نسخة الفيديو النصية
إذا كان 𝐴 يساوي 𝑥 تكعيب، سالب 𝑥 تكعيب 𝑦 تكعيب، صفر، 𝑦 تكعيب، فأوجد معكوس 𝐴.
لأي مصفوفة 𝐴 رتبتها اثنان في اثنين، وتساوي 𝑎، 𝑏، 𝑐، 𝑑، فإن معكوسها يعطى بالصيغة واحد على قيمة محدد 𝐴 مضروبًا في 𝑑، سالب 𝑏، سالب 𝑐، 𝑎، حيث إن قيمة محدد 𝐴 تساوي 𝑎𝑑 ناقص 𝑏𝑐.
لاحظ أن هذا يعني أنه إذا كانت قيمة محدد المصفوفة صفرًا، فلن يكون هناك معكوس للمصفوفة؛ لأن واحدًا على قيمة محدد المصفوفة 𝐴 سيساوي واحدًا على صفر، وهي قيمة غير معرفة. لا يوجد معكوس ضربي للمصفوفة 𝐴 إذا كانت قيمة محدد المصفوفة 𝐴 صفرًا.
فلنعوض أولًا بقيم 𝑎 و𝑏 و𝑐 و𝑑 في صيغة محدد المصفوفة 𝐴. 𝑎 في 𝑑 يساوي 𝑥 تكعيب في 𝑦 تكعيب، و𝑏 في 𝑐 يساوي سالب 𝑥 تكعيب 𝑦 تكعيب في صفر. سالب 𝑥 تكعيب 𝑦 تكعيب في صفر يساوي صفرًا، إذن فقيمة محدد المصفوفة 𝐴 هي 𝑥 تكعيب 𝑦 تكعيب.
والآن بما أننا نعرف قيمة محدد المصفوفة 𝐴 ونعرف أنها لا تساوي صفرًا، يمكننا التعويض بكل القيم في صيغة معكوس المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين. نبدل مكاني 𝑥 تكعيب و𝑦 تكعيب، ونغير إشارات سالب 𝑥 تكعيب 𝑦 تكعيب وصفر. وبذلك يصبح معكوس المصفوفة 𝐴: واحد على 𝑥 تكعيب 𝑦 تكعيب الكل مضروب في 𝑦 تكعيب، 𝑥 تكعيب 𝑦 تكعيب، صفر، 𝑥 تكعيب.
والآن نضرب كل عنصر من عناصر هذه المصفوفة في واحد على 𝑥 تكعيب 𝑦 تكعيب. واحد على 𝑥 تكعيب 𝑦 تكعيب في 𝑦 تكعيب يساوي واحدًا على 𝑥 تكعيب. وبضرب واحد على قيمة محدد المصفوفة في العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني، نحصل على واحد. وفي الصف الثاني والعمود الأول، نحصل على صفر. وواحد على 𝑥 تكعيب 𝑦 تكعيب في 𝑥 تكعيب يساوي واحدًا على 𝑦 تكعيب. إذن، معكوس المصفوفة 𝐴 هو: واحد على 𝑥 تكعيب، واحد، صفر، واحد على 𝑦 تكعيب.
