فيديو الدرس: الزوايا المحيطية في الدائرة الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد قياس الزوايا المحيطية باستخدام العلاقة بين الزوايا والأقواس.

١٦:٠٤

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد قياس الزوايا المحيطية باستخدام العلاقة بين الزوايا والأقواس.

قبل أن نتحدث عن علاقات هذه الزوايا، دعونا نتذكر ما المقصود بالزاوية المحيطية. إنها زاوية يقع رأسها وطرفا ضلعيها على محيط الدائرة، أي على الإطار الخارجي لها. يمكننا قياس هذه الزاوية المحيطية بالدرجات. وإذا كان قياس هذه الزاوية المحيطية ﺃ درجة، فإن قياس القوس الواقع بين طرفي الضلعين هذين سيساوي اثنين ﺃ درجة. هناك طريقة أخرى للتعبير عن ذلك، وهي أن الزاوية المحيطية قياسها نصف قياس القوس المقابل الذي تكونه هذه الزاوية. إذا كان لدينا زاوية محيطية أخرى ولها نفس طرفي الضلعين مثل الزاوية الأولى، فإن قياس هذه الزاوية أيضًا سيساوي ﺃ درجة؛ لأن ﺃ يساوي نصف القوس الذي يكونهما هذان الطرفان ويساوي هنا اثنين ﺃ.

تجدر الإشارة هنا أيضًا إلى حالة خاصة. وهي الحالة الخاصة التي يقع فيها طرفا ضلعي الزاوية المحيطية عند طرفي قطر الدائرة. في هذه الحالة، يكون قياس القوس المقابل ١٨٠ درجة، ما يجعل الزاوية المحيطية زاوية قائمة. ومرة أخرى، يمكننا تحريك هذا الرأس وتكوين زاوية قائمة أيضًا، طالما أن طرفي ضلعي الزاوية لا يتحركان.

قبل أن نستكمل حديثنا، علينا أن نذكر أنفسنا أيضًا بالزوايا المركزية. في الزاوية المركزية، يكون الرأس عند مركز الدائرة. وعند التعامل مع الزاوية المركزية، فإن قياسها سيساوي قياس زاوية القوس المقابل. وبالطريقة التي رسمناها بها هنا، سيساوي قياس الزاوية اثنين ﺃ. هذا يعني أنه عندما يكون لزاوية محيطية نفس طرفي ضلعي زاوية مركزية، فإن قياس الزاوية المحيطية سيساوي نصف قياس الزاوية المركزية.

هناك أمر آخر علينا أن نعرفه عن الأقواس والدوائر، وهو ما يحدث عندما يكون لدينا وتران متوازيان. إذا كان لدينا وتران متوازيان مثل هذين الوترين، فقياس القوس ﺃﺩ سيساوي قياس القوس ﺏﺟ. هذا يعني أن القوسين بين الوترين المتوازيين في أي دائرة متطابقان. في الدائرة التي رسمناها هنا، قياس القوس ﺃﺩ سيساوي قياس القوس ﺏﺟ. نحن الآن جاهزون لاستخدام نظريات الدائرة هذه لحساب قياسات زوايا مجهولة.

في الشكل الموضح، ﻡ مركز الدائرة، وقياس الزاوية ﻡﺃﺏ يساوي ٥٩٫٥ درجة. ما قياس الزاوية ﺃﻡﺏ؟ ما قياس الزاوية ﺃﺟﺏ؟

يخبرنا السؤال أن ﻡ مركز هذه الدائرة وأن قياس الزاوية ﻡﺃﺏ يساوي ٥٩٫٥ درجة. نريد إيجاد قياس الزاوية ﺃﻡﺏ وقياس الزاوية ﺃﺟﺏ. نرى أن النقاط ﺃ وﻡ وﺏ تشكل مثلثًا. والقطعتان المستقيمتان ﻡﺏ وﻡﺃ تمثلان نصفي قطر هذه الدائرة؛ لأن أي خط مرسوم من مركز الدائرة إلى محيطها هو نصف قطر. هذا يعني أنه يمكننا القول إن طول القطعة المستقيمة ﻡﺃ يساوي طول القطعة المستقيمة ﻡﺏ. ويعني كذلك أن المثلث ﺃﻡﺏ مثلث متساوي الساقين.

في المثلث المتساوي الساقين، الزاويتان المقابلتان لنصفي القطر متساويتان في القياس. وبالتالي يمكننا القول إن قياس الزاوية ﺃﺏﻡ يساوي أيضًا ٥٩٫٥ درجة. بما أن هذه الزوايا الثلاث تشكل مثلثًا، فلا بد أن مجموع قياساتها يساوي ١٨٠ درجة. وبذلك، نعوض بقياسي الزاوية ﻡﺃﺏ والزاوية ﺃﺏﻡ. وبجمع قياسي الزاويتين اللتين نعرفهما، نحصل على ١١٩ درجة. ولإيجاد قياس الزاوية ﺃﻡﺏ، نطرح ١١٩ درجة من الطرفين، فنجد أن قياس الزاوية ﺃﻡﺏ يساوي ٦١ درجة. هذه هي إجابة الجزء الأول.

الجزء الثاني أقل وضوحًا بعض الشيء. نلاحظ أن هاتين الزاويتين تتشاركان في طرفي الضلعين ﺃ وﺏ، أي إنهما تحصران القوس ﺃﺏ. لكن علينا توضيح أمر مهم هنا. الزاوية ﺃﻡﺏ هي زاوية مركزية تحصر القوس ﺃﺏ، في حين أن الزاوية ﺃﺟﺏ هي زاوية محيطية تحصر القوس ﺃﺏ. ونتذكر أن قياس الزاوية المركزية المقابلة للقوس المحصور بين نقطتين على الدائرة يساوي ضعف قياس الزاوية المحيطية المقابلة للقوس المحصور بين نفس النقطتين. وقد نرى ذلك ممثلًا بهذا الشكل: إذا كان قياس الزاوية المركزية اثنين ﺃ، فإن قياس الزاوية المحيطية المقابلة للقوس المحصور بين نفس النقطتين سيساوي ﺃ درجة.

وبناء على ذلك، يمكننا القول إن قياس الزاوية ﺃﺟﺏ يساوي نصف قياس الزاوية ﺃﻡﺏ. إذن، نعوض عن الزاوية ﺃﻡﺏ بـ ٦١ درجة. نصف ٦١ درجة يساوي ٣٠٫٥ درجة. ومن ثم، فإن قياس الزاوية ﺃﺟﺏ يساوي ٣٠٫٥ درجة.

إليك مثالًا آخر.

من الشكل، ما قيمة ﺱ؟

لنبدأ بما نعرفه. لدينا الزاوية ﺃﺟﺏ التي قياسها ١٠١ درجة. ولدينا أيضًا الزاوية ﺃﻡﺏ. في هذه الحالة، نتحدث عن الزاوية المنعكسة للزاوية ﺃﻡﺏ. وهي الزاوية التي قياسها أكبر من ١٨٠ درجة، ويساوي هنا اثنين ﺱ زائد ثمانية درجة. تشترك الزاوية ﺃﺟﺏ والزاوية ﺃﻡﺏ في طرفي الضلعين ﺃ وﺏ. لكن نظرًا لأن رأس الزاوية ﺃﻡﺏ هو مركز الدائرة، نقول إن الزاوية ﺃﻡﺏ زاوية مركزية في هذه الدائرة. أما رأس الزاوية ﺃﺟﺏ، فيقع على الإطار الخارجي للدائرة، ما يجعل الزاوية ﺃﺟﺏ زاوية محيطية للدائرة. وهذه الحقائق الثلاث تقودنا إلى نظرية الزاوية المركزية.

تنص نظرية الزاوية المركزية على أنه عندما تشترك زاوية مركزية وزاوية محيطية في نفس طرفي الضلعين، فإن قياس الزاوية المركزية سيساوي ضعف قياس الزاوية المحيطية. في هذا الشكل، قياس الزاوية المحيطية يساوي ﺃ درجة، وهذا سيجعل قياس الزاوية المركزية تساوي اثنين ﺃ درجة. وبذلك، يمكننا القول إن قياس الزاوية ﺃﻡﺏ يساوي ضعف قياس الزاوية ﺃﺟﺏ. فقياس الزاوية المركزية يساوي ضعف قياس الزاوية المحيطية. إذن يمكننا القول إن اثنين ﺱ زائد ثمانية يساوي اثنين في ١٠١ درجة. عندما نضرب اثنين في ١٠١ درجة، نحصل على ٢٠٢. والآن نحن جاهزون لإيجاد قيمة ﺱ. نطرح ثمانية من الطرفين. اثنان ﺱ يساوي ١٩٤. ثم نقسم كلا الطرفين على اثنين، فنجد أن ﺱ يساوي ٩٧.

في المثال التالي، لدينا بعض الأوتار المتقاطعة في دائرة.

إذا كان قياس الزاوية ﺃﺏﺩ يساوي ٤٤ درجة وقياس الزاوية ﺟﻫﺃ يساوي ٧٢ درجة، فأوجد قيمة كل من ﺱ وﺹ وﻉ.

لنبدأ بكتابة ما نعرفه. قياس الزاوية ﺃﺏﺩ يساوي ٤٤ درجة، وقياس الزاوية ﺟﻫﺃ يساوي ٧٢ درجة. يتقاطع هذان الوتران عند النقطة ﻫ. وهذا يعني أنه يمكننا القول إن الزاوية ﺏﻫﺩ والزاوية ﺟﻫﺃ زاويتان متقابلتان بالرأس، وهو ما يعني أنهما متساويتان في القياس. فهما زاويتان متطابقتان. وفي هذه الحالة، هذا يعني أن قياس الزاوية ﺏﻫﺩ يساوي أيضًا ٧٢ درجة. تشكل النقاط ﻫ وﺏ وﺩ مثلثًا، وهو ما يعني أن مجموع قياسات زواياه الثلاث لا بد أن يساوي ١٨٠ درجة. يمكننا التعويض بما نعرفه عن قياسات هذه الزوايا الثلاث في هذه المعادلة. ٧٢ زائد ٤٤ يساوي ١١٦. ١١٦ زائد ﻉ يساوي ١٨٠. إذن نطرح ١١٦ من كلا الطرفين. وسنجد أن ﻉ يساوي ٦٤ درجة.

لن نتمكن من اتباع الطريقة نفسها لإيجاد قيمتي ﺱ وﺹ. إذن علينا التفكير في بعض نظريات الدائرة. إذا نظرنا إلى الزاوية المحيطية ﺏ، فسنرى أن طرفي ضلعيها يقعان على الدائرة عند ﺃ وﺩ وأن القوس المقابل لها هو القوس ﺃﺩ. يمكننا كتابة ذلك بهذه الطريقة: القوس ﺃﺩ يقابل الزاوية ﺃﺏﺩ. لكن توجد زاوية أخرى في هذه الدائرة تقابل أيضًا القوس نفسه، وهي الزاوية ﺃﺟﺩ. ونظرًا لأن هاتين الزاويتين تقابلان القوس نفسه، يمكننا القول إن قياس الزاوية ﺃﺟﺩ سيساوي قياس الزاوية ﺃﺏﺩ. وهذا يعني أن قياس الزاوية ﺱ يساوي ٤٤ درجة.

وبما أن مجموع قياسات الزوايا الثلاث لا بد أن يساوي ١٨٠ درجة، يمكننا القول إن قياس الزاوية ﺹ يساوي ٦٤ درجة. إذا أردنا التأكد من ذلك، يمكننا ملاحظة أن الزاوية ﺟﺃﺏ تقابل القوس ﺟﺏ، والزاوية ﺟﺩﺏ تقابل القوس ﺟﺏ. وبذلك نكون قد وجدنا أن قياس الزاوية ﺱ يساوي ٤٤ درجة، وقياس الزاويتين ﺹ وﻉ يساويان ٦٤ درجة.

في المثال التالي، لدينا طول قطر يجب علينا وضعه في الاعتبار.

إذا كانت القطعة المستقيمة ﺃﺏ قطرًا في الدائرة ﻡ، وقياس الزاوية ﺏﻡﺩ يساوي ٥٩ درجة، فأوجد بالدرجات قياس الزاوية ﺃﺟﺩ.

هيا نضع ما نعرفه من معطيات في الشكل. الزاوية ﺏﻡﺩ قياسها ٥٩ درجة، ونحاول إيجاد قياس الزاوية ﺃﺟﺩ. إذا بدأنا بما نعرفه عن الزاوية ﺏﻡﺩ، فبما أن الزاوية ﺏﻡﺩ رأسها يقع عند مركز الدائرة، فإن ﺏﻡﺩ زاوية مركزية. وبما أن الزاوية ﺏﻡﺩ زاوية مركزية، فإن قياس القوس المقابل لها، وهو القوس ﺏﺩ، يساوي ٥٩ درجة أيضًا. نريد كذلك إيجاد قياس الزاوية ﺃﺟﺩ. لكن الزاوية ﺃﺟﺩ ليست زاوية مركزية. إنها زاوية محيطية؛ لأن رأسها يقع على محيط الدائرة، وكذلك طرفا ضلعيها.

القوس المقابل للزاوية ﺃﺟﺩ هو القوس ﺃﺩ. لدينا قياس جزء من هذا القوس، لكننا لا نعرف قياس الجزء من ﺃ إلى ﺏ. لكن بما أننا نعرف أن ﺃﺏ قطر، فإنه يقسم الدائرة إلى نصفين. وهذا يعني أن قياس القوس ﺃﺏ يساوي ١٨٠ درجة. إذا كان قياس القوس ﺃﺏ يساوي ١٨٠ درجة وقياس القوس ﺏﺩ يساوي ٥٩ درجة، يمكننا القول إن قياس القوس ﺃﺩ يساوي قياس القوس ﺃﺏ زائد قياس القوس ﺏﺩ.

إذا عوضنا بما نعرفه، نجد أن قياس القوس ﺃﺩ يساوي ٢٣٩ درجة. ونظرًا لأن الزاوية ﺃﺟﺩ زاوية محيطية وقياس القوس المقابل لها يساوي ٢٣٩ درجة، يمكننا إيجاد القياس الدقيق للزاوية ﺃﺟﺩ. قياس الزاوية المحيطية ﺃﺟﺩ يساوي نصف قياس القوس المقابل لها، وهو القوس ﺃﺩ. بما أن قياس هذا القوس يساوي ٢٣٩ درجة، نحسب نصف قياسه لنحصل على قياس الزاوية ﺃﺟﺩ وهو ١١٩٫٥ درجة.

في المثال الأخير، سنرى كيف يمكن أن يعطينا وتران متوازيان معلومات عن قياسات القوس.

إذا كانت القطعة المستقيمة ﺃﺏ قطرًا بالدائرة، وكانت القطعة المستقيمة ﺩﺟ توازي القطعة المستقيمة ﺃﺏ، فأوجد قياس الزاوية ﺃﻫﺩ.

ما يعنينا هنا هو قياس الزاوية ﺃﻫﺩ، وهو هذا القياس. ولدينا بعض المعطيات الأخرى. نعلم أن القطعة المستقيمة ﺩﺟ توازي القطعة المستقيمة ﺃﺏ. ونعلم أن القطعة المستقيمة ﺃﺏ قطر بالدائرة. وفي الشكل، مكتوب أن قياس الزاوية ﺟﺏﺃ هو ٦٨٫٥ درجة.

في البداية، قد يبدو لنا أنه من طريقة حل واضحة يمكننا اتباعها. لكن إذا بدأنا بقياس الزاوية ﺟﺏﺃ، فيمكننا استخدام هذا المعطى لإيجاد قياس القوس ﺟﺃ. بما أن الزاوية ﺟﺏﺃ زاوية محيطية، فإن قياس قوسها سيساوي ضعف قياسها. إذن قياس القوس ﺃﺟ يساوي اثنين في ٦٨٫٥، وهو ما يساوي ١٣٧ درجة. وبما أننا نعرف أن القطعة المستقيمة ﺃﺏ قطر في الدائرة، فقياس القوس ﺃﺏ لا بد أن يساوي ١٨٠ درجة. يمكننا أيضًا القول إن القوس ﺃﺏ سيساوي القوس ﺏﺟ زائد القوس ﺟﺃ.

نعلم من ذلك أن القوس ﺃﺏ لا بد أن يساوي ١٨٠ درجة، وأن القوس ﺟﺃ يساوي ١٣٧ درجة. ولإيجاد قياس القوس ﺏﺟ، يمكننا طرح ١٣٧ من كلا طرفي المعادلة. ونحصل بذلك على قياس القوس ﺏﺟ، وهو ٤٣ درجة. وهنا يأتي دور الوترين المتوازيين. عندما يكون لديك وتران متوازيان، يكون القوسان المحصوران بينهما متطابقين. هذا يعني أنه نظرًا لأن قياس القوس ﺟﺏ يساوي ٤٣ درجة، فإن قياس القوس ﺩﺃ يساوي ٤٣ درجة أيضًا.

نلاحظ الآن أن القوس ﺩﺃ يقابل الزاوية ﺃﻫﺩ. وبما أن الزاوية ﺃﻫﺩ زاوية محيطية، فإن قياسها يساوي نصف قياس القوس ﺃﺩ. نعلم أن قياس القوس ﺃﺩ يساوي ٤٣ درجة، ونصف ٤٣ يساوي ٢١٫٥. وبذلك، يمكننا القول إن قياس الزاوية ﺃﻫﺩ يساوي ٢١٫٥ درجة.

قبل الانتهاء، دعونا نستعرض سريعًا النقاط الرئيسية. إذا كان لديك زاوية مركزية قياسها اثنان ﺃ درجة، فإن قياس القوس المقابل لها سيساوي أيضًا اثنين ﺃ درجة. أما قياس الزاوية المحيطية التي تقابل القوس نفسه، فيساوي نصف قياس هذه الزاوية، أي ﺃ درجة فقط. ويمكن أن نعبر عن ذلك بقولنا إن قياس الزاوية المركزية المقابلة لقوس بين نقطتين على الدائرة يساوي ضعف قياس الزاوية المحيطية المقابلة للقوس نفسه بين هاتين النقطتين. يمكننا أيضًا القول إن الزاويتين المقابلتين لنفس القوس في الدائرة تكونان متساويتين في القياس. وأخيرًا، القوسان الواقعان بين وترين متوازيين يكونان دائمًا متطابقين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.