فيديو السؤال: استخدام العلاقة بين قانون الجيب ونصف قطر الدائرة المارة برءوس مثلث لحساب طول ضلع مجهول في المثلث الرياضيات

دائرة قطرها ﺃﺩ يساوي ٨٢ سم. ﺃﺏ، ﺃﺟ وتران على جانبين متقابلين من الدائرة طولاهما ٥٫١ سم، ٤٨٫٤ سم على الترتيب. أوجد طول ﺏﺟ لأقرب منزلتين عشريتين.

٠٥:٣٦

‏نسخة الفيديو النصية

دائرة قطرها ﺃﺩ يساوي ٨٢ سنتيمترًا. ‏‏ﺃﺏ وﺃﺟ وتران على جانبين متقابلين من الدائرة طولاهما ٥٫١ سنتيمترات و٤٨٫٤ سنتيمترًا على الترتيب. أوجد طول ﺏﺟ لأقرب منزلتين عشريتين.

من المنطقي دائمًا أن نبدأ برسم الشكل. ولا يجب أن يكون مطابقًا تمامًا للقياسات الحقيقية، لكن لا بد أن يتناسب معها تقريبيًا، حتى يمكننا التحقق من صحة الإجابات التي نحصل عليها. قد يبدو الأمر في البداية صعبًا بعض الشيء، لكن هناك بعض النظريات الخاصة بالدوائر التي يمكننا استخدامها لجعل الأمور أسهل.

فلنبدأ بإضافة الوترين ﺏﺩ وﺟﺩ إلى الرسم. تذكر أن الزاوية المقابلة لقطر الدائرة قياسها دائمًا ٩٠ درجة. هذا يعني أن الزاويتين ﺃﺏﺩ وﺃﺟﺩ زاويتان قائمتان. لدينا مثلثان قائما الزاوية؛ لذا يمكننا استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لحساب قياس الزاوية ﺃﺩﺏ والزاوية ﺃﺩﺟ. لنبدأ بالمثلث ﺃﺏﺩ.

الضلع ﺃﺩ هو وتر المثلث. إنه أطول ضلع في المثلث، ونعرفه بالنظر إلى الجانب المقابل للزاوية القائمة مباشرة. والضلع ﺃﺏ هو المقابل. إنه الضلع المقابل للزاوية المعطاة 𝜃.

وبما أننا نعرف طول الضلع المقابل وطول الوتر، يمكننا استخدام نسبة الجيب لحساب قياس الزاوية 𝜃. بالتعويض عن القيم ذات الصلة، نحصل على جا 𝜃 يساوي ٥٫١ على ٨٢. لحساب قياس الزاوية 𝜃، نوجد الدالة العكسية لجيب كلا طرفي المعادلة. الدالة العكسية لجيب ٥٫١ على ٨٢ تساوي ٣٫٥٦٥، ومن ثم 𝜃 يساوي ٣٫٥٦٥ درجات. ولن نقرب هذا العدد الآن. بل سنستخدم القيمة كما هي بالضبط في أي عمليات حسابية قادمة.

فلننظر الآن إلى المثلث ﺃﺩﺟ. مرة أخرى، نعرف طول وتر المثلث، وطول الضلع المقابل. ويمكننا التعويض عن هذه القيم في صيغة نسبة الجيب. جا 𝜃 يساوي ٤٨٫٤ على ٨٢. ومرة أخرى، نوجد الدالة العكسية لجيب كلا طرفي المعادلة. الدالة العكسية لجيب ٤٨٫٤ على ٨٢ تساوي ٣٦٫١٧٤.

وهناك عدة نظريات متعلقة بالدائرة يمكننا استخدامها. نعرف أن مجموع الزاويتين المتقابلتين في شكل رباعي دائري لا بد أن يساوي ١٨٠ درجة. ويمكننا إذن حساب قياس الزاوية ﺏﺃﺟ عن طريق طرح هاتين الزاويتين اللتين وجدناهما للتو من ١٨٠ درجة. وبهذا نحصل على ١٤٠٫٢٥٩. ونعرف أيضًا أن الزاويتين المقابلتين لنفس القطعة المستقيمة متساويتان. وهذا يعني أن قياس الزاوية ﺃﺏﺟ لا بد أن يساوي قياس الزاوية ﺃﺩﺟ. فهي أيضًا ٣٦٫١٧٤ درجة.

وبرسم المثلث ﺃﺏﺟ بشكل منفصل، نلاحظ أن لدينا مثلثًا غير قائم الزاوية، نعرف قياس زاويتين فيه وطول أحد الأضلاع. ويمكننا استخدام قانون الجيب لإيجاد طول الضلع ﺏﺟ. وقانون الجيب هو: ﺃ شرطة على جا ﺃ يساوي ﺏ شرطة على جا ﺏ، وذلك يساوي ﺟ شرطة على جا ﺟ. ويمكن كتابته أحيانًا بالصيغة: جا ﺃ على ﺃ شرطة يساوي جا ﺏ على ﺏ شرطة، وذلك يساوي جا ﺟ على ﺟ شرطة.

يمكن استخدام قانون الجيب بأي من الصيغتين. لكن بما أننا نحاول إيجاد طول ضلع، فسنستخدم الصيغة الأولى. سيقلل ذلك من عمليات إعادة الترتيب التي علينا القيام بها. وبالمثل، إذا كنا نحاول إيجاد قياس الزاوية، فسنستخدم الصيغة الثانية.

بما أننا نعرف قياس الزاوية ﺃ ونحاول إيجاد طول الضلع ﺃ شرطة، ونعرف قياس الزاوية ﺏ وطول الضلع ﺏ شرطة — أي الضلع ﺃﺟ — فسنستخدم الصيغة: ﺃ شرطة على جا ﺃ يساوي ﺏ شرطة على جا ﺏ.

وبالتعويض عن القيم التي حصلنا عليها بالضبط، يصبح لدينا ﺃ شرطة على جا ١٤٠٫٢٥٩ يساوي ٤٨٫٤ على جا ٣٦٫١٧٤. ويمكننا إيجاد قيمة هذه المعادلة عن طريق ضرب طرفي المعادلة في جا ١٤٠٫٢٥٩. وهذا يعطينا ﺃ شرطة يساوي ٤٨٫٤ على جا ٣٦٫١٧٤ مضروبًا في جا ١٤٠٫٢٥٩. وبحساب ذلك باستخدام الآلة الحاسبة، نحصل على القيمة ٥٢٫٤٢٣. وبالتقريب إلى أقرب منزلتين عشريتين، يكون طول الضلع ﺏﺟ هو ٥٢٫٤٢ سنتيمترًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.