نسخة الفيديو النصية
النسبة ﺱ إلى أربعة تساوي أربعة إلى ﺹ، ولذا فإن أربعة هو الوسط الهندسي بين ﺱ وﺹ. أوجد الوسط الهندسي لـ ﺱ زائد واحد على ﺹ، وﺹ زائد واحد على ﺱ.
دعونا نبدأ باسترجاع تعريف الوسط الهندسي. الوسط الهندسي لأي عددين ﺃ وﺏ، اللذين يجب أن تكون لهما الإشارة نفسها، يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃﺏ. لا يمكن إيجاد الوسط الهندسي إلا لعددين لهما الإشارة نفسها؛ لأنه إذا كان لهذين العددين إشارتان مختلفتان، فإن حاصل ضربهما سيكون سالبًا. والجذر التربيعي لأي عدد سالب يعطينا عددًا غير حقيقي. توضح المسألة أن أربعة هو الوسط الهندسي لـ ﺱ وﺹ، ومن ثم نستنتج أن الجذر التربيعي لحاصل الضرب ﺱﺹ يساوي أربعة. دعونا نفكر في هذه النسبة قليلًا. نحن نعلم أن النسبة ﺱ إلى أربعة تساوي النسبة أربعة إلى ﺹ.
وبما أن هاتين النسبتين متساويتان، فإذا قسمنا القيمة التي على يمين كل نسبة على القيمة الموجودة على يسارها، فسنحصل على الناتج نفسه. وبذلك، يصبح لدينا المعادلة ﺱ على أربعة يساوي أربعة على ﺹ. بضرب طرفي هذه المعادلة في المقامين أربعة وﺹ، نحصل على ﺱﺹ يساوي أربعة تربيع. بحساب الجذر التربيعي الموجب لكلا الطرفين، يصبح لدينا الجذر التربيعي لـ ﺱﺹ يساوي أربعة. وبذلك، نستنتج أن أربعة هو بالفعل الوسط الهندسي لـ ﺱ وﺹ.
حسنًا، مطلوب منا إيجاد الوسط الهندسي لقيمتين أخريين، وهما ﺱ زائد واحد على ﺹ وﺹ زائد واحد على ﺱ. وإذا كان لهاتين القيمتين الإشارة نفسها، فسيكون وسطهما الهندسي يساوي الجذر التربيعي لحاصل ضربهما. أي إنه سيساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد واحد على ﺹ مضروبًا في ﺹ زائد واحد على ﺱ. يمكننا استنتاج أن هاتين القيمتين لهما الإشارة نفسها؛ لأن ﺱ وﺹ لهما الإشارة نفسها. وإذا كان كل من ﺱ وﺹ موجبًا، فهذا يعني أن كل حد يتضمنه هذا التعبير موجب. أي إننا سنضرب قيمة موجبة في قيمة موجبة أخرى. أما إذا كان كل من ﺱ وﺹ سالبًا، فسيكون كل من واحد على ﺹ وواحد على ﺱ سالبًا أيضًا. بمعنى آخر، سيكون كل حد في هذا التعبير سالبًا، وعليه فإننا سنضرب قيمتين سالبتين معًا.
دعونا نر الآن كيف يمكننا التعامل مع هذا التعبير، وسنبدأ بتوزيع الأقواس. باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني، يصبح لدينا ﺱﺹ زائد ﺱ مضروبًا في واحد على ﺱ زائد واحد على ﺹ مضروبًا في ﺹ زائد واحد على ﺱ مضروبًا في واحد على ﺹ. ويمكن تبسيط جميع الحدود الوسطى في هذا المفكوك إلى واحد. واحد على ﺱ مضروبًا في واحد على ﺹ يساوي واحدًا على ﺱﺹ. إذن، يصبح لدينا ﺱﺹ زائد واحد زائد واحد زائد واحد على ﺱﺹ، وهو ما يبسط إلى ﺱﺹ زائد اثنين زائد واحد على ﺱﺹ. وعليه، فإن الوسط الهندسي لهذين التعبيرين يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱﺹ زائد اثنين زائد واحد على ﺱﺹ.
حسنًا، نحن نعرف أن الوسط الهندسي لـ ﺱ وﺹ، أي الجذر التربيعي لـ ﺱﺹ، يساوي أربعة. إذن، بتربيع طرفي هذه المعادلة، نجد أن ﺱﺹ يساوي ١٦. ويمكننا الآن التعويض بهذه القيمة عن ﺱﺹ في حدي التعبير الدال على الوسط الهندسي، ما يجعلنا نحصل على الجذر التربيعي لـ ١٦ زائد اثنين زائد واحد على ١٦. وهذا يساوي الجذر التربيعي لـ ١٨ زائد واحد على ١٦؛ أي الجذر التربيعي لـ ١٨٫٠٦٢٥. ويمكننا استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة ذلك، وهذا يساوي ٤٫٢٥.
إذن، لقد تمكنا من توضيح أنه إذا كان الوسط الهندسي لـ ﺱ وﺹ يساوي أربعة، فإن الوسط الهندسي لـ ﺱ زائد واحد على ﺹ وﺹ زائد واحد على ﺱ يساوي ٤٫٢٥.
