فيديو الدرس: أنواع المصفوفات الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد أنواع المصفوفات الخاصة، مثل المصفوفات المربعة، ومصفوفات الصف، والعمود والوحدة، والمصفوفات الصفرية، والقطرية، والمثلثية السفلى، والمثلثية العليا.

١٤:٥٧

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نراجع تعريف المصفوفة ثم نتعلم كيف نحدد أنواع المصفوفات الخاصة، مثل المصفوفات المربعة، ومصفوفات الصف، والعمود، والوحدة، والمصفوفات الصفرية، والقطرية، والمثلثية السفلى، والمثلثية العليا. المصفوفة هي شبكة مصفوفة من الأعداد. ونرتب فيها الأعداد أو الكميات القياسية، التي نسميها عناصر، في صفوف وأعمدة. عندما نصف أي مصفوفة بأنها ﻡ في ﻥ، فهذه رتبتها. وتعني أن بها ﻡ من الصفوف وﻥ من الأعمدة. لنتناول المصفوفة ﺃ. تعرف عناصر هذه المصفوفة بحرف ﺃ مصحوب برمزين سفليين مكتوبين بهذا الشكل، حيث يكون ﺃﺱﺹ العنصر الذي يظهر في الصف ﺱ والعمود ﺹ.

يوجد نوع خاص من المصفوفات ينشأ عند تساوي ﻡ وﻥ، أي عند تساوي عدد الصفوف والأعمدة. إذا تحقق ذلك في المصفوفة، فإننا نسميها مصفوفة مربعة. وإذا لم يتحقق، فهذا يعني أن المصفوفة مستطيلة. لدينا عدة أنواع أخرى أيضًا من المصفوفات، فدعونا نستكشفها.

عين نوع المصفوفة سالب ثمانية، اثنين، سالب سبعة، سالب واحد. هل هي (أ) مصفوفة وحدة، أم (ب) مصفوفة عمود، أم (ج) مصفوفة صف، أم (د) مصفوفة مربعة؟

نعلم أنه إذا كان لدينا مصفوفة ﻡ في ﻥ، حيث ﻡ هو عدد الصفوف وﻥ هو عدد الأعمدة، فإنها تكون مصفوفة مربعة إذا كان ﻡ يساوي ﻥ. بعبارة أخرى، يتحقق ذلك إذا كان عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة. لكن ما تعريف المصفوفات الثلاث الأخرى الموضحة هنا؟ حسنًا، أولًا، تعرف مصفوفة الوحدة أحيانًا بالمصفوفة المحايدة. وفي المصفوفة المحايدة، جميع العناصر تساوي صفرًا باستثناء العناصر الموجودة في القطر الرئيسي؛ فهي تساوي واحدًا. وتنشأ مصفوفة العمود إذا كان ﻥ يساوي واحدًا. وهو ما يعني أن بها عمودًا واحدًا فقط. لذا تسمى أحيانًا أيضًا بالمتجه.

وبالمثل، تنشأ مصفوفة الصف إذا كان ﻡ يساوي واحدًا. وهو ما يعني أن بها صفًا واحدًا فقط، وهي تسمى بالمتجه أيضًا. إذا نظرنا إلى هذه المصفوفة، سالب ثمانية، اثنين، سالب سبعة، سالب واحد، فإلى أي من هذه الأنواع تنتمي؟ أولًا، لا يمكن أن تكون مصفوفة محايدة أو مصفوفة وحدة. فلكي يتحقق ذلك، يجب أن تكون عناصرها واحدًا، صفرًا، صفرًا، واحدًا. ومن الواضح أنها ليست كذلك. وكذلك لا يساوي أي من ﻥ أو ﻡ واحدًا. فيوجد أكثر من عمود وأكثر من صف في المصفوفة، ومن ثم فهي ليست مصفوفة عمود ولا مصفوفة صف. في الحقيقة، هذه مصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين. ففيها ﻡ يساوي اثنين، وهو عدد الصفوف، وكذلك ﻥ. هذان العددان متساويان. فلدينا العدد نفسه من الصفوف والأعمدة، ومن ثم فإن الإجابة هي (د) بالتأكيد. هذه المصفوفة مصفوفة مربعة.

لنتناول مثالًا آخر.

حدد أي المصفوفات الآتية تعتبر مصفوفة عمود. (أ) اثنان، سالب اثنين، ثلاثة، خمسة؟ أم (ب) اثنان، سالب اثنين، ثلاثة؟ أم (ج) اثنان، صفر، صفر، خمسة؟ أم (د) صفر، صفر، صفر، صفر؟ أم (هـ) اثنان، سالب اثنين، ثلاثة؟

دعونا نتذكر ما نعنيه بقولنا إن المصفوفة مصفوفة عمود. نصف المصفوفة ﻡ في ﻥ أو المصفوفة التي رتبتها ﻡ في ﻥ بأن فيها ﻡ من الصفوف وﻥ من الأعمدة. وإذا كان ﻥ يساوي واحدًا، فإننا نسميها مصفوفة عمود. بعبارة أخرى، إذا كانت المصفوفة بها عمود واحد فقط، تكون مصفوفة عمود. دعونا إذن نوجد رتبة كل مصفوفة من هذه المصفوفات على حدة. تحتوي مصفوفة الخيار (أ) على صفين وعمودين، إذن هي مصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين. وتحتوي مصفوفة الخيار (ب) على ثلاثة صفوف وعمود واحد، إذن هي مصفوفة من الرتبة ثلاثة في واحد. ومصفوفة الخيار (ج) هي أيضًا من الرتبة اثنان في اثنين، وكذلك مصفوفة الخيار (د). لدينا بعد ذلك مصفوفة الخيار (هـ) التي تحتوي على صف واحد وثلاثة أعمدة. وبالتالي رتبتها هي واحد في ثلاثة. والآن إذا دققنا النظر وقارنا كلًا من هذه المصفوفات بالتعريف الذي أمامنا، فسنجد أن المصفوفة التي بها قيمة ﻥ تساوي واحدًا هي مصفوفة الخيار (ب). إذن المصفوفة التي تمثل مصفوفة عمود هي مصفوفة الخيار (ب).

في الواقع، يمكننا أيضًا تعيين الأنواع الأخرى لهذه المصفوفات. في حالة ﻡ يساوي ﻥ، أي عندما يكون عدد الصفوف مساويًا لعدد الأعمدة، نقول إن المصفوفة مربعة. ومن ثم، فإن مصفوفة الخيار (أ) مربعة، وكذلك مصفوفة الخيار (ج). ومصفوفة الخيار (د) مربعة أيضًا، لكنها من نوع خاص من المصفوفات قائم بذاته. فكل عنصر في هذه المصفوفة يساوي صفرًا. وعندما يكون لدينا مصفوفة مربعة بهذا الشكل، نطلق عليها مصفوفة منعدمة أو مصفوفة صفرية. أخيرًا، لنفكر في مصفوفة الخيار (هـ). هذه المرة، قيمة ﻡ تساوي واحدًا. وهو ما يعني أن المصفوفة بها صف واحد فقط، ومن ثم يمكننا تسميتها مصفوفة صف.

سنتوسع الآن في التعريفات التي نتناولها لتشمل المصفوفات القطرية والمثلثية العليا والمثلثية السفلى.

إذا كانت المصفوفة ﺃ تساوي سالب واحد، صفرًا، صفرًا، ستة، ثمانية، صفرًا، ستة، خمسة، ثلاثة، فأي من الآتي صواب؟ (أ) المصفوفة ﺃ مصفوفة وحدة. (ب) المصفوفة ﺃ مصفوفة مثلثية عليا. (ج) المصفوفة ﺃ مصفوفة مثلثية سفلى. (د) المصفوفة ﺃ مصفوفة قطرية. (هـ) المصفوفة ﺃ مصفوفة صفرية.

دعونا نستعرض كل نوع من أنواع هذه المصفوفات ونتذكر معًا ما تعنيه. مصفوفة الوحدة هي مصفوفة مربعة جميع عناصرها تساوي صفرًا باستثناء عناصر القطر الرئيسي التي تساوي واحدًا. على سبيل المثال، مصفوفة الوحدة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة ستبدو كما هو موضح أمامنا؛ فستكون عناصرها هي واحدًا، صفرًا، صفرًا، صفرًا، واحدًا، صفرًا، صفرًا، صفرًا، واحدًا. بعد ذلك لدينا المصفوفة الصفرية التي تعرف أحيانًا بالمصفوفة المنعدمة. وهي مصفوفة مربعة جميع عناصرها تساوي صفرًا. إذا قارنا المصفوفة ﺃ بهذين التعريفين، فسندرك أنها لا يمكن أن تكون مصفوفة وحدة، لذا سنتجاهل الخيار (أ). ولا يمكن أن تكون أيضًا مصفوفة صفرية. وبالتالي، سنتجاهل الخيار (هـ).

لنفكر الآن في الخيارات (ب) و(ج) و(د). حسنًا، المصفوفة المثلثية هي مصفوفة مربعة من نوع خاص. والمصفوفة المثلثية العليا هي مصفوفة مربعة تكون فيها كل القيم المدخلة أسفل القطر الرئيسي تساوي صفرًا. وتكون المصفوفة مثلثية سفلى إذا كانت القيم المدخلة فوق القطر الرئيسي تساوي صفرًا. نتذكر هنا أن القطر الرئيسي أو القطر الأساسي هو هذا القطر. إذن هل ينطبق أي من هذين التعريفين على المصفوفة التي لدينا؟ حسنًا، نعم. فالعناصر التي تقع أعلى هذا القطر كلها تساوي صفرًا. وبالتالي فإن هذه بالتأكيد مصفوفة مثلثية سفلى. إذن الإجابة هي الخيار (ج).

لكن دعونا نتحقق من الخيار (د). ما معنى أن تكون المصفوفة قطرية؟ حسنًا، لكي تكون المصفوفة قطرية، يجب أن تكون القيم المدخلة أسفل القطر الرئيسي وأعلاه تساوي صفرًا. وتكون القيم المدخلة على القطر نفسه لا تساوي صفرًا. وبالطبع إذا نظرنا جيدًا، فسنجد أن هذه الحالة لا تنطبق على المصفوفة ﺃ. فالعناصر الموجودة أسفل القطر الرئيسي لا تساوي صفرًا. وبذلك تكون الإجابة هي (ج). المصفوفة ﺃ هي مصفوفة مثلثية سفلى.

حدد نوع المصفوفة: ٥٧، صفر، صفر، صفر، سالب ٧٢، صفر، صفر، صفر، صفر. هل هي (أ) مصفوفة صف، أم (ب) مصفوفة وحدة، أم (ج) مصفوفة قطرية، أم (د) مصفوفة عمود؟

إذا نظرنا جيدًا إلى هذه الخيارات، فسنجد أننا سنتجاهل اثنين منها على الفور. فنحن نعلم أن مصفوفة الصف هي كما يدل اسمها بالضبط. فهي مصفوفة تتكون من صف واحد فقط. وهذه المصفوفة بها ثلاثة صفوف، وبالتالي لا يمكن أن تكون بالطبع مصفوفة صف. وبالمثل، تتكون مصفوفة العمود من عمود واحد فقط. والمصفوفة التي لدينا بها ثلاثة أعمدة. لذا، لا يمكن أن تكون الإجابة هي (د). وهكذا يتبقى لدينا إجابتان للاختيار من بينهما. لدينا مصفوفة الوحدة والمصفوفة القطرية. كلتا هاتين المصفوفتين من الأنواع الخاصة من المصفوفات المربعة. نعلم أن مصفوفة الوحدة جميع عناصرها تساوي صفرًا باستثناء عناصر القطر الرئيسي أو الأساسي.

وفي هذه الحالة، لا بد أن تساوي عناصر القطر الرئيسي واحدًا كما هو موضح. وتبدو المصفوفة القطرية مشابهة لذلك إلى حد كبير. فجميع العناصر الموجودة أعلى القطر الرئيسي وأسفله تساوي صفرًا. ولدينا بعد ذلك مجموعة من العناصر لا تساوي صفرًا تقع فقط في القطر الرئيسي. ليس من الضروري أن تكون كل هذه العناصر غير مساوية لصفر. لكن في الوقت نفسه لا يمكن أن تكون كلها مساوية لصفر؛ لأن المصفوفة عندئذ ستصبح مصفوفة منعدمة أو صفرية. ومن ثم، عند مقارنة هذين التعريفين بالمصفوفة الموجودة لدينا، نلاحظ أنه يمكننا تجاهل مصفوفة الوحدة. فلدينا ٥٧ وسالب ٧٢. لكن يمكننا القول إن جميع العناصر الموجودة أعلى القطر الرئيسي، أي هذا القطر، تساوي صفرًا، وكذلك العناصر الموجودة أسفله تساوي صفرًا. إذن، لدينا مصفوفة قطرية. والإجابة هي (ج).

سنتناول الآن مثالًا أخيرًا.

إذا كانت المصفوفة ﺃ تساوي خمسة، خمسة، صفرًا، فأي من العبارات الآتية صواب؟ (أ) المصفوفة ﺃ مصفوفة وحدة. (ب) المصفوفة ﺃ مصفوفة قطرية. (ج) المصفوفة ﺃ مصفوفة مربعة. (د) المصفوفة ﺃ مصفوفة عمود. (هـ) المصفوفة ﺃ مصفوفة صف.

نتذكر هنا أن المصفوفة التي رتبتها ﻡ في ﻥ تحتوي على ﻡ من الصفوف وﻥ من الأعمدة. وإذا كان ﻡ يساوي ﻥ، أي عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة، نقول إن المصفوفة مربعة. يشير الخيار (ج) إلى أن المصفوفة مربعة. لكننا نعلم أيضًا أن كلًا من مصفوفات الوحدة والمصفوفات القطرية مصفوفات مربعة. لذا دعونا نسأل أنفسنا: هل المصفوفة ﺃ مصفوفة مربعة؟ حسنًا، من الواضح تمامًا أنها لا تحتوي على العدد نفسه من الصفوف والأعمدة. في الواقع، إنها مصفوفة من الرتبة واحد في ثلاثة. فهي تحتوي على صف واحد وثلاثة أعمدة. ونظرًا لأن مصفوفات الوحدة والمصفوفات القطرية مثالان على المصفوفات المربعة، يمكننا تجاهل الخيارات الثلاثة الأولى الموضحة هنا. فلا يمكن أن تكون أي منها صحيحة.

وهكذا يتبقى لدينا إجابتان للاختيار من بينهما. لدينا مصفوفة العمود ومصفوفة الصف. نعلم أن مصفوفة العمود هي المصفوفة التي يكون فيها ﻥ يساوي واحدًا، أي يوجد بها عمود واحد، بينما تتحقق مصفوفة الصف عندما يكون ﻡ يساوي واحدًا، أي يوجد بها صف واحد. وعند مقارنة الصورة العامة برتبة المصفوفة الموجودة لدينا، يمكننا القول إن ﻡ يساوي واحدًا وﻥ يساوي ثلاثة. فلدينا صف واحد وثلاثة أعمدة، لذا لا يمكن أن تكون هذه المصفوفة مصفوفة عمود. لكن بما أن ﻡ يساوي واحدًا، فلا بد أنها مصفوفة صف.

سنراجع الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الدرس. نعلم أن أي مصفوفة من الرتبة ﻡ في ﻥ تحتوي على ﻡ من الصفوف وﻥ من الأعمدة. ونقول إن العنصر ﺃﺱﺹ هو العنصر الموجود في الصف ﺱ والعمود ﺹ. ونقول إن المصفوفة مربعة إذا كان ﻡ يساوي ﻥ، أي إذا كان عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة. أما إذا كان ﻥ يساوي واحدًا، يكون لدينا مصفوفة عمود. وإذا كان ﻡ يساوي واحدًا، أي إذا كان هناك صف واحد فقط في المصفوفة، فستكون مصفوفة صف. بعد ذلك، نقول إن المصفوفة مصفوفة وحدة أو مصفوفة محايدة إذا كان ﻡ يساوي ﻥ، أي إن المصفوفة مربعة، وجميع عناصرها تساوي صفرًا باستثناء تلك الموجودة في القطر الرئيسي أو الأساسي؛ فهي تساوي واحدًا. بعبارة أخرى، بالنسبة إلى العنصر ﺃﺱﺹ، إذا كان ﺱ يساوي ﺹ، فإن ذلك العنصر يساوي واحدًا.

ونقول إن المصفوفة مصفوفة منعدمة أو صفرية إذا كانت كل عناصرها تساوي صفرًا. ونصف المصفوفة أيضًا بأنها قطرية إذا كانت مربعة وجميع عناصرها تساوي صفرًا باستثناء تلك الموجودة في القطر الرئيسي. بالطبع يمكن أن تساوي بعض عناصر هذا القطر الرئيسي صفرًا، لكن ليس كلها؛ لأنها ستصبح في هذه الحالة مصفوفة منعدمة. وإذا كانت جميع العناصر في القطر الرئيسي تساوي واحدًا، فسيكون لدينا مصفوفة وحدة. وأخيرًا، نعرف المصفوفة المثلثية بأنها نوع خاص آخر من المصفوفة المربعة. وتكون المصفوفة مثلثية عليا إذا كانت جميع القيم المدخلة أسفل القطر الرئيسي تساوي صفرًا، ومثلثية سفلى إذا كانت جميع العناصر التي تقع أعلاه تساوي صفرًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.