فيديو السؤال: تبسيط المقادير الجبرية الكسرية المرفوعة لقوى سالبة باستخدام قوانين الأسس الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

بسط ٤٥ أس ١٨ﻥ مضروبًا في ٦٣ أس سالب تسعة ﻥ مضروبًا في ثلاثة أس تسعة ﻥ الكل مقسوم على ٢٢٥ أس تسعة ﻥ مضروبًا في ٢١ أس سالب تسعة ﻥ.

لدينا مقدار أسي على صورة كسر به أساسات صحيحة مختلفة مرفوعة إلى قوى تساوي مضاعفات ﻥ في البسط والمقام. لتبسيط ذلك، يمكننا استخدام بعض قوانين أو قواعد الأسس مع تحليل الأساسات إلى العوامل الأولية. سنبدأ بكتابة المقدار. بعد ذلك يمكننا استخدام قاعدة الأس السالب -وهي: ﺃ أس سالب ﻡ يساوي واحد على ﺃ أس ﻡ؛ حيث ﺃ هو الأساس، وﻡ هو الأس- لتبسيط ٦٣ أس سالب تسعة ﻥ و٢١ أس سالب تسعة ﻥ. إذا كان الأس هو سالب تسعة ﻥ، فإن ٦٣ أس سالب تسعة ﻥ يساوي واحدًا على ٦٣ أس تسعة ﻥ. وبالمثل، ٢١ أس سالب تسعة ﻥ يساوي واحدًا على ٢١ أس تسعة ﻥ.

وبتذكر أنه للقسمة على كسر، فإننا نقلب الكسر ونضرب فيه. وللضرب في كسر، فإننا نقسم على المقام بحيث يصبح ٢١ أس تسعة ﻥ في البسط ويصبح ٦٣ أس تسعة ﻥ في مقام المقدار. الآن بعد أن أصبحت جميع الأسس موجبة، لنحلل الأساسات الصحيحة إلى عواملها الأولية. بمجرد إجراء ذلك، سنتمكن من تجميع العوامل التي لها نفس الأساسات.

الأساسات التي لدينا هي ٤٥ و٢١ و٢٢٥ و٦٣ وثلاثة بالطبع. نحن نعلم أن ٤٥ يساوي تسعة في خمسة، وهو ما يساوي ثلاثة في ثلاثة في خمسة. إذن فهو يساوي ثلاثة تربيع في خمسة. ‏٢١ يساوي ثلاثة مضروبًا في سبعة ولا يمكن تحليله أكثر من ذلك. ‏٢٢٥ يساوي ثلاثة في ثلاثة في خمسة في خمسة. وهو ما يساوي ثلاثة تربيع في خمسة تربيع. ‏٦٣ يساوي تسعة في سبعة. أي ثلاثة في ثلاثة في سبعة، وهو ما يساوي ثلاثة تربيع في سبعة. وبالطبع، الأساس ثلاثة هو نفسه عامل أولي.

إذن لدينا الآن ثلاثة تربيع في خمسة، وذلك يساوي ٤٥، أس ١٨ﻥ مضروبًا في ثلاثة في سبعة، وذلك يساوي ٢١، أس تسعة ﻥ مضروبًا في ثلاثة أس تسعة ﻥ في البسط على ثلاثة تربيع مضروبًا في خمسة تربيع، وذلك يساوي ٢٢٥، أس تسعة ﻥ مضروبًا في ثلاثة تربيع في سبعة، وذلك يساوي ٦٣، أس تسعة ﻥ.

والآن بإفراغ بعض المساحة، نلاحظ أنه لدينا في البسط والمقام حواصل ضرب مرفوعة إلى قوة، ويمكننا استخدام قاعدة قوة حاصل الضرب للفصل بينها. أول عامل في البسط، ويساوي ثلاثة تربيع مضروبًا في خمسة الكل أس ١٨ﻥ، يصبح ثلاثة تربيع أس ١٨ﻥ مضروبًا في خمسة أس ١٨ﻥ. العامل الثاني في البسط، ويساوي ثلاثة في سبعة أس تسعة ﻥ، يصبح ثلاثة أس تسعة ﻥ مضروبًا في سبعة أس تسعة ﻥ، والذي نضربه في العامل الثالث، أي ثلاثة أس تسعة ﻥ. بالمثل، في المقام، لدينا ثلاثة تربيع أس تسعة ﻥ مضروبًا في خمسة تربيع أس تسعة ﻥ مضروبًا في ثلاثة تربيع أس تسعة ﻥ مضروبًا في سبعة أس تسعة ﻥ.

عند هذه النقطة، نلاحظ أن لدينا عاملًا مشتركًا في البسط والمقام وهو سبعة أس تسعة ﻥ. فإذا قسمنا كلًّا من البسط والمقام عليه، فسنحصل على واحد. بعد ذلك، يمكننا تطبيق قانون القوة على العامل ذي الأساس خمسة في المقام. هذا يعطينا خمسة أس اثنين الكل أس تسعة ﻥ يساوي خمسة أس اثنين في تسعة ﻥ، وهو ما يساوي خمسة أس ١٨ﻥ. الآن إذا أعدنا كتابة ذلك في المقام، فسنجد أن لدينا عاملًا مشتركًا الآن وهو خمسة أس ١٨ﻥ في كل من البسط والمقام. وبقسمة كل من البسط والمقام على خمسة أس ١٨ﻥ، نحصل على واحد. والآن أصبحت جميع الأساسات تساوي ثلاثة.

إذا تناولنا قاعدة الضرب للأسس، وهي ﺃ أس ﻡ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻡ زائد ﻥ، في البسط، فإن الحدين في الجانب الأيسر يساويان ثلاثة أس تسعة ﻥ زائد تسعة ﻥ، وهو ما يساوي ثلاثة أس ١٨ﻥ. وفي المقام، تعطينا القاعدة نفسها ثلاثة تربيع أس تسعة ﻥ زائد تسعة ﻥ، وهو ما يساوي ثلاثة تربيع أس ١٨ﻥ. إذن لدينا الآن ثلاثة تربيع أس ١٨ﻥ مضروبًا في ثلاثة أس ١٨ﻥ مقسومًا على ثلاثة تربيع أس ١٨ﻥ. الآن إذا قسمنا كلًّا من البسط والمقام على ثلاثة تربيع أس ١٨ﻥ، فإن كليهما يصبح واحدًا، ويتبقى لدينا ثلاثة أس ١٨ﻥ. بذلك، يمكن تبسيط المقدار المعطى إلى ثلاثة أس ١٨ﻥ.