فيديو: اشتقاق الدوال الكثيرة الحدود

أوجد المشتقة الأولى للدالة 𝑦 = 2𝑥(9𝑥² − 3𝑥) + 10𝑥.

٠٤:٠٢

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد المشتقة الأولى للدالة 𝑦 يساوي اثنين 𝑥 في تسعة 𝑥 تربيع ناقص ثلاثة 𝑥 زائد 10𝑥.

والآن الخطوة الأولى التي علينا إجراؤها هي فك الأقواس. ولفعل هذا، سنضرب اثنين 𝑥 في كل من الحدين. سنبدأ باثنين 𝑥 في تسعة 𝑥 تربيع، ما يعطينا 18𝑥 تكعيب. ثم سيكون علينا ضرب اثنين 𝑥 في سالب ثلاثة 𝑥. من المهم هنا التأكد من تضمين العلامة في عملية الضرب. وهي هنا سالب، إذن، فلدينا اثنان 𝑥 في سالب ثلاثة 𝑥. وسيكون حدنا التالي سالب ستة 𝑥 تربيع. وأخيرًا، نضيف 10𝑥.

حسنًا، هذا رائع. الآن، لدينا الدالة 𝑦 يساوي 18𝑥 تكعيب ناقص ستة 𝑥 تربيع زائد 10𝑥. والآن، بما أننا انتهينا من فك الأقواس، فيمكننا اشتقاق كل حد من الحدود منفردًا. وقبل أن نفعل هذا، دعونا نذكر أنفسنا بطريقة الاشتقاق.

إذا أردنا الاشتقاق ولدينا دالة في صورة 𝑎𝑥 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑏، فإن مشتقة هذه الدالة تساوي 𝑎𝑏𝑥 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑏 ناقص واحد. وما فعلناه هو أننا ضربنا الأس في المعامل. ثم قللنا الأس بمقدار واحد. فأصبح لدينا 𝑎𝑏𝑥 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑏 ناقص واحد. حسنًا، هذا رائع. هكذا، نكون قد راجعنا هذا. ولنستخدمه في اشتقاق كل الحدود.

سنشتق كل حد خطوة بخطوة، وهكذا سنرى كيف سيصير كل حد. أولًا، إذا اشتققنا 18𝑥 تكعيب، فإن هذا يساوي 18 في ثلاثة. إذن، ضربنا المعامل في الأس. ثم 𝑥 مرفوعًا للقوة الأسية ثلاثة ناقص واحد، مما يعطينا 54𝑥 تربيع. حسنًا، هذا رائع. هكذا، نكون قد وجدنا الحد الأول في المشتقة. لاحظ أنني وضعت المشتقة الأولى في صيغة 𝑑𝑦 𝑑𝑥. لكن يمكنك رؤيتها أيضًا في صورة 𝑦 شرطة أو 𝑓 شرطة لـ 𝑥. فالاثنان لهما المعنى نفسه. وهو المشتقة الأولى.

حسنًا، هذا رائع. والآن، لننتقل إلى الحد الثاني. بالنسبة للحد الثاني، سنشتق سالب ستة 𝑥 تربيع. لقد احتفظنا هنا بالسالب لأنها هي العلامة المرتبطة بهذا الحد. ومع ذلك، فإنها لن تؤثر على عملية الاشتقاق. وهذا الحد سيساوي سالب ستة في اثنين لأننا، مرة أخرى، نضرب المعامل في الأس. ثم لدينا 𝑥 مرفوعًا للقوة الأسية اثنين ناقص واحد؛ لأننا نقلل الأس بمقدار واحد، فنحصل بذلك على سالب 12𝑥. حسنًا، هذا رائع. وهكذا نكون قد توصلنا إلى الحد الثاني.

وبالتالي، يمكننا الانتقال الآن إلى الحد الأخير. حسنًا، سيساوي الحد الأخير موجب 10 فقط. ولنذكر أنفسنا كيف حصلنا على هذه النتيجة؛ لقد ضربنا 10 في واحد لأن المعامل لدينا يساوي 10. والأس سيكون واحدًا، إن كان 𝑥 منفردًا. ثم 𝑥 مرفوعًا للقوة الأسية واحد ناقص واحد. وإذا فكرت في هذا، فإن هذا يساوي 𝑥 مرفوعًا للقوة الأسية صفر. ونحن نعرف أن أي شيء مرفوعًا للقوة الأسية صفر يساوي واحدًا. وهكذا، سيتبقى لدينا 10.

وبالتالي، يمكننا القول: إن المشتقة الأولى للدالة 𝑦 يساوي اثنين 𝑥 في تسعة 𝑥 تربيع ناقص ثلاثة 𝑥 زائد 10𝑥 تساوي 54𝑥 تربيع ناقص 12𝑥 زائد 10.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.