع يساوي ستة ﺹ. وبالتالي، فإن ﺩ على ﺩﺱ لثلاثة ﺹ تربيع يساوي ستة ﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ. وفي الطرف الأيسر، ﺩ على ﺩﺱ لثلاثة يساوي صفرًا. وبوضع كل ذلك معًا، يصبح لدينا اثنان ﺱ زائد ستة ﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي صفرًا. ويمكننا إعادة الترتيب لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ.

أولًا، دعونا نطرح اثنين ﺱ من كلا الطرفين، ثم نقسم على ستة ﺹ مع ملاحظة أننا يمكننا القسمة على اثنين للحصول على سالب ﺱ على ثلاثة ﺹ. وربما يتعين علينا اتباع أسلوب الترميز نفسه المستخدم في المسألة، واستخدام الشرط للتعبير عن المشتقات. إذن، ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺹ شرطة. وهكذا، فإن ﺹ شرطة يساوي سالب ﺱ على ثلاثة ﺹ. ولكن ماذا عن ﺹ شرطتين؟ حسنًا، علينا الاشتقاق مرة أخرى بالنسبة إلى ﺱ. فباشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى ﺱ، نحصل على ﺩ على ﺩﺱ لـ ﺹ شرطة يساوي ﺩ على ﺩﺱ لسالب ﺱ على ثلاثة ﺹ. وﺩ على ﺩﺱ لـ ﺹ شرطة يساوي ﺩ على ﺩﺱ لمشتقة ﺹ الأولى بالنسبة إلى ﺱ، وهو ما يساوي مشتقة ﺹ الثانية بالنسبة إلى ﺱ. وهذا هو ﺹ شرطتان الذي نبحث عنه.

وفي الطرف الأيسر، لدينا مشتقة خارج قسمة. ومن ثم، سنحتاج إلى قاعدة خارج القسمة، والتي تتضح صيغتها هنا. وبتطبيقها على ﺩ في المتغير ﺱ تساوي ﺱ، وﻕﺱ يساوي ثلاثة ﺹ، دون أن ننسى إشارة السالب، نحصل على سالب ثلاثة ﺹ في مشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ ناقص ﺱ في مشتقة ثلاثة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، الكل على ثلاثة ﺹ تربيع.

الآن، يمكننا التبسيط. فمشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هي واحد. ومن ثم، فإن الحد الأول في البسط هو ثلاثة ﺹ. والمشتقة على ثلاثة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ثلاثة في مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ؛ أي، ثلاثة ﺹ شرطة. إذن، الحد الثاني هو ثلاثة ﺱﺹ شرطة. وأخيرًا، فإن المقام يساوي تسعة ﺹ تربيع.

نلاحظ أنه يمكننا التبسيط أكثر من ذلك بالقسمة على المعامل ثلاثة في البسط والمقام. فنحصل على سالب ﺹ ناقص ﺱﺹ شرطة على ثلاثة ﺹ تربيع. ويمكننا أيضًا وضع إشارة السالب في الكسر. ومن ثم، نرى أن ﺹ شرطتين يساوي ﺱ في ﺹ شرطة ناقص ﺹ الكل على ثلاثة ﺹ تربيع. وهكذا، نكون قد كتبنا ﺹ شرطتين بدلالة ﺱ وﺹ وﺹ شرطة، وهي المشتقة الأولى لـ ﺹ.

ولكننا في الحقيقة نفضل كتابة ﺹ شرطتين بدلالة ﺱ وﺹ فقط. وبهذه الطريقة، إذا كان لدينا نقطة لها إحداثيان ﺱ وﺹ تقع على المنحنى، فيمكننا التعويض بهذين الإحداثيين عن ﺱ وﺹ في المقدار لإيجاد قيمة ﺹ شرطتين عند تلك النقطة. ولكتابة ﺹ شرطتين بدلالة ﺱ وﺹ فقط، نحتاج إلى التخلص من ﺹ شرطة بطريقة ما. فكيف نفعل ذلك؟ حسنًا، يمكننا التعويض في المقدار الذي لدينا عن ﺹ شرطة بدلالة ﺱ وﺹ.

وبهذا التعويض، نحصل على ﺹ شرطتين بدلالة ﺱ وﺹ. وكل ما علينا فعله الآن هو التبسيط. فنضرب كلًّا من البسط والمقام في ثلاثة ﺹ. ومن ثم، يصبح الحد الأول في البسط سالب ﺱ تربيع والحد الثاني سالب ثلاثة ﺹ تربيع. ويصبح المقام تسعة ﺹ تكعيب. ويمكننا سحب إشارة السالب هنا. وحين ننظر إلى هذا المقدار وحده، يبدو أننا قد انتهينا.

ولكن لننظر إلى البسط ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺹ تربيع. قيل لنا في المعطيات إن ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺹ تربيع يساوي ثلاثة. ولذا، سنحصل على تبسيط غير متوقع: ﺹ شرطتان يساوي سالب ثلاثة على تسعة ﺹ تكعيب. ويمكننا القسمة على عامل مشترك آخر، وهو الثلاثة. فنحصل على الحل النهائي، وهو ﺹ شرطتان، مشتقة ﺹ الثانية بالنسبة إلى ﺱ، تساوي سالب واحد على ثلاثة ﺹ تكعيب.

لقد استخدمنا الاشتقاق الضمني مرتين هنا، مرة لإيجاد ﺹ شرطة بدلالة ﺱ وﺹ، ومرة أخرى لإيجاد ﺹ شرطتين بدلالة ﺱ وﺹ وﺹ شرطة. وبالتعويض في المقدار عن ﺹ شرطة بدلالة ﺱ وﺹ، حصلنا على ﺹ شرطتين بدلالة ﺱ وﺹ فقط. وفي النهاية، لاحظنا أن المعطيات تساعدنا على التعويض بطريقة رائعة وغير متوقعة، حيث تمكنا من كتابة ﺹ شرطتين بدلالة ﺹ فقط.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.