فيديو السؤال: إيجاد احتمال اتحاد حدثين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

تحتوي حقيبة على كرات حمراء وكرات زرقاء وكرات خضراء، ويجب اختيار واحدة من بينها دون النظر داخل الحقيبة. احتمال أن تكون الكرة المختارة حمراء يساوي سبعة أمثال احتمال أن تكون الكرة المختارة زرقاء. احتمال أن تكون الكرة المختارة زرقاء يساوي احتمال أن تكون الكرة المختارة خضراء. أوجد احتمال أن تكون الكرة المختارة حمراء أو خضراء.

سنبدأ بافتراض أن ﺡ وﺯ وﺥ هي أحداث اختيار كرة حمراء وكرة زرقاء وكرة خضراء، على الترتيب. وقد علمنا من المعطيات أن احتمال أن تكون الكرة المختارة حمراء يساوي سبعة أمثال احتمال أن تكون الكرة المختارة زرقاء. يمكن كتابة ذلك كما هو موضح: ﻝﺡ يساوي سبعة مضروبًا في ﻝﺯ. وعلمنا من معطيات السؤال أيضًا أن احتمال أن تكون الكرة المختارة زرقاء يساوي احتمال أن تكون الكرة المختارة خضراء. ومن ثم، فإن ﻝﺯ يساوي ﻝﺥ.

يطلب منا السؤال إيجاد احتمال أن تكون الكرة المختارة حمراء أو خضراء. لكن قبل أن نفعل ذلك، سنحسب احتمالات اختيار كل كرة من الكرات ذات الألوان الثلاثة. بما أن مجموع قيم الاحتمالات يساوي واحدًا، فإننا نعلم أن احتمال اختيار كرة حمراء زائد احتمال اختيار كرة زرقاء زائد احتمال اختيار كرة خضراء يجب أن يساوي واحدًا. بالتعويض عن ﻝﺡ بسبعة ﻝﺯ، وعن ﻝﺥ بـ ﻝﺯ، تصبح لدينا المعادلة الآتية. يمكننا تبسيط ذلك إلى تسعة ﻝﺯ يساوي واحدًا. وبقسمة كلا الطرفين على تسعة، نجد أن احتمال اختيار كرة زرقاء يساوي تسعًا. هذا يعني أن احتمال اختيار كرة خضراء يساوي تسعًا أيضًا. وبما أن احتمال اختيار كرة حمراء يساوي سبعة أمثال ذلك، فإن هذا يساوي سبعة أتساع.

يمكننا الآن إيجاد احتمال أن تكون الكرة المختارة حمراء أو خضراء. وبما أن الحدثين متنافيان، فيمكننا استخدام حقيقة أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ؛ حيث احتمال ﺃ اتحاد ﺏ هو احتمال وقوع أي من الحدثين.

علينا ببساطة إضافة احتمال أن تكون الكرة المختارة حمراء إلى احتمال أن تكون الكرة المختارة خضراء. وبما أن المقامين متساويان، فيمكننا ببساطة جمع البسطين. ومن ثم، يمكننا استنتاج أن احتمال أن تكون الكرة المختارة حمراء أو خضراء يساوي ثمانية أتساع. تجدر أيضًا ملاحظة أنه كان بإمكاننا حساب ذلك بطرح احتمال أن تكون الكرة زرقاء من واحد. فواحد ناقص تسع يساوي ثمانية أتساع أيضًا.