فيديو: إيجاد معكوس المصفوفة

إذا كان ‪𝐴 = 𝑥³, −𝑥³ 𝑦³, 0, 𝑦³‬‏، فأوجد ‪𝐴⁻¹‬‏.

٠٢:٤٩

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان ‪𝐴‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ تكعيب، سالب ‪𝑥‬‏ تكعيب ‪𝑦‬‏ تكعيب، صفر، ‪𝑦‬‏ تكعيب، فأوجد معكوس ‪𝐴‬‏.

لأي مصفوفة ‪𝐴‬‏ رتبتها اثنان في اثنين، وتساوي ‪𝑎‬‏، ‪𝑏‬‏، ‪𝑐‬‏، ‪𝑑‬‏، فإن معكوسها يعطى بالصيغة واحد على قيمة محدد ‪𝐴‬‏ مضروبًا في ‪𝑑‬‏، سالب ‪𝑏‬‏، سالب ‪𝑐‬‏، ‪𝑎‬‏، حيث إن قيمة محدد ‪𝐴‬‏ تساوي ‪𝑎𝑑‬‏ ناقص ‪𝑏𝑐‬‏.

لاحظ أن هذا يعني أنه إذا كانت قيمة محدد المصفوفة صفرًا، فلن يكون هناك معكوس للمصفوفة؛ لأن واحدًا على قيمة محدد المصفوفة ‪𝐴‬‏ سيساوي واحدًا على صفر، وهي قيمة غير معرفة. لا يوجد معكوس ضربي للمصفوفة ‪𝐴‬‏ إذا كانت قيمة محدد المصفوفة ‪𝐴‬‏ صفرًا.

فلنعوض أولًا بقيم ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ و‪𝑐‬‏ و‪𝑑‬‏ في صيغة محدد المصفوفة ‪𝐴‬‏. ‏‏‪𝑎‬‏ في ‪𝑑‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ تكعيب في ‪𝑦‬‏ تكعيب، و‪𝑏‬‏ في ‪𝑐‬‏ يساوي سالب ‪𝑥‬‏ تكعيب ‪𝑦‬‏ تكعيب في صفر. سالب ‪𝑥‬‏ تكعيب ‪𝑦‬‏ تكعيب في صفر يساوي صفرًا، إذن فقيمة محدد المصفوفة ‪𝐴‬‏ هي ‪𝑥‬‏ تكعيب ‪𝑦‬‏ تكعيب.

والآن بما أننا نعرف قيمة محدد المصفوفة ‪𝐴‬‏ ونعرف أنها لا تساوي صفرًا، يمكننا التعويض بكل القيم في صيغة معكوس المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين. نبدل مكاني ‪𝑥‬‏ تكعيب و‪𝑦‬‏ تكعيب، ونغير إشارات سالب ‪𝑥‬‏ تكعيب ‪𝑦‬‏ تكعيب وصفر. وبذلك يصبح معكوس المصفوفة ‪𝐴:‬‏ واحد على ‪𝑥‬‏ تكعيب ‪𝑦‬‏ تكعيب الكل مضروب في ‪𝑦‬‏ تكعيب، ‪𝑥‬‏ تكعيب ‪𝑦‬‏ تكعيب، صفر، ‪𝑥‬‏ تكعيب.

والآن نضرب كل عنصر من عناصر هذه المصفوفة في واحد على ‪𝑥‬‏ تكعيب ‪𝑦‬‏ تكعيب. واحد على ‪𝑥‬‏ تكعيب ‪𝑦‬‏ تكعيب في ‪𝑦‬‏ تكعيب يساوي واحدًا على ‪𝑥‬‏ تكعيب. وبضرب واحد على قيمة محدد المصفوفة في العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني، نحصل على واحد. وفي الصف الثاني والعمود الأول، نحصل على صفر. وواحد على ‪𝑥‬‏ تكعيب ‪𝑦‬‏ تكعيب في ‪𝑥‬‏ تكعيب يساوي واحدًا على ‪𝑦‬‏ تكعيب. إذن، معكوس المصفوفة ‪𝐴‬‏ هو: واحد على ‪𝑥‬‏ تكعيب، واحد، صفر، واحد على ‪𝑦‬‏ تكعيب.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.