فيديو السؤال: إيجاد المسافة بين شقين باستخدام متغيرات أخرى الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

يمر ضوء طوله الموجي 636 نانومترًا خلال لوح فيه شقان ضيقان متوازيان. يسقط الضوء القادم من الشقين على شاشة توازي اللوح، وتبعد عنه مسافة 1.08 متر؛ حيث رصد نمط من الهدب المضيئة والمظلمة. يقع الخط ‪L‬‏ عموديًّا على سطح اللوح واتجاه الشقين. يقطع الخط ‪L‬‏ الهدبة المضيئة المركزية للنمط على الشاشة. المسافة على الشاشة من ‪L‬‏ إلى مركز الهدبة المضيئة الأقرب إلى الهدبة المضيئة المركزية تساوي 6.11 سنتيمترات. ما المسافة بين الشقين؟ أوجد الإجابة بالصيغة العلمية لأقرب منزلتين عشريتين.

نلاحظ أن هذه المسألة هي في الواقع مسألة حساب مثلثات بمجرد أن نرسم شكلًا يصفها، ولكن جانبًا كبيرًا من صعوبتها يكمن في رسم هذا الشكل بطريقة صحيحة في المقام الأول. دعونا نناقش ما يخبرنا به السؤال خطوة بخطوة. يمر ضوء طوله الموجي 636 نانومترًا خلال لوح فيه شقان ضيقان متوازيان. يسقط الضوء القادم من الشقين على شاشة توازي اللوح، وتبعد عنه مسافة 1.08 متر؛ حيث رصد نمط من الهدب المضيئة والمظلمة. يقع الخط ‪L‬‏ عموديًّا على سطح اللوح واتجاه الشقين. يقطع الخط ‪L‬‏ الهدبة المضيئة المركزية للنمط على الشاشة.

بداية من الجملة التالية، ستصبح الأمور أكثر صعوبة. المسافة على الشاشة من ‪L‬‏ إلى مركز الهدبة المضيئة الأقرب إلى الهدبة المضيئة المركزية تساوي 6.11 سنتيمترات. لمعرفة ما يعنيه ذلك بالضبط، دعونا نرسم صورة مكبرة للمنطقة التي يقطع عندها الخط ‪L‬‏ الهدبة المضيئة المركزية. الهدبة المضيئة المركزية، وهي الموجودة هنا والموضحة هنا أيضًا بعد تكبيرها، هي الهدبة المقابلة مباشرة لمركز هذين الشقين هنا.

ونظرًا لأن الخط ‪L‬‏ يقع عموديًّا تمامًا على مركز هذين الشقين، فهذا يعني أن الخط ‪L‬‏ يقطع الهدبة المضيئة المركزية، ويقطع تحديدًا مركز الهدبة المضيئة المركزية. من المهم معرفة ذلك؛ لأننا إذا أردنا قياس المسافة بين هدبتين مضيئتين، فعلينا القياس بداية من مركزي تلك الهدبتين؛ لأن مثل هذه المناطق هي الأكثر وضوحًا وسهولة في القياس.

إذن عندما تخبرنا هذه الجملة أن المسافة على الشاشة من ‪L‬‏ إلى مركز الهدبة المضيئة الأقرب إلى الهدبة المضيئة المركزية تساوي 6.11 سنتيمترات، فهذا يعني أننا ننظر إلى المسافة بين مركز الهدبة المضيئة المركزية ومركز الهدبة المضيئة الأخرى الأقرب إليها، وإن كانت الهدبة المضيئة الأقرب إلى الهدبة المضيئة المركزية هي في الحقيقة تلك التي تقع فوقها أو تحتها مباشرة. فهذه الهدب تفصلها مسافات متساوية. وسنجري العمليات الحسابية نفسها بغض النظر عن الهدبة التي نختارها. إذن، سنختار عشوائيًّا الهدبة المضيئة العليا.

يخبرنا السؤال أن المسافة بين مركزي هاتين الهدبتين تساوي 6.11 سنتيمترات. بعد أن رسمنا الشكل باستخدام معطيات السؤال، علينا فقط إيجاد المسافة بين هذين الشقين. سنرسم الآن شكلًا مكبرًا آخر يوضح المسافة بين هذين الشقين. لذا سنمحو جزءًا من نص السؤال. والآن لدينا لوح به شقان، وسنسمي المسافة بين هذين الشقين ‪𝑑‬‏.

عندما تمر موجة الضوء هذه عبر الشقين، فإنها تنقسم وتشكل نمط التداخل على الشاشة المقابلة للوح ذي الشقين. ما نريد فعله هو تحديد أي موجتي الضوء تنتج عنها الهدبة المضيئة الأقرب إلى الهدبة المضيئة المركزية، وهي الهدبة التي تبعد مسافة 6.11 سنتيمترات عن الهدبة المضيئة المركزية. نمثل ذلك بموجتي ضوء قادمتين من الشقين بزاوية معينة. إذا رسمنا خطين متوازيين يمتدان إلى اللوح ذي الشقين، فسيمكننا إيجاد هذه الزاوية، وسنسميها ‪𝜃‬‏ لكل من موجتي الضوء العلوية والسفلية القادمتين من الشقين.

وهذا ليس صحيحًا تمامًا؛ لأنه عند التحرك بعيدًا عن الهدبة المضيئة المركزية وصولًا إلى الهدبة المضيئة الأولى، فإن موجتي الضوء هاتين ستلتقيان في النهاية، ما يعني أن الزاويتين لا بد أن يكون بينهما فرق ضئيل للغاية في القياس. ولكن الفرق لا يكاد يذكر، ومن ثم يمكننا القول إن الموجتين لهما الزاوية نفسها، ‪𝜃‬‏. سنقوم الآن بحيلة ذكية، مستخدمين ما نعرفه عن المناطق التي يحدث عندها التداخل البناء في نمط التداخل.

يحدث التداخل البناء عندما يكون فرق المسار بين موجتين لهما الطول الموجي نفسه ‪𝜆‬‏ هو ‪𝑛𝜆‬‏؛ حيث ‪𝑛‬‏ عدد صحيح. فرق المسار يساوي بالضبط الفرق في طول مساري الموجتين. في حالة الهدبة المضيئة المركزية، فرق المسار يساوي صفرًا؛ لأن الموجتين تتحركان المسافة نفسها من الشقين، ما يعني أن الهدبة المضيئة المركزية تقع عند ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا، ما يعني عدم وجود فرق في المسار؛ لأن بالطبع صفرًا في ‪𝜆‬‏ يساوي صفرًا.

لكن دعونا نتناول الآن الحالة التي ننظر فيها إلى الهدبة المضيئة الأقرب إلى الهدبة المضيئة المركزية. بما أن هذه هي أقرب هدبة مضيئة تالية، فإن ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا، ما يعني أن فرق المسار يساوي واحدًا في ‪𝜆‬‏، أو ‪𝜆‬‏ فقط.

والآن بعد أن حصلنا على هذه المعلومات، يمكننا الرجوع إلى هذا الشكل بالأعلى. إذا افترضنا أن موجتي الضوء هاتين تتجهان نحو الهدبة المضيئة الأولى بعيدًا عن الهدبة المضيئة المركزية، وهي هذه الهدبة كما ذكرنا، فإننا نعلم أن فرق المسار بين موجتي الضوء هاتين يساوي ‪𝜆‬‏. ونعلم أن فرق المسار هذا ينطبق على الموجة السفلية؛ لأنها تتحرك مسافة أطول. إن معرفة ذلك مفيد جدًّا؛ لأنه يمكننا الآن تكوين مثلث قائم الزاوية يتضمن ‪𝑑‬‏ و‪𝜆‬‏ برسم خط مستقيم لأسفل من قمة المسافة ‪𝑑‬‏، أي الشق العلوي، وصولًا إلى فرق المسار، مكونًا زاوية قائمة.

إذن نعلم قيمة ‪𝜆‬‏، التي تساوي 6.36 نانومترات. لكن لإيجاد قيمة ‪𝑑‬‏ باستخدام هذا المثلث ومن ثم حساب المثلثات، علينا إيجاد زاوية ما. لحسن الحظ، نعلم بالفعل هذه الزاوية. هذه الزاوية هي في الواقع ‪𝜃‬‏. لذلك إذا حسبنا قيمة ‪𝜃‬‏، فيمكننا استخدامها مع الطول الموجي لإيجاد قيمة ‪𝑑‬‏.

ولإيجاد ‪𝜃‬‏، يمكننا القيام بحيلة ذكية أخرى تتضمن هذا الخط ‪L‬‏. ‏‪L‬‏ هو الخط الذي يسقط عموديًّا من مركز الشقين، ويبدو بهذا الشكل على الرسم. ونظرًا لأن هاتين الزاويتين متشابهتان بما يكفي بحيث يمكن أن نشير إليهما بالاسم نفسه، أي ‪𝜃‬‏، فإذا رسمنا موجة ضوء من مركز الشقين إلى الهدبة المضيئة الأولى القريبة من الهدبة المضيئة المركزية، فستكون لها نفس الزاوية ‪𝜃‬‏ أيضًا. ويمكننا تحديد هذه الزاوية؛ لأننا نعلم طول ‪L‬‏، وهو 1.08 متر، أي المسافة بين الشاشة واللوح، ونعلم المسافة بين مركز الهدبة المضيئة المركزية والهدبة المضيئة الأولى. كل ذلك يشكل مثلثًا قائم الزاوية، ما يسمح لنا باستخدام العلاقة: ظل الزاوية ‪𝜃‬‏ يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور.

طول الضلع المقابل يساوي 6.11 سنتيمترات، وطول الضلع المجاور، ‪L‬‏، يساوي 1.08 متر. كي نسهل الأمور على أنفسنا، سنحول السنتيمتر إلى متر بالضرب في متر على 100 سنتيمتر. يحذف السنتيمتران، ويتبقى لدينا 6.11 في 10 أس سالب اثنين متر. يمكننا بعد ذلك التعويض بهاتين القيمتين وقسمة 6.11 في 10 أس سالب اثنين متر على 1.08 متر، فيتبقى لدينا 5.657 في 10 أس سالب اثنين متر.

يمكننا بعد ذلك إيجاد الزاوية ‪𝜃‬‏ بحساب الدالة العكسية للظل للطرفين، وباستخدام الآلة الحاسبة، نجد أن الدالة العكسية للظل لـ 5.657 في 10 أس سالب اثنين متر تساوي 3.238 درجات تقريبًا. وبالطبع هذا العدد ليس له نهاية، ولذا لا تقربه حتى تصل إلى الإجابة النهائية.

بعد أن علمنا قيمتي ‪𝜃‬‏ و‪𝜆‬‏، يمكننا إيجاد قيمة ‪𝑑‬‏ باستخدام علاقة الجيب. وذلك لأنه في المثلث القائم الزاوية، ‪sin 𝜃‬‏ يساوي طول الضلع المقابل للزاوية ‪𝜃‬‏ على طول الوتر. الضلع المقابل للزاوية ‪𝜃‬‏ هو ‪𝜆‬‏، والوتر هو ‪𝑑‬‏. بالتعويض بهاتين القيمتين، نحصل على ‪sin 𝜃‬‏ يساوي ‪𝜆‬‏ على ‪𝑑‬‏. نريد إيجاد قيمة ‪𝑑‬‏ وحدها. إذن، لنضرب الطرفين في ‪𝑑‬‏ لكي نحذفها من مقام الطرف الأيمن. هذا يعطينا ‪𝑑sin 𝜃‬‏ يساوي ‪𝜆‬‏. إذن، لجعل ‪𝑑‬‏ في طرف بمفرده، نقسم الطرفين على ‪sin 𝜃‬‏. هذا يلغي ‪sin 𝜃‬‏ من الطرف الأيسر، ليتبقى ‪𝑑‬‏ يساوي ‪𝜆‬‏ على ‪sin 𝜃‬‏. ‏‪𝜆‬‏ يساوي 6.36 نانومترات. وقد أوجدنا قيمة ‪𝜃‬‏ بالفعل، وهي 3.238 درجات.

ولأننا نريد الإجابة بالصيغة العلمية، فمن الأفضل أن نكتب قيمة ‪𝜆‬‏ بالصيغة العلمية أيضًا. النانومتر يساوي 10 أس سالب تسعة متر، ما يعني أنه يساوي 636 في 10 أس سالب تسعة متر، أو 6.36 في 10 أس سالب سبعة متر بالصيغة العلمية. باستخدام الآلة الحاسبة، هذا العدد مقسومًا على sin 3.238 درجات بالصيغة العلمية، لأقرب منزلتين عشريتين، يساوي 1.12 في 10 أس سالب خمسة متر. هذه هي المسافة بين الشقين.