فيديو السؤال: إيجاد معامل الاحتكاك بين جسم في حالة اتزان ومستوى أفقي خشن الرياضيات

جسم يزن ٨ نيوتن، يرتكز على مستوى أفقي خشن. تؤثر قوة مقدارها ٦ جذر ٢ نيوتن على الجسم؛ حيث يصنع خط عملها زاوية قياسها ٤٥° مع الأفقي لأسفل. إذا نتج عن ذلك أن الجسم على وشك التحرك، فأوجد معامل الاحتكاك ﻡ بين الجسم والمستوى، وأوجد قياس زاوية الاحتكاك ﻝ لأقرب دقيقة.

١٠:٠٧

‏نسخة الفيديو النصية

جسم يزن ثمانية نيوتن، يرتكز على مستوى أفقي خشن. تؤثر قوة مقدارها ستة جذر اثنين نيوتن على الجسم، حيث يصنع خط عملها زاوية قياسها ٤٥ درجة مع الأفقي لأسفل. إذا نتج عن ذلك أن الجسم على وشك التحرك، فأوجد معامل الاحتكاك ﻡ بين الجسم والمستوى، وأوجد قياس زاوية الاحتكاك ﻝ لأقرب دقيقة.

حسنًا، في هذه الحالة، لدينا جسم في حالة سكون على سطح أفقي خشن، ونعلم أن هناك قوة مقدارها ستة جذر اثنين نيوتن تؤثر على الجسم بزاوية قياسها ٤٥ درجة أسفل المستوى الأفقي. بناء على هذه المعطيات، فإن الكميتين اللتين نريد الحل لإيجاد قيمتيهما هما معامل الاحتكاك ﻡ بين الجسم والسطح، وهذه الزاوية التي تسمى ﻝ، وهي زاوية الاحتكاك. سنتناول هذه الزاوية لاحقًا. أولًا، دعونا نركز على معامل الاحتكاك ﻡ.

لفهم هذا المعامل، علينا معرفة جميع القوى المؤثرة على الجسم. إلى جانب القوة المؤثرة التي تساوي ستة جذر اثنين نيوتن، يوجد وزن الجسم الذي يؤثر مباشرة لأسفل، وقوة رد فعل تؤثر لأعلى، حيث لم نرسم أطوال الأسهم وفقًا لمقياس رسم دقيق، وأخيرًا توجد قوة احتكاك تقابل الاتجاه الأفقي للقوة المؤثرة ستة جذر اثنين نيوتن.

بكتابة الوزن، والذي سنطلق عليه ﻭ، يساوي ثمانية نيوتن، يمكن أن نفرغ بعض المساحة للحل والبدء في تحليلنا بملاحظة أن هذا الجسم في حالة سكون. هذا يعني أن مجموع القوى الأفقية المؤثرة على الجسم، حيث نقول إن القوى المؤثرة في اتجاه اليمين موجبة، يساوي صفرًا. وبالمثل، مجموع كل القوى الرأسية المؤثرة عليه يساوي صفرًا. يمكننا إذن كتابة معادلة لجميع القوى الأفقية المتضمنة. فيما أطلقنا عليه الاتجاه الموجب، توجد المركبة الأفقية للقوة ستة جذر اثنين نيوتن. هذا بترك الوحدات، هذه القوة تساوي ستة في الجذر التربيعي لاثنين في جتا ٤٥ درجة.

ثم نطرح من ذلك قوة الاحتكاك ﺡ، وهي أفقية تمامًا. وبما أن الجسم في حالة سكون، فإن مجموع هاتين القوتين يساوي صفرًا. وهذا يعني أن ﺡ تساوي ستة جذر اثنين في جتا ٤٥ درجة. نتذكر أن ﺡ هي قوة الاحتكاك، التي تساوي بوجه عام معامل الاحتكاك ﻡ، مضروبًا في قوة رد الفعل المؤثرة على جسم ما. يمكننا إذن التعويض بـ ﻡ مضروبًا في ﺭ عن ﺡ في هذه المعادلة. ثم إذا قسمنا الطرفين على قوة رد الفعل ﺭ، مع حذف هذا العامل من الطرف الأيمن، يصبح لدينا تعبير حيث ﻡ هو المتغير التابع.

لإيجاد قيمة هذا التعبير، سنحتاج إلى معرفة قوة رد الفعل ﺭ على الجسم. يمكننا ملاحظة ما يعنيه ذلك بالنظر إلى القوى الرأسية المؤثرة عليه. ومثلما فعلنا مع القوتين الأفقيتين، يمكننا كتابة معادلة اتزان للقوى الرأسية. لدينا قوة رد الفعل ﺭ في الاتجاه الموجب أو التصاعدي. ونطرح من ذلك الوزن ﻭ، وسنحرص على ألا نستبعد المركبة الرأسية ستة جذر اثنين نيوتن. عند ترك الوحدات، نحصل على ستة جذر اثنين في جا ٤٥ درجة. وكما ذكرنا، نظرًا لأن الجسم في حالة اتزان، فإن مجموع هذه القوى يساوي صفرًا.

بالتفكير في هذا التعبير، يمكننا ملاحظة أنه إذا أضفنا ﻭ وستة جذر اثنين في جا ٤٥ درجة إلى الطرفين، فسنجد أن ﺭ تساوي ﻭ زائد ستة جذر اثنين جا ٤٥ درجة. ومن ثم، يمكننا أخذ الطرف الأيسر من هذا التعبير والتعويض به عن ﺭ. ومن ثم، يكون معامل الاحتكاك معطى بواسطة هذا التعبير. وإذا أفرغنا مساحة لإيجاد قيمته، يمكننا ملاحظة أمرين في الطرف الأيسر. أولًا، الوزن ﻭ يساوي ثمانية نيوتن، وثانيًا، جتا ٤٥ وجا ٤٥ درجة يساويان الجذر التربيعي لاثنين على اثنين.

عند ترك الوحدات وإجراء عمليات التعويض، لاحظ أنه في البسط لدينا الجذر التربيعي لاثنين مضروبًا في الجذر التربيعي لاثنين مقسومًا على اثنين، وينتج عن ذلك واحد. ويحدث الأمر نفسه في الحد الثاني في المقام. إذن يبسط هذا الكسر بكامله إلى ستة على ثمانية زائد ستة، وهو ما يساوي ستة على ١٤ أو ثلاثة على سبعة. وهذا يساوي قيمة معامل الاحتكاك ﻡ.

خطوتنا التالية هي الحل لإيجاد قيمة هذه الكمية التي تسمى زاوية الاحتكاك. إذا عدنا إلى رسم مبسط للجسم في حالة السكون، يمكننا تخيل ميل هذا السطح تدريجيًّا جدًّا. وبينما نفعل ذلك، نعلم أن الجسم في حالة السكون يقترب من النقطة التي يبدأ عندها الانزلاق للأسفل. في النهاية، تصبح زاوية الميل كبيرة بما يكفي، حيث إن هذا ما يحدث بالضبط. قبل أن يبدأ الجسم في الانزلاق، نكون عند زاوية ميل تسمى زاوية الاحتكاك. هذه هي الحالة حيث قوة الاحتكاك السكوني المؤثرة إلى أعلى المستوى المائل تساوي بالضبط مركبة الوزن المؤثرة إلى أسفل المستوى المائل.

وكما ذكر في رأس المسألة، نريد الحل لإيجاد قيمة الزاوية ﻝ هذه. للبدء في ذلك، دعونا نتفق على أن الاتجاه الموجب لـ ﺱ في هذه الحالة يكون أسفل المستوى المائل، وأن الاتجاه الموجب لـ ﺹ يكون عموديًّا بعيدًا عنه. باستخدام هذا الإطار، يمكننا النظر إلى القوى في الاتجاهين ﺱ وﺹ كلًّا على حدة. بالحديث عن هذه القوى، لنتأكد من تضمين جميع القوى المؤثرة على الجسم. بالإضافة إلى قوة الوزن وقوة الاحتكاك، هناك قوة رد فعل أو قوة عمودية سنسميها ﺭ، تؤثر عليه أيضًا. ووفقًا لاسمها، تكون هذه القوة عمودية أو متعامدة على المستوى المائل. ومن ثم، فهي في الاتجاه الموجب لـ ﺹ بالكامل.

ولأن المستوى مائل عند زاوية الاحتكاك، فإننا نعرف أن الجسم في حالة اتزان. نستنتج من ذلك أن محصلة القوى المؤثرة على الجسم تساوي صفرًا. عندما يتعلق الأمر بالقوى في الاتجاه ﺱ، يمكننا ملاحظة أن هناك قوتين. أولًا، هناك المركبة ﺱ لقوة الوزن المرسومة هنا باللون البرتقالي. ثم توجد قوة الاحتكاك التي تؤثر في الاتجاه السالب لـ ﺱ. للحل وإيجاد قيمة مركبة ﺱ لقوة الوزن، علينا أن نعلم أولًا أن هذه الزاوية الداخلية، في المثلث القائم الزاوية، تساوي زاوية ميل المستوى في المقام الأول. إنها ﻝ. وهذا، بالمناسبة، دائمًا ما يكون صحيحًا، حتى عندما لا تكون الزاوية هي زاوية الاحتكاك.

بما أن الوزن ﻭ يمثل طول وتر هذا المثلث القائم الزاوية، فإن طول ضلع المثلث المقابل للزاوية ﻝ يساوي ﻭ في جا ﻝ. ونطرح قوة الاحتكاك من هذه القوة. ومرة أخرى، بما أن الجسم في حالة اتزان، فإن مجموع هاتين القوتين يساوي صفرًا. يمكننا القول إذن إن قوة الاحتكاك ﺡ تساوي ﻭ في جا ﻝ، وإن قوة الاحتكاك بوجه عام تساوي ﻡ في قوة رد الفعل ﺭ. يمكننا إجراء هذا التعويض في المعادلة. والآن نريد الحل لإيجاد قيمة ﻝ. بالنسبة إلى المتغيرات الأخرى في هذا التعبير، نعرف قوة الوزن ﻭ وقد أوجدنا قيمة معامل الاحتكاك ﻡ. لكننا لا نعرف بعد قوة رد الفعل ﺭ في هذه الحالة المائلة. ويمكننا الحل لإيجاد قيمة ذلك بالتفكير في القوى المؤثرة على الجسم في الاتجاه ﺹ.

لدينا هنا قوة رد الفعل ﺭ، التي هي في الاتجاه الموجب لـ ﺹ تمامًا. ثم لدينا مركبة ﺹ لقوة الوزن هنا. وكما كانت مركبة ﺱ لهذه القوة تساوي ﻭ في جا ﻝ، عندما نحسب مركبة ﺹ، نحصل على ﻭ في جيب تمام هذه الزاوية. بجمع هاتين القوتين معًا، نحصل على صفر لأن الجسم في حالة اتزان، لذا يمكننا القول إن ﺭ تساوي ﻭ في جتا ﻝ. يمكننا الآن التعويض عن ﺭ. وبذلك، نحصل على ﻡ في ﻭ في جتا ﻝ يساوي ﻭ في جا ﻝ. لاحظ أن الوزن مشترك في الطرفين، ومن ثم يحذف.

بعد ذلك، نقسم الطرفين على جتا ﻝ، ونحذف هذا العامل في الطرف الأيمن. ثم نلاحظ ما لدينا على اليسار، وهو جيب الزاوية مقسومًا على جيب تمام الزاوية نفسها. وبشكل عام، هذا يساوي ظل هذه الزاوية. يمكننا إذن أن نكتب أن ﻡ، معامل الاحتكاك، يساوي ظا ﻝ، أي زاوية الاحتكاك. هذا يعني أن ﻝ تساوي الدالة العكسية لـ ظا ﻡ. والآن لنتذكر أن ﻡ يساوي ثلاثة أسباع. عندما نحسب معكوس ظل ثلاثة أسباع ثم نقرب الإجابة التي نحصل عليها لأقرب دقيقة، وهي زاوية، نحصل على الناتج ٢٣ درجة و١٢ دقيقة. إذن، معامل الاحتكاك بين الجسم والسطح الذي يرتكز عليه هو ثلاثة أسباع، وزاوية الاحتكاك، وهي أقصى زاوية يمكن أن يميل عندها قبل الانزلاق، هي ٢٣ درجة و١٢ دقيقة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.