فيديو الدرس: حساب الحركة الموجية الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتحدث عن حساب الحركة الموجية. وبالتحديد، سوف نتعلم كيف نستخدم خصائص الموجات لإيجاد سرعتها. وفي الوقت ذاته، إذا كنا نعلم سرعة الموجة بالفعل، فيمكننا التفكير بشكل عكسي وإيجاد بعض خصائص هذه الموجة.

أفضل طريقة نبدأ بها هي تذكير أنفسنا بتعريف الموجة. تعرف الموجة بأنها اضطراب ينقل الطاقة من نقطة إلى أخرى. فتعد الموجات الصوتية التي نولدها في أثناء الكلام أحد الأمثلة على الموجات؛ إذ إنها تنقل الطاقة من نقطة إلى أخرى. وإذا كنا نمسك بطرف حر لحبل ما، وحركنا هذا الطرف لأعلى ولأسفل بسرعة، فنحن نحدث بذلك اضطرابًا في الوسط المتمثل في الحبل. وننقل الطاقة عبر الحبل إلى الجانب الأيمن. توجد بالطبع أمثلة أخرى، مثل أمواج المياه المنجرفة على الشاطئ من المحيط التي رأيناها في بداية الفيديو؛ فهذه الأمواج تنقل الطاقة في هذا الاتجاه.

ويمكن توليد موجة يحدث فيها هذا الاضطراب لفترة وجيزة للغاية. فمثلًا، عندما نفكر في إمساك الطرف الحر لهذا الحبل، إذا حركنا يدنا لأعلى ولأسفل بسرعة مرة واحدة، فسنحدث اضطرابًا واحدًا عبر الحبل. وبعد أن يصل هذا الاضطراب إلى نهاية الحبل، لن يتكرر. لكننا إذا استمررنا في هز الحبل لأعلى ولأسفل بدلًا من هزه مرة واحدة فقط، فسنحدث اضطرابًا في كل نقطة على امتداد هذا الحبل عند أي لحظة زمنية. إذن، سواء كانت لدينا موجة تبدو كهذه، أي تتكون من دورة موجية واحدة، أو موجة تتألف من دورات متعددة، ففي كلتا الحالتين يظل لدينا اضطراب ينقل الطاقة. أي تظل لدينا موجة.

وبذكر الدورات الموجية، نتذكر إحدى الخصائص المهمة والأساسية للموجات. نتناول الآن الفكرة التي تقوم عليها الدورات الموجية. لنفترض أننا نبدأ عند نقطة البداية هذه، ونتحرك على امتداد الموجة لبعض المسافة حتى نصل إلى هنا تحديدًا. نلاحظ أنه على امتداد هذه المسافة، تكمل الموجة دورة واحدة كاملة. بدأت الموجة حركتها أولًا بالارتفاع إلى أعلى والوصول إلى قيمة عظمى، ثم الهبوط إلى القيمة الأصلية، واستمرت في الانخفاض حتى وصلت إلى قيمة أقل ثم ارتفعت مرة أخرى حتى وصلت إلى نقطة بدايتها.

بقولنا نقطة البداية، لا نقصد نقطة البداية نفسها في الفراغ. بل نقصد نقطة البداية نفسها عندما أحدثت الموجة اضطرابًا. وإذا عدنا إلى نقطة بداية للموجة، أي هنا، نجد أن الموجة كانت تتحرك إلى أعلى. والنقطة التالية على امتداد الموجة، التي تتحرك عندها الموجة بالطريقة نفسها بالضبط، هي هذه النقطة هنا. وهذا ما نقصده بقولنا إن الموجة تكمل دورات موجية. هذه دورة واحدة من الموجة. والمسافة في الفراغ بين هاتين النقطتين تسمى الطول الموجي. ونرمز عادة إلى الطول الموجي باستخدام الحرف اليوناني ‪𝜆‬‏.

و‪𝜆‬‏، أي الطول الموجي، هو مسافة تقاس عادة بالأمتار. يوضح لنا الطول الموجي المسافة التي تقطعها الموجة في الفراغ لتكمل دورة كاملة واحدة. لنكتب هذا التعريف ليساعدنا في الفهم أثناء الشرح. الطول الموجي هو المسافة التي تقطعها الموجة خلال دورة كاملة واحدة. بالنظر إلى الموجة التي لدينا هنا على الشاشة، نلاحظ أن الموجة تقطع في هذا الاتجاه طولًا موجيًا كاملًا واحدًا، ثم طولين موجيين، ثم ثلاثة، ثم أربعة، ثم خمسة أطوال. يمكننا تحديد نقاط الطول الموجي هذه على المنحنى بهذا الشكل. إذن قطعت هذه الموجة خمس دورات كاملة على امتداد هذه المسافة. وبذلك يمكننا القول إن هذه المسافة تساوي خمسة أمثال ‪𝜆‬‏، أي خمسة أمثال الطول الموجي.

وقد ذكرنا أن الطول الموجي هو مسافة. هذا يعني أننا إذا رسمنا محورين ووضعناهما على الموجة، فسيكونان بهذا الشكل. يوضح المحور الرأسي ارتفاع الموجة بوحدة المتر مثلًا، ويوضح المحور الأفقي المسافة التي قطعتها الموجة بالمتر أيضًا. وهذا هو شكل المنحنى المتوقع أن نراه إذا كنا نحاول إيجاد الطول الموجي.

وتوجد خاصية أخرى من خصائص الموجات لا تقل أهمية عن الطول الموجي. للتفكير في ماهية هذه الخاصية، دعونا نكتب الزمن بوحدة الثانية على المحور الأفقي بدلًا من استخدام المسافة بوحدة المتر. من الواضح أن هذا تغيير جذري. فنحن لا نحول المسافة من أمتار إلى كيلومترات أو سنتيمترات. بعبارة أخرى لا نغير مسافة إلى مسافة. وإنما نغير نوع المتغير المستخدم تغييرًا كليًا من مسافة إلى زمن.

وإليك ما يعنيه ذلك. عندما كان المحور الأفقي يمثل المسافة، عنى ذلك أنه يمكننا قول شيء كالتالي. عند هذه المسافة المعطاة من نقطة بداية الموجة، يكون ارتفاع الموجة فوق موضع اتزانها هو هذا الارتفاع الموضح هنا. وهذا مثال على ما يمكننا إيجاده إذا كانت المسافة ممثلة على المحور الأفقي. لكن بما أن الزمن بالثانية هو الممثل على هذا المحور، فإليك ما يعنيه ذلك. نصف الفترة الزمنية التي تلي حركة الموجة إلى الأمام، والكلمة المنمقة لوصف هذه الحركة هي انتشار الموجة. بعد أن انتشرت الموجة خلال هذه الفترة الزمنية التي يمكن تسميتها ‪𝛥𝑡‬‏، يمكننا — بناء على وضع الموجة — إيجاد ارتفاعها عند نقطة معينة في الزمن بدلًا من إيجادها عند نقطة معينة في الفراغ.

وحقيقة أن الموجة تتغير بمرور الزمن، أي إن ارتفاع الموجة يتغير بتغير قيم الزمن، توضح لنا أن الموجة تتحرك. فهي ليست ساكنة. ولكن بمرور الزمن، تنتشر الموجة. فهي تتحرك إلى الأمام. وبالرغم من أننا قد غيرنا المسافة والأمتار إلى الزمن والثواني على المحور الأفقي، فإن مبدأ الدورات الموجية الذي استخدمناه قبل قليل ما زال ينطبق على هذا المنحنى. فما زالت الموجة تتحرك لدورة واحدة كاملة. لنفترض، على سبيل المثال، أننا بدأنا الحركة من نقطة الأصل، ثم انتقلنا إلى هنا. وبالمثل، إذا بدأنا من هنا وتتبعنا الموجة إلى هنا، فهذا يمثل دورة واحدة كاملة أيضًا.

فنظل نرى دورات موجية. لكن بدلًا من ملاحظة المسافة التي تفصل بين هذه الدورات، نلاحظ الفترة الزمنية المستغرقة لإكمال كل دورة من الدورات الموجية. بعبارة أخرى، الفرق بين هذه النقطة هنا وهذه النقطة هنا على الموجة في الاتجاه الأفقي لم يعد يمثل مسافة في الفراغ، وإنما يشير إلى ما يمكننا تسميته «مسافة» في الزمن. وهي مقدار من الزمن، أي فترة زمنية معينة. إنها الفترة الزمنية التي تستغرقها الموجة حتى تقطع دورة كاملة واحدة.

عند الحديث عن الموجات بوجه عام، نجد أنها تمثل أمرًا نهتم بمعرفته. فنريد معرفة عدد الدورات التي تقطعها موجة ما في كل وحدة زمنية، ولتكن ثانية. هذا يأخذنا إلى الخاصية المهمة الثانية من خصائص الموجات، وهي تردد الموجة. يعرف تردد الموجة بأنه عدد الدورات التي تكملها الموجة في الثانية الواحدة.

بالعودة إلى الموجة الموضحة على هذين المحورين، إذا كانت هذه الفترة الزمنية تساوي ثانية واحدة بالضبط، فنلاحظ أن الموجة تقطع دورة كاملة خلال ثانية واحدة. وهذا يعني أن تردد هذه الموجة هو دورة واحدة لكل ثانية. ويمكننا كتابة ذلك بالطريقة التالية. إن تردد الموجة، الذي نرمز إليه عادة بحرف ‪𝑓‬‏ صغير، يساوي دورة واحدة مقسومة على ثانية واحدة من الزمن. وهو ما يعني أن هذه الموجة تكمل دورة واحدة كل ثانية.

ويمكن كتابة هذه النسبة بين الوحدات، أي عدد الدورات لكل عدد من الثواني، بطريقة أخرى. تعرف الدورة لكل ثانية باسم هرتز نسبة إلى عالم الفيزياء الألماني هاينريش هرتز. ويرمز إلى الهرتز اختصارًا بالحرفين ‪Hz‬‏. إذن، يمكننا القول إن تردد هذه الموجة تحديدًا يساوي واحد هرتز؛ لأنها تقطع دورة واحدة كاملة في الثانية الواحدة. ولقد ذكرنا أن هذه الموجة تتحرك؛ لأنها تتغير بمرور الزمن. وهذا يثير تساؤلًا. ما السرعة التي تتحرك بها هذه الموجة؟ أي ما سرعة هذه الموجة؟

يبدو أنه يمكننا الجمع بين هاتين الخاصيتين للموجات، الطول الموجي وتردد الموجة، للإجابة عن هذا السؤال. يمكننا بدء التفكير في الإجابة بالطريقة التالية. إذا رمزنا إلى سرعة الموجة بالحرف ‪𝑠‬‏، فستكون وحدات هذه السرعة هي مترًا لكل ثانية بوحدات النظام الدولي للوحدات. بالنظر إلى هذه الوحدات، إذا فكرنا في المتر، فسنجد أنه الوحدة نفسها المستخدمة مع الطول الموجي. فالطول الموجي مسافة تقاس عادة بالمتر. وإذا فكرنا في واحد مقسومًا على الثانية، وهو ما يمكننا تسميته أيضًا مقلوب الثانية، فإنه يشبه وحدة تردد الموجة، وهو عدد الدورات لكل ثانية.

بالنظر إذن إلى وحدات سرعة الموجة، يمكننا إدراك كيف يمكننا الجمع بين الطول الموجي وتردد الموجة لإيجاد سرعة الموجة. إليكم كيفية فعل ذلك. إذا ضربنا تردد الموجة في طولها الموجي ‪𝜆‬‏، فسيماثل ذلك ضرب عدد دورات الموجة التي تمر عبر نقطة خلال فترة زمنية معينة في المسافة التي قطعتها الموجة خلال عدد الدورات. وعند ضرب هاتين القيمتين معًا، يحذف عددا الدورات أحدهما الآخر، وتتبقى لدينا المسافة، ولتكن بالمتر، مقسومة على الزمن بالثواني. وكما لاحظنا، تقاس سرعة الموجة بنفس هاتين الوحدتين. وبهذا يتضح أن سرعة الموجة تساوي حاصل ضرب التردد في الطول الموجي.

وعند الحديث عن سرعة الموجة ‪𝑠‬‏، نقصد السرعة التي يتحرك بها هذا الاضطراب على طول محور الزمن. فمثلًا، بعد مرور بعض الوقت، ستكمل الموجة هذه الدورة الأخرى. وسيمثل ذلك الموجة وهي تقطع طولًا موجيًا آخر خلال هذه الفترة الزمنية. إذن، تتحرك الموجة بالفعل، ويحدد سرعة هذه الحركة حاصل ضرب التردد في الطول الموجي. لنتوقف لحظات هنا لنتدرب على هذه الأفكار من خلال مثال تدريبي.

ما تردد الموجة الموضحة في التمثيل البياني؟

نرى هنا تمثيلًا بيانيًا لإزاحة مقيسة بالأمتار مقابل الزمن بالثواني. ونلاحظ أن هذه الإزاحة تتبع نمطًا شبيهًا بالموجة. فهي تتحرك إلى أعلى ثم إلى أسفل ثم إلى أعلى مجددًا وصولًا إلى الإزاحة الأصلية. وعند هذه النقطة، تبدأ الدورة مرة أخرى، وتبدأ الموجة في الحركة إلى أعلى ثم إلى أسفل، ثم ترتفع إلى أعلى مرة أخرى وصولًا إلى إزاحتها الأصلية. استنادًا إلى هذه المعلومات، نريد إيجاد تردد هذه الموجة.

لمعرفة ذلك، يمكننا أن نتذكر تعريف التردد، وهو عدد الدورات التي تكملها الموجة في فترة زمنية قدرها ثانية واحدة. وبالنظر إلى الشكل، نجد أنه توجد عدة طرق مختلفة يمكن استخدامها لإيجاد تردد الموجة. إحدى هذه الطرق تتضمن إيجاد الفترة الزمنية التي تستغرقها الموجة لإكمال دورة واحدة، وهي تساوي ‪0.5‬‏ ثانية كما يتضح من الشكل، ثم حساب التردد بناء على ذلك.

لكن ثمة طريقة أخرى تتمثل في عد الدورات الموجية المنقضية خلال فترة زمنية قدرها ثانية واحدة. ونجد أن ذلك يساوي دورتين موجيتين كاملتين. فلدينا هنا في أقصى يمين المحور الأفقي، فترة زمنية منقضية قدرها ثانية واحدة. إذن، تقطع هذه الموجة دورتين موجيتين كاملتين في الثانية الواحدة. بعبارة أخرى، تتحرك حركتين كاملتين، تبدأ كل منهما بالتحرك إلى أعلى ثم إلى أسفل تحت نقطة البداية الأصلية ثم العودة إلى نقطة الإزاحة الأصلية. هذا يمثل دورة موجية واحدة.

وبمعرفة أن الموجة تكمل دورتين كل ثانية، يمكننا تذكر أن الوحدة «دورة لكل ثانية» يمكن كتابتها بطريقة أخرى. فدورة لكل ثانية تساوي ما يسمى هرتز، ويرمز إليه اختصارًا بالحرفين ‪Hz‬‏. إذن، تردد هذه الموجة، الذي سنسميه ‪𝑓‬‏، يساوي دورتين لكل ثانية أو اثنين هرتز. وهذا هو تردد الموجة الموضحة في التمثيل البياني.

لنتناول الآن مسألة أخرى تتضمن هذه الموجة نفسها.

يوضح التمثيل البياني الآتي موجة. كم يساوي طولها الموجي إذا كانت سرعتها ‪360‬‏ مترًا لكل ثانية؟

بالنظر إلى هذا التمثيل البياني، نجد إزاحة الموجة مقابل الزمن بالثواني. ونعلم من المعطيات أن السرعة الإجمالية لهذه الموجة في الاتجاه الأفقي تساوي ‪360‬‏ مترًا لكل ثانية. على أساس ذلك، وإلى جانب المعلومات التي نعرفها من التمثيل البياني، نريد أن نحسب الطول الموجي.

توجد علاقة تربط بين الطول الموجي وسرعة الموجة، وتتضمن متغيرًا ثالثًا، وهو تردد الموجة. تنص هذه العلاقة على أن سرعة الموجة ‪𝑠‬‏ تساوي تردد الموجة ‪𝑓‬‏ مضروبًا في الطول الموجي ‪𝜆‬‏. لكننا في هذه المسألة لا نريد إيجاد سرعة الموجة، بل الطول الموجي. إذن، فلنعد ترتيب هذه المعادلة من خلال قسمة كلا طرفيها على تردد الموجة.

عندما نفعل ذلك، نجد أن حدي التردد في الطرف الأيمن من المعادلة يلغي أحدهما الآخر، ونرى أن الطول الموجي للموجة يساوي سرعة الموجة مقسومة على ترددها. وبما أننا نعرف سرعة الموجة من المعطيات، نريد إيجاد تردد الموجة لنحسب الطول الموجي في النهاية. لنلق نظرة أخرى على التمثيل البياني مع التفكير في تردد الموجة. نبدأ من نقطة الأصل، حيث إزاحة الموجة تساوي صفرًا، والزمن يساوي صفرًا. نتتبع بعد ذلك مسار هذه الموجة على امتداد دورة واحدة كاملة لها، فنجد أن قيمة الزمن تساوي ‪0.5‬‏ ثانية.

نتذكر هنا أن تردد الموجة يساوي عدد الدورات التي تقطعها الموجة خلال زمن قدره ثانية واحدة. إذن، فيما يخص هذه الموجة تحديدًا، فإن ترددها يساوي دورة واحدة في زمن قدره ‪0.5‬‏ ثانية؛ لأن الموجة تقطع دورة واحدة خلال هذا الزمن. تذكر أننا أوجدنا قيمة التردد من خلال تتبع دورة واحدة كاملة من الموجة ومعرفة الزمن الذي تستغرقه لإتمام هذه الدورة.

إذا قسمنا واحدًا على ‪0.5‬‏، فسنحصل على اثنين. وبالتالي، يمكننا كتابة تردد الموجة في صورة دورتين من الموجة لكل ثانية. نتذكر بعد ذلك أن الهرتز يساوي دورة واحدة لكل ثانية. ومن ثم، بكتابة تردد الموجة بهذه الوحدة، يصبح لدينا موجتان لكل ثانية، وهو ما يساوي اثنين هرتز. وعليه، هذه هي القيمة التي سنعوض بها عن ‪𝑓‬‏ في المعادلة لإيجاد الطول الموجي ‪𝜆‬‏.

الطول الموجي لهذه الموجة يساوي سرعة الموجة، وهي ‪360‬‏ مترًا لكل ثانية، مقسومة على ترددها، وهو اثنين هرتز. لاحظ أنه إذا استخدمنا بدلًا من وحدة الهرتز وحدة مقلوب الثانية، التي تكافئ الهرتز، فإن وحدتي مقلوب الثانية في البسط والمقام ستلغي إحداهما الأخرى. ويتبقى لدينا في النهاية وحدة المتر فقط، وهي وحدة قياس المسافة، وهذا جيد لأننا نحسب الطول الموجي. وعندما نحسب قيمة هذا الكسر، نجد أنه يساوي ‪180‬‏ مترًا. هذا هو الطول الموجي للموجة.

لنلخص الآن ما تعلمناه عن حساب الحركة الموجية في هذا الدرس. في البداية عرفنا أن الموجة تعرف بأنها اضطراب ينقل الطاقة من نقطة إلى أخرى. وعرفنا أن الموجات تتميز بخاصيتين أساسيتين، هما الطول الموجي وتردد الموجة. الطول الموجي هو المسافة التي تقطعها الموجة خلال دورة واحدة كاملة. وتردد الموجة هو عدد الدورات التي تكملها الموجة في الثانية الواحدة. وأخيرًا، عرفنا أن سرعة الموجة، التي يرمز لها بالحرف ‪𝑠‬‏، تساوي تردد الموجة ‪𝑓‬‏ مضروبًا في الطول الموجي ‪𝜆‬‏.