فيديو السؤال: استخدام متطابقات مجموع زاويتين والفرق بينهما لإيجاد قيمة مقادير مثلثية تتضمن زوايا خاصة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة جا ‏𝜋‏ على ثلاثة في جتا ‏𝜋‏ على ثلاثة زائد جتا ‏𝜋‏ على ثلاثة في جا ‏𝜋‏ على ثلاثة.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا أولًا إيجاد قيمة جا ‏𝜋‏ على ثلاثة وجتا ‏𝜋‏ على ثلاثة. بعد ذلك، سنعوض بهاتين القيمتين في المقدار الأصلي. جدير بالذكر أنه يمكن تبسيط المقدار الأصلي إلى الصورة اثنين في جا ‏𝜋‏ على ثلاثة في جتا ‏𝜋‏ على ثلاثة. تذكر أن ‏𝜋‏ على ثلاثة يساوي ٦٠ درجة. وتذكر أيضًا أن الزاوية ٦٠ درجة في الوضع القياسي تقع في الربع الأول؛ حيث يكون كل من الإحداثي ﺱ والإحداثي ﺹ موجبين. ومن ثم، فإن جميع الدوال المثلثية تكون موجبة في الربع الأول؛ جا ٦٠ درجة و جتا ٦٠ درجة.

سنطبق الآن ما نعرفه عن المثلثات القائمة الزاوية الخاصة المكونة من زوايا قياساتها ٣٠ و ٦٠ و ٩٠ درجة لإيجاد قيمة جا ٦٠ درجة و جتا ٦٠ درجة. تذكر أن طول وتر المثلث القائم الزاوية المكون من زوايا قياساتها ٣٠ و ٦٠ و ٩٠ درجة يساوي ضعف طول الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ٣٠ درجة. سنسمي هذين الضلعين اثنين ﺃ وﺃ. طول الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ٦٠ درجة يساوي الجذر التربيعي لثلاثة في طول الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ٣٠ درجة. لذا، سنسمي هذا الضلع ﺃ في الجذر التربيعي لثلاثة. نرسم الآن المثلث المكون من زوايا قياساتها ٣٠ و ٦٠ و ٩٠ درجة باعتباره مثلثًا مرجعيًّا على المستوى الإحداثي؛ حيث طول الوتر هو طول الضلع النهائي للزاوية التي قياسها ٦٠ درجة في الوضع القياسي.

لعلنا نتذكر أن تعريف جيب الزاوية على المستوى الإحداثي هو ﺹ على ﺭ، وتعريف جيب تمام الزاوية على المستوى الإحداثي هو ﺱ على ﺭ؛ حيث ﺭ هو المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة ﺱ، ﺹ. ويمثل ﺭ أيضًا طول وتر المثلث المرجعي. وإذا فرضنا أن قيمة ﺭ تساوي واحدًا، فإن تعريف جيب الزاوية يختزل إلى القيمة ﺹ، ويختزل تعريف جيب تمام الزاوية إلى القيمة ﺱ. ولإيجاد قيمتي ﺱ وﺹ، نعود إلى العلاقات التي تربط بين أطوال أضلاع أي مثلث مكون من زوايا قياساتها ٣٠ و ٦٠ و ٩٠ درجة. في هذه الحالة، طول الوتر اثنين ﺃ يساوي واحدًا. ومن ثم، بقسمة طرفي المعادلة على اثنين، نجد أن ﺃ يساوي نصفًا. وبما أن لدينا الآن قيمة ﺃ، يمكننا إيجاد قيمتي ﺱ وﺹ.

بالتعويض بقيمة ﺃ، نجد أن ﺱ يساوي نصفًا وﺹ يساوي نصفًا في الجذر التربيعي لثلاثة، وهو ما يبسط إلى الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين. إذن، جا ٦٠ درجة يساوي الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين و جتا ٦٠ درجة يساوي نصفًا. وكما هو متوقع، فإن كلًّا من جا ٦٠ درجة و جتا ٦٠ درجة، أو ‏𝜋‏ على ثلاثة، لهما قيمتان موجبتان. وللانتهاء من الإجابة عن السؤال، نعوض بالقيمتين الموجبتين اللتين أوجدناهما لجيب الزاوية ولجيب تمام الزاوية في المقدار الأصلي. الناتج يساوي الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين في نصف زائد نصف في الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين، أو اثنين في حاصل ضرب الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين في نصف.

وباتباع ترتيب العمليات الحسابية، نبدأ بالضرب أولًا. الجذر التربيعي لثلاثة على أربعة زائد الجذر التربيعي لثلاثة على أربعة يساوي اثنين في الجذر التربيعي لثلاثة على أربعة، بتبسيط ذلك، نحصل على الناتج النهائي: الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين. إذن، قيمة جا ‏𝜋‏ على ثلاثة في جتا ‏𝜋‏ على ثلاثة زائد جتا ‏𝜋‏ على ثلاثة في جا ‏𝜋‏ على ثلاثة؛ تساوي الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين.