فيديو: إيجاد المشتقة الثانية لدالة معرفة ضمنيًا باستخدام الاشتقاق الضمني

إذا كان ‪𝑥² + 3𝑦² = 3‬‏، فأوجد ‪𝑦″‬‏ بالاشتقاق الضمني.

٠٥:٥٧

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان 𝑥 تربيع زائد ثلاثة 𝑦 تربيع يساوي ثلاثة، فأوجد 𝑦 شرطتين بالاشتقاق الضمني.

‏𝑦 شرطتان هي مشتقة 𝑦 الثانية بالنسبة إلى 𝑥. والمطلوب منا هو إيجادها باستخدام الاشتقاق الضمني — أي باشتقاق كلا طرفي المعادلة بالنسبة إلى 𝑥. دعونا نقم بذلك. ‏d على d𝑥 لـ 𝑥 تربيع زائد ثلاثة 𝑦 تربيع يساوي d على d𝑥 لثلاثة. ويمكننا اشتقاق الحدين في الطرف الأيسر، كل على حدة.

المشتقة d على d𝑥 لـ 𝑥 تربيع سهل إيجادها. فالناتج ما هو إلا اثنان 𝑥. ولكن d على d𝑥 لثلاثة 𝑦 تربيع أصعب قليلًا. لذلك، يجب استخدام قاعدة السلسلة. إنها تنص على أن d𝑓 على d𝑥 يساوي d𝑓 على d𝑦 في d𝑦 على d𝑥. إذن، بما أن 𝑓 تساوي ثلاثة 𝑦 تربيع، فإن لدينا d على d𝑦 لثلاثة 𝑦 تربيع في d𝑦 على d𝑥. وd على d𝑦 لثلاثة 𝑦 تربيع يساوي ستة 𝑦. وبالتالي، فإن d على d𝑥 لثلاثة 𝑦 تربيع يساوي ستة 𝑦 في d𝑦 على d𝑥. وفي الطرف الأيمن، d على d𝑥 لثلاثة يساوي صفرًا. وبوضع كل ذلك معًا، يصبح لدينا اثنان 𝑥 زائد ستة 𝑦 في d𝑦 على d𝑥 يساوي صفرًا. ويمكننا إعادة الترتيب لإيجاد d𝑦 على d𝑥.

أولًا، دعونا نطرح اثنين 𝑥 من كلا الطرفين، ثم نقسم على ستة 𝑦 مع ملاحظة أننا يمكننا القسمة على اثنين للحصول على سالب 𝑥 على ثلاثة 𝑦. وربما يتعين علينا اتباع أسلوب الترميز نفسه المستخدم في المسألة، واستخدام الشرط للتعبير عن المشتقات. إذن، d𝑦 على d𝑥 يساوي 𝑦 شرطة. وهكذا، فإن 𝑦 شرطة يساوي ناقص 𝑥 على ثلاثة 𝑦. ولكن ماذا عن 𝑦 شرطتين؟ حسنًا، علينا الاشتقاق مرة أخرى بالنسبة إلى 𝑥. فباشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى 𝑥، نحصل على d على d𝑥 لـ 𝑦 شرطة يساوي d على d𝑥 لسالب 𝑥 على ثلاثة 𝑦. وd على d𝑥 لـ 𝑦 شرطة يساوي d على d𝑥 لمشتقة 𝑦 الأولى بالنسبة إلى 𝑥، وهو ما يساوي مشتقة 𝑦 الثانية بالنسبة إلى 𝑥. وهذا هو 𝑦 شرطتان الذي نبحث عنه.

وفي الطرف الأيمن، لدينا مشتقة خارج قسمة. ومن ثم، سنحتاج إلى قاعدة خارج القسمة، والتي تتضح صيغتها هنا. وبتطبيقها على 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي 𝑥، و𝑔 في المتغير 𝑥 يساوي ثلاثة 𝑦، دون أن ننسى علامة الناقص، نحصل على سالب ثلاثة 𝑦 في مشتقة 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 ناقص 𝑥 في مشتقة ثلاثة 𝑦 بالنسبة إلى 𝑥، الكل على ثلاثة 𝑦 تربيع.

الآن، يمكننا التبسيط. فمشتقة 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 هي واحد. ومن ثم، فإن الحد الأول في البسط هو ثلاثة 𝑦. والمشتقة على ثلاثة 𝑦 بالنسبة إلى 𝑥 تساوي ثلاثة في مشتقة 𝑦 بالنسبة إلى 𝑥؛ أي، ثلاثة 𝑦 شرطة. إذن، الحد الثاني هو ثلاثة 𝑦 𝑥 شرطة. وأخيرًا، فإن المقام يساوي تسعة 𝑦 تربيع.

نلاحظ أنه يمكننا التبسيط أكثر من ذلك بالقسمة على المعامل ثلاثة في البسط والمقام. فنحصل على ناقص 𝑦 ناقص 𝑦 𝑥 شرطة على ثلاثة 𝑦 تربيع. ويمكننا أيضًا وضع علامة الناقص في الكسر. ومن ثم، نرى أن 𝑦 شرطتين يساوي 𝑥 في 𝑦 شرطة ناقص 𝑦 الكل على ثلاثة 𝑦 تربيع. وهكذا، نكون قد كتبنا 𝑦 شرطتين بدلالة 𝑥 و𝑦 و𝑦 شرطة، وهي المشتقة الأولى لـ 𝑦.

ولكننا في الحقيقة نفضل كتابة 𝑦 شرطتين بدلالة 𝑥 و𝑦 فقط. وبهذه الطريقة، إذا كان لدينا نقطة لها إحداثيان 𝑥 و𝑦 تقع على المنحنى، فيمكننا التعويض بهذين الإحداثيين عن 𝑥 و𝑦 في المقدار لإيجاد قيمة 𝑦 شرطتين عند تلك النقطة. ولكتابة 𝑦 شرطتين بدلالة 𝑥 و𝑦 فقط، نحتاج إلى التخلص من 𝑦 شرطة بطريقة ما. فكيف نفعل ذلك؟ حسنًا، يمكننا التعويض في المقدار الذي لدينا عن 𝑦 شرطة بدلالة 𝑥 و𝑦.

وبهذا التعويض، نحصل على 𝑦 شرطتين بدلالة 𝑥 و𝑦. وكل ما علينا فعله الآن هو التبسيط. فنضرب كلًا من البسط والمقام في ثلاثة 𝑦. ومن ثم، يصبح الحد الأول في البسط سالب 𝑥 تربيع والحد الثاني سالب ثلاثة 𝑦 تربيع. ويصبح المقام تسعة 𝑦 تكعيب. ويمكننا سحب علامة الناقص هنا. وحين ننظر إلى هذا المقدار وحده، يبدو أننا قد انتهينا.

ولكن لننظر إلى البسط 𝑥 تربيع زائد ثلاثة 𝑦 تربيع. قيل لنا في المعطيات إن 𝑥 تربيع زائد ثلاثة 𝑦 تربيع يساوي ثلاثة. ولذا، سنحصل على تبسيط غير متوقع: 𝑦 شرطتان يساوي سالب ثلاثة على تسعة 𝑦 تكعيب. ويمكننا القسمة على عامل مشترك آخر، وهو الثلاثة. فنحصل على الحل النهائي، وهو 𝑦 شرطتان، مشتقة 𝑦 الثانية بالنسبة إلى 𝑥، تساوي سالب واحد على ثلاثة 𝑦 تكعيب.

لقد استخدمنا الاشتقاق الضمني مرتين هنا، مرة لإيجاد 𝑦 شرطة بدلالة 𝑥 و𝑦، ومرة أخرى لإيجاد 𝑦 شرطتين بدلالة 𝑥 و𝑦 و𝑦 شرطة. وبالتعويض في المقدار عن 𝑦 شرطة بدلالة 𝑥 و𝑦، حصلنا على 𝑦 شرطتين بدلالة 𝑥 و𝑦 فقط. وفي النهاية، لاحظنا أن المعطيات تساعدنا على التعويض بطريقة رائعة وغير متوقعة، حيث تمكنا من كتابة 𝑦 شرطتين بدلالة 𝑦 فقط.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.