فيديو: استخدام العلاقة بين قانون الجيب ونصف قطر الدائرة المارة برؤوس مثلث لحساب طول ضلع مجهول في المثلث

دائرة قطرها ‪𝐴𝐷‬‏ يساوي ‪82 cm‬‏. ‪𝐴𝐵‬‏، ‪𝐴𝐶‬‏ وتران على جانبين متقابلين من الدائرة طولاهما ‪5.1 cm‬‏، ‪48.4 cm‬‏ على الترتيب. أوجد طول ‪𝐵𝐶‬‏ لأقرب منزلتين عشريتين.

٠٥:٠٢

‏نسخة الفيديو النصية

دائرة قطرها ‪𝐴𝐷‬‏ يساوي ‪82‬‏ سنتيمترًا. ‏‏‪𝐴𝐵‬‏ و‪𝐴𝐶‬‏ وتران على جانبين متقابلين من الدائرة طولاهما ‪5.1‬‏ سنتيمترات و‪48.4‬‏ سنتيمترًا على الترتيب. أوجد طول ‪𝐵𝐶‬‏ لأقرب منزلتين عشريتين.

من المنطقي دائمًا أن نبدأ برسم الشكل. ولا يجب أن يكون مطابقًا تمامًا للقياسات الحقيقية، لكن لا بد أن يتناسب معها تقريبيًا، حتى يمكننا التحقق من صحة الإجابات التي نحصل عليها. قد يبدو الأمر في البداية صعبًا بعض الشيء، لكن هناك بعض النظريات الخاصة بالدوائر التي يمكننا استخدامها لجعل الأمور أسهل.

فلنبدأ بإضافة الوترين ‪𝐵𝐷‬‏ و‪𝐶𝐷‬‏ إلى الرسم. تذكر أن الزاوية المقابلة لقطر الدائرة قياسها دائمًا ‪90‬‏ درجة. هذا يعني أن الزاويتين ‪𝐴𝐵𝐷‬‏ و‪𝐴𝐶𝐷‬‏ زاويتان قائمتان. لدينا مثلثان قائما الزاوية؛ لذا يمكننا استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لحساب قياس الزاوية ‪𝐴𝐷𝐵‬‏ والزاوية ‪𝐴𝐷𝐶‬‏. لنبدأ بالمثلث ‪𝐴𝐵𝐷‬‏.

الضلع ‪𝐴𝐷‬‏ هو وتر المثلث. إنه أطول ضلع في المثلث، ونعرفه بالنظر إلى الجانب المقابل للزاوية القائمة مباشرة. والضلع ‪𝐴𝐵‬‏ هو المقابل. إنه الضلع المقابل للزاوية المعطاة ‪𝜃‬‏.

وبما أننا نعرف طول الضلع المقابل وطول الوتر، يمكننا استخدام نسبة الجيب لحساب قياس الزاوية ‪𝜃‬‏. بالتعويض عن القيم ذات الصلة، نحصل على ‪sin 𝜃‬‏ يساوي ‪5.1‬‏ على ‪82‬‏. لحساب قياس الزاوية ‪𝜃‬‏، نوجد الدالة العكسية لجيب كلا طرفي المعادلة. الدالة العكسية لجيب ‪5.1‬‏ على ‪82‬‏ تساوي ‪3.565‬‏، ومن ثم ‪𝜃‬‏ يساوي ‪3.565‬‏ درجات. ولن نقرب هذا العدد الآن. بل سنستخدم القيمة كما هي بالضبط في أي عمليات حسابية قادمة.

فلننظر الآن إلى المثلث ‪𝐴𝐷𝐶‬‏. مرة أخرى، نعرف طول وتر المثلث، وطول الضلع المقابل. ويمكننا التعويض عن هذه القيم في صيغة نسبة الجيب. ‏‏‪sin 𝜃‬‏ يساوي ‪48.4‬‏ على ‪82‬‏. ومرة أخرى، نوجد الدالة العكسية لجيب كلا طرفي المعادلة. الدالة العكسية لجيب ‪48.4‬‏ على ‪82‬‏ تساوي ‪36.174‬‏.

وهناك عدة نظريات متعلقة بالدائرة يمكننا استخدامها. نعرف أن مجموع الزاويتين المتقابلتين في شكل رباعي دائري لا بد أن يساوي ‪180‬‏ درجة. ويمكننا إذن حساب قياس الزاوية ‪𝐵𝐴𝐶‬‏ عن طريق طرح هاتين الزاويتين اللتين وجدناهما للتو من ‪180‬‏ درجة. وبهذا نحصل على ‪140.259‬‏. ونعرف أيضًا أن الزاويتين المقابلتين لنفس القطعة المستقيمة متساويتان. وهذا يعني أن قياس الزاوية ‪𝐴𝐵𝐶‬‏ لا بد أن يساوي قياس الزاوية ‪𝐴𝐷𝐶‬‏. فهي أيضًا ‪36.174‬‏ درجة.

وبرسم المثلث ‪𝐴𝐵𝐶‬‏ بشكل منفصل، نلاحظ أن لدينا مثلثًا غير قائم الزاوية، نعرف قياس زاويتين فيه وطول أحد الأضلاع. ويمكننا استخدام قانون الجيب لإيجاد طول الضلع ‪𝐵𝐶‬‏. وقانون الجيب هو: ‪𝑎‬‏ على ‪sin 𝐴‬‏ يساوي ‪𝑏‬‏ على ‪sin 𝐵‬‏، وذلك يساوي ‪𝑐‬‏ على ‪sin 𝐶‬‏. ويمكن كتابته أحيانًا بالصيغة: ‪sin 𝐴‬‏ على ‪𝑎‬‏ يساوي ‪sin 𝐵‬‏ على ‪𝑏‬‏، وذلك يساوي ‪sin 𝐶‬‏ على ‪𝑐‬‏.

يمكن استخدام قانون الجيب بأي من الصيغتين. لكن بما أننا نحاول إيجاد طول ضلع، فسنستخدم الصيغة الأولى. سيقلل ذلك من عمليات إعادة الترتيب التي علينا القيام بها. وبالمثل، إذا كنا نحاول إيجاد قياس الزاوية، فسنستخدم الصيغة الثانية.

بما أننا نعرف قياس الزاوية ‪𝐴‬‏ ونحاول إيجاد طول الضلع ‪𝑎‬‏، ونعرف قياس الزاوية ‪𝐵‬‏ وطول الضلع ‪𝑏 ‬‏— أي الضلع ‪𝐴𝐶 ‬‏— فسنستخدم الصيغة: ‪𝑎‬‏ على ‪sin 𝐴‬‏ يساوي ‪𝑏‬‏ على ‪sin 𝐵‬‏.

وبالتعويض عن القيم التي حصلنا عليها بالضبط، يصبح لدينا ‪𝑎‬‏ على ‪sin 140.259‬‏ يساوي ‪48.4‬‏ على ‪sin 36.174‬‏. ويمكننا إيجاد قيمة هذه المعادلة عن طريق ضرب طرفي المعادلة في ‪sin 140.259‬‏. وهذا يعطينا ‪𝑎‬‏ يساوي ‪48.4‬‏ على ‪sin 36.174‬‏ مضروبًا في ‪sin 140.259‬‏. وبحساب ذلك باستخدام الآلة الحاسبة، نحصل على القيمة ‪52.423‬‏. وبالتقريب إلى أقرب منزلتين عشريتين، يكون طول الضلع ‪𝐵𝐶‬‏ هو ‪52.42‬‏ سنتيمترًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.