فيديو: إيجاد معكوس المصفوفة

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان المصفوفة س بتساوي المصفوفة؛ الصف الأول: س أس تلاتة، وسالب س أس تلاتة في ص أس تلاتة. والصف التاني: صفر و ص أس تلاتة. فأوجد المعكوس الضربي للمصفوفة س.

في البداية عشان نقدر نوجد المعكوس الضربي للمصفوفة س مثلًا، هنفترض إن عندنا المصفوفة ص، وكانت بتساوي المصفوفة؛ الصف الأول أ و ب، والصف التاني ﺟ و د. ولو عايزين نوجد المعكوس الضربي للمصفوفة ص، فهيكون بيساوي واحد على Δ، مضروب في المصفوفة؛ الصف الأول د وسالب ب، والصف التاني سالب ﺟ و أ. حيث Δ هي محدِّد المصفوفة، وكان بيساوي المحدد؛ الصف الأول أ و ب، والصف التاني ﺟ و د. يعني هيساوي أ د ناقص ب ﺟ.

وبالتالي لو عايزين نوجد المعكوس الضربي للمصفوفة س، فهيساوي واحد على Δ مضروب في المصفوفة … هنلاحظ إننا عشان نقدر نوجد المعكوس الضربي للمصفوفة ص، بدّلنا د وَ أ؛ يعني أ كانت العنصر الأول في الصف الأول، وَ د كانت العنصر التاني في الصف التاني؛ وبالتالي د بقت العنصر الأول في الصف الأول، وَ أ بقت العنصر التاني في الصف التاني. فبالنسبة للمصفوفة س، هنبدّل س أس تلاتة وَ ص أس تلاتة؛ يعني هيكون عندنا العنصر الأول في الصف الأول هيكون ص أس تلاتة، وهيكون عندنا العنصر التاني في الصف التاني س أس تلاتة. وهنلاحظ إن ب وَ ﺟ كانوا في نفس المكان لكن إشارتهم متغيّرة؛ يعني كانت إشارتهم موجبة، فبقت في المعكوس الضربي للمصفوفة إشارتهم سالبة. وبالتالي العنصر التاني في الصف الأول اللي هو سالب س أس تلاتة ص أس تلاتة، هنعكس إشارته، وبما إن إشارته كانت سالبة فهتكون إشارته في المعكوس الضربي للمصفوفة موجبة؛ يعني هتكون س أس تلاتة في ص أس تلاتة. وأيضًا عندنا العنصر الأول في الصف التاني هو صفر؛ وبالتالي هنكتبه صفر زي ما هو.

ولو عايزين نحسب قيمة Δ، فقيمة Δ هي محدِّد المصفوفة؛ يعني هتكون هي المحدد؛ الصف الأول س أس تلاتة وسالب س أس تلاتة ص أس تلاتة، والصف التاني صفر وَ ص أس تلاتة. يعني هيساوي … س أس تلاتة في ص أس تلاتة، ناقص سالب س أس تلاتة ص أس تلاتة في صفر. يعني محدد المصفوفة هيساوي س أس تلاتة في ص أس تلاتة. وبالتالي المعكوس الضربي للمصفوفة س هيساوي واحد على Δ … هيكون عندنا واحد، وهنعوض عن Δ بـ س أس تلاتة في ص أس تلاتة، مضروبة في المصفوفة؛ الصف الأول ص أس تلاتة وَ س أس تلاتة في ص أس تلاتة، والصف التاني صفر وَ س أس تلاتة.

لمّا بيكون عندنا مقدار مضروب في المصفوفة، فعشان نضرب المقدار في المصفوفة، هنضربه في كل عنصر بداخل المصفوفة؛ وبالتالي المعكوس الضربي للمصفوفة س هيساوي المصفوفة؛ الصف الأول ص أس تلاتة، مضروبة في، واحد على س أس تلاتة ص أس تلاتة؛ وَ س أس تلاتة ص أس تلاتة، مضروبة في، واحد على س أس تلاتة ص أس تلاتة. والصف التاني صفر، مضروبة في، واحد على س أس تلاتة ص أس تلاتة، وَ س أس تلاتة، مضروبة في، واحد على س أس تلاتة في ص أس تلاتة.

وبالتالي المعكوس الضربي للمصفوفة س هيساوي المصفوفة … أول عنصر في الصف الأول عندنا ص أس تلاتة مضروبة في واحد على س أس تلاتة ص أس تلاتة، نقدر نختصر ص أس تلاتة مع ص أس تلاتة هيتبقى واحد على س أس تلاتة؛ يبقى هيكون عندنا أول عنصر في الصف الأول هو واحد على س أس تلاتة. وبالنسبة لتاني عنصر في الصف الأول، عندنا س أس تلاتة في ص أس تلاتة، مضروبة في واحد على س أس تلاتة ص أس تلاتة؛ وبالتالي نقدر نختصر س أس تلاتة مع س أس تلاتة، وَ ص أس تلاتة مع ص أس تلاتة؛ وبالتالي هيكون عندنا الصف الأول تاني عنصر واحد.

وبالنسبة للصف التاني؛ أول عنصر عندنا صفر مضروبة في واحد على س أس تلاتة ص أس تلاتة، يعني هيساوي صفر. وتاني عنصر في الصف التاني، عندنا س أس تلاتة في واحد على س أس تلاتة ص أس تلاتة، نقدر نختصر س أس تلاتة مع س أس تلاتة، هيكون عندنا واحد على ص أس تلاتة؛ يبقى تاني عنصر في الصف التاني واحد على ص أس تلاتة.

ويبقى كده قدرنا نوجد المعكوس الضربي للمصفوفة س، وكان بيساوي المصفوفة؛ الصف الأول واحد على س أس تلاتة وواحد، والصف التاني صفر وواحد على ص أس تلاتة.