فيديو: حل نظام من المعادلات الخطية في ٣ متغيِّرات: حل وحيد

يوضِّح الفيديو أنواع حلول أنظمة المعادلات الخطية في ٣ متغيرات، ويتناول نظام المعادلات الخطية ذا الحل الوحيد، ومثالًا عليه.

١٠:١٦

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم في الفيديو ده عن حل نظام من المعادلات الخطية في ثلاثة متغيرات.

نظام المعادلات الخطية اللي بيبقى في تلات متغيرات ده، بيبقى في ثلاثي الأبعاد. لأن النقطة اللي بنجيبها اللي هي حل المعادلات دي، بتبقى نقطة في تلات إحداثيات مرتّبة، اللي هي بتمثّل الـ س والـ ص والـ ع. كل معادلة في الشكل اللي بيبقى ثلاثي الأبعاد، بتبقى تمثّل مستوى. يعني لو عندنا تلات معادلات هيبقوا تلات مستويات. حل التلات مستويات دول، هو ده بيبقى حل المعادلات. والحل مقصود بيه تقاطع المستويات دي مع بعض.

عندنا تلات أنواع من تقاطعات المستويات مع بعض. في الرسم قدامنا تلات أنواع من تقاطعات المستويات. أول واحد ده تلات مستويات متقاطعين هنا في نقطة. كل مستوى زي ما قلنا بيمثّل معادلة. يبقى تقاطع المعادلات دي كلها في نقطة، اللي هي س وَ ص وَ ع، وهي دي النقطة اللي بتبقى حل المعادلات. ده بنقول حل وحيد، والمستويات بتتقاطع في نقطة.

تاني نوع عندنا هنا تقاطع المستويات في خط. الخط ده بيبقى فيه عدد لا نهائي من النقط. طيب … أو إنها تتطابق جميع المستويات، وتبقى بالشكل ده تمثّل مستوى. وبالتالي كل المستوى هيمثّل حل للمعادلات. يبقى هنا عندنا عدد لا نهائي من الحلول. هنا بيتقاطع في خط، وهنا بتتطابق المستويات اللي هي تتطابق المعادلات.

النوع التالت عندنا هنا مستويات متوازية. مستويين متقاطعين مع مستوى. وهنا تلات مستويات كله كل اتنين فيهم متقاطعين في خط. دول بنقول إن ما فيش تقاطع مشترك ما بين التلات مستويات. وبالتالي لا يوجد حل مشترك بين المستويات دي. طيب إزّاي هنجيب نقطة الحل.

نقلب الصفحة ونشوف مثال.

المثال بيقول: اوجد حل نظام المعادلات الآتية: تلاتة س ناقص اتنين ص زائد أربعة ع يساوي خمسة وتلاتين، وسالب أربعة س زائد ص ناقص خمسة ع يساوي سالب ستة وتلاتين، وخمسة س ناقص تلاتة ص زائد تلاتة ع يساوي واحد وتلاتين.

علشان نعرف نحل نظام من معادلات بتلات متغيرات، بنحوّلهم لمعادلتين. بنحذف واحد من المتغيرات اللي عندنا، ويتبقّى لنا متغيرين تانيين. نحل المعادلة اللي هي في متغيرين، ونوجد القيمة، وبعدين في الآخر نرجع نجيب قيمة المتغيّر اللي حذفناه. عشان كده عندنا تلات خطوات في الحل. الخطوة الأولى اللي هي حذف متغيّر. تاني خطوة حل المعادلتين. تالت خطوة إيجاد قيمة المتغيّر اللي حذفناه.

أول خطوة عندنا اللي هي حذف متغيّر من المتغيرات. هنستخدم طريقة الحذف. وعشان نقدر نحذف متغيّر بنشوف المعامل بتاعه إنه هو يبقى زيه أو عكس إشارته. أو إحنا نخليه زيه أو عكس إشارته. في المعادلات هنا هنبص على معامل كل متغيّر، هنلاقي إن الـ س مرة تلاتة ومرة سالب أربعة ومرة خمسة. الـ ص سالب اتنين وواحد وسالب تلاتة. الـ ع أربعة وسالب خمسة وتلاتة. الأحسن عندنا إن إحنا نستخدم اللي المتغيّر بتاعه واحد؛ عشان ده هيبقى سهل مرة نضربه في عدد ويتجمع مع المعادلة اللي فوق. ومرة يضرب في عدد تاني ويتجمع عَ المعادلة اللي تحت.

يبقى هناخد المعادلة رقم اتنين هنضربها مرة في عدد يناسب المعادلة رقم واحد، اللي هو هنا هيبقى اتنين. ومرة تانية هنضربه في تلاتة؛ علشان يناسب المعادلة رقم تلاتة. يبقى عشان نحذف متغيّر، هناخد كل معادلتين نحلّهم مع بعض، ونحذف المتغيّر منهم. يبقى المعادلتين الأولانيين هنحلّهم مع بعض. هنضرب المعادلة رقم اتنين في اتنين. هنسيب المعادلة الأولانية زي ما هي، وبعدين نجمع المعادلتين تلاتة س ناقص تمنية س هتبقى سالب خمسة س. سالب اتنين ص مع اتنين ص هيتمّ حذف الـ ص. هيتبقّى عندنا سالب ستة ع تساوي سالب سبعة وتلاتين. يبقى كده حوّلنا المعادلة بدل ما كانت في تلات متغيرات لمعادلة في متغيرين.

نفس الكلام ده هنعمله في المعادلة رقم اتنين ورقم تلاتة، بس هنضرب وقتها المعادلة رقم اتنين في قيمة معامل الـ ص في المعادلة رقم تلاتة. كتبنا المعادلتين. هنضرب المعادلة دي في تلاتة. وهنسيب المعادلة التانية زي ما هي. هيبقى ده الناتج عندنا معادلتين دول، هنجمعهم على بعض. هتبقى سالب اتناشر س زائد خمسة س، هتبقى سالب سبعة س. والـ ص هتتحذف مع الـ ص. هيتبقّى عندنا سالب اتناشر ع هتساوي سالب سبعة وسبعين. يبقى هي دي المعادلة التانية اللي عندنا. يبقى كده عندنا معادلتين في متغيرين هنحلُّهم مع بعض، ونوجد قيمة الـ س والـ ع. وبعدين نرجع في الآخر نعوّض ونجيب قيمة المتغيّر اللي إحنا حذفناه في الأول.

عايزين نحل المعادلتين في المتغيرين دول. هنحذف أحد المتغيرات، ونوجد قيمة المتغيّر التاني. يبقى هنبص على معاملات المتغيرات. لو فيها واحد أو سالب واحد، ممكن نقدر نستخدم التعويض. أو إن إحنا نوحّد المعاملات لأحد المتغيرات. يعني السالب ستة ع والسالب اتناشر ع، هنخليهم معكوسين لبعض. يعني هنضرب المعادلة الأولانية في سالب اتنين؛ عشان سالب ستة في سالب اتنين تدي موجب اتناشر. نقدر نحذفها مع السالب اتناشر في المعادلة التانية. يبقى هنضرب المعادلة الأولانية في سالب اتنين، هيكون الناتج عندنا عشرة س زائد اتناشر ع تساوي أربعة وسبعين. والمعادلة التانية زي ما هي.

هنجمع المعادلتين على بعض؛ عشان نحذف المتغيّر ع. يبقى هيتبقّى عندنا المتغيّر س بس. يبقى عشرة س ناقص سبعة س اللي هي تلاتة س تساوي سالب تلاتة. كده قيمة الـ س هتساوي سالب واحد. يبقى كده جبنا أول متغيّر. هنعوّض بقيمة المتغيّر ده في أحد المعادلات اللي إحنا استخدمناها. ونوجد قيمة الـ ع. هنعوّض في المعادلة سالب خمسة س. هنحط الـ س مكانها سالب واحد. ناقص ستة ع هيساوي سالب سبعة وتلاتين. هنصفي ونجيب قيمة الـ ع. قيمة الـ ع هتساوي سبعة. يبقى كده جبنا المتغيّر التاني ع.

كده عندنا المتغيّر س والمتغيّر ع. باقي عندنا نجيب المتغيّر اللي حذفناه الأول اللي هو الـ ص. يبقى ناخد القيمة الـ س والـ ع، ونعوّض بيها في أي معادلة من المعادلة الأساسية اللي مديهالنا في النظام. والأفضل إن إحنا ندوّر على اللي فيها الـ ص بِـ واحد؛ عشان خاطر تطلع القيمة مباشرةً. يبقى هنعوّض في المعادلة رقم اتنين في النظام الأساسي، اللي هي سالب أربعة. هنشيل الـ س ونحط قيمتها اللي هي سالب واحد. زائد الـ ص المجهولة. ناقص الخمسة ع اللي هي قيمتها سبعة. هيساوي سالب ستة وتلاتين.

هنبسّط المعادلة ونوجد قيمة الـ ص. هتطلع قيمة الـ ص تساوي سالب خمسة. يبقى كده جبنا قيمة المتغيّر التالت. يبقى الحل عندنا هيبقى سالب واحد وسالب خمسة وسبعة.

عشان نتأكد مَ الحل بتاعنا هناخد القيمة ونعوّض بيها في التلات معادلات. هناخد معادلة رقم اتنين ونعوّض فيها. المفروض لمّا هنعوّض بالأرقام دي هتديلنا نفس القيمة اللي هي سالب ستة وتلاتين. يبقى سالب أربعة في سالب واحد، زائد سالب خمسة، ناقص خمسة في سبعة. المفروض الكلام ده كله بيساوي سالب ستة وتلاتين. هنشوف، هنعوّض فعلًا هنلاقي إن السالب ستة وتلاتين س هتساوي سالب ستة وتلاتين. يبقى كده الحل بتاعنا صحيح.

هنا حل المعادلات دي نقطة واحدة؛ يعني الحل وحيد. يعني لو كانت المستويات دي رسمناها، هنلاقي التلاتة مستويات بيتقاطعوا في نقطة واحدة، اللي هي سالب واحد وسالب خمسة وسبعة.

اتكلمنا في الفيديو ده عن حل نظام من المعادلات الخطية في تلات متغيرات. ولقينا إن أنواع الحلول تلاتة. حل وحيد، أو عدد لا نهائي من الحلول، أو لا يوجد حل. ورسمناهم في ثلاثي الأبعاد. وعرفنا معنى الحل في الشكل ثلاثي الأبعاد. وبعد كده أخدنا مثال على الحل الوحيد لأنظمة المعادلات الخطية اللي في تلات متغيرات.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.