فيديو السؤال: إيجاد إحداثيات مركز كتلة شكل مركب مرسوم على شبكة بيانية الرياضيات

يوضح الرسم البياني شكلًا مستويًا منتظمًا. إذا كانت الشبكة البيانية تتكون من مربعات وحدة، فأوجد إحداثيات مركز كتلة الشكل.

٠٥:٥٢

‏نسخة الفيديو النصية

يوضح الرسم البياني شكلًا مستويًا منتظمًا. إذا كانت الشبكة البيانية تتكون من مربعات وحدة، فأوجد إحداثيات مركز كتلة الشكل.

نبدأ بملاحظة أن الشكل على الشبكة يتكون من مستطيل ونصف دائرة، كما هو موضح. ومطلوب منا إيجاد مركز كتلة الشكل. إحدى طرق القيام بذلك هي إيجاد مركز كتلة كل من المستطيل ونصف الدائرة أولًا. وبما أن الشبكة تتكون من مربعات وحدة، نبدأ بإيجاد إحداثيات أركان المستطيل الأربعة. إحداثيات الرءوس أو الأركان الأربعة هي اثنان، اثنان؛ واثنان، أربعة؛ وسبعة، اثنان؛ وسبعة، أربعة.

نحن نعلم أن مركز كتلة المستطيل يكون في منتصف ما يوازي عرضه ومنتصف ما يوازي ارتفاعه. الإحداثي ﺱ هو متوسط قيم ﺱ الأربع، والإحداثي ﺹ هو متوسط قيم ﺹ الأربع. إذن، الإحداثي ﺱ يساوي اثنين زائد اثنين زائد سبعة زائد سبعة الكل مقسوم على أربعة. وبما أن عرض المستطيل يوازي المحور ﺱ، فإن هذا يساوي اثنين زائد سبعة مقسومًا على اثنين. علينا إيجاد متوسط اثنين وسبعة، وهو يساوي ٤٫٥.

يمكننا تكرار هذه العملية لإيجاد الإحداثي ﺹ. وهذه المرة، علينا إيجاد متوسط اثنين وأربعة. وهو يساوي ثلاثة. إذن، يقع مركز كتلة المستطيل عند النقطة التي إحداثياتها ٤٫٥، ثلاثة. عند التعامل مع نصف دائرة، يكون إيجاد مركز الكتلة أكثر تعقيدًا. مركز كتلة نصف الدائرة المرسومة يساوي المسافة نق من الوحدات من الركن السفلي الأيسر، حيث نق هو نصف قطر الدائرة. ويقع مركز الكتلة على البعد العمودي ﻉ من قاعدة نصف الدائرة كما هو موضح، حيث ﻉ يساوي أربعة نق على ثلاثة ‏𝜋‏‎.

في هذا السؤال، نلاحظ أن نصف قطر نصف الدائرة يساوي وحدتين. وبما أن إحداثيات الرأس السفلي لنصف الدائرة هي سبعة، واحد، يمكننا حساب الإحداثي ﺹ لمركز كتلة نصف الدائرة بإضافة اثنين إلى واحد. وهذا يساوي ثلاثة. قيمة ﻉ تساوي أربعة مضروبًا في اثنين مقسومًا على ثلاثة ‏𝜋‏‎؛ لأن نصف القطر يساوي اثنين. ويمكن تبسيط ذلك إلى ثمانية على ثلاثة ‏𝜋‏‎. إذن الإحداثي ﺱ لمركز كتلة نصف الدائرة يساوي سبعة زائد ثمانية على ثلاثة ‏𝜋‏‎. أصبح لدينا الآن مركزا كتلتي المستطيل ونصف الدائرة. بعد ذلك، علينا أن نتذكر كيف نوجد مركز كتلة شكل مركب أو صفيحة.

إذا كان لدينا شكلان مساحتاهما ﻡ واحد وﻡ اثنان، فإن الإحداثي ﺱ لمركز كتلة كل منهما هو ﻡ واحد ﺱ واحد زائد ﻡ اثنين ﺱ اثنين الكل مقسوم على ﻡ واحد زائد ﻡ اثنين، حيث ﺱ واحد وﺱ اثنان هما الإحداثيان ﺱ لمركز كتلة كل من الشكلين. وبالطريقة نفسها، الإحداثي ﺹ لمركز الكتلة يساوي ﻡ واحد ﺹ واحد زائد ﻡ اثنين ﺹ اثنين مقسومًا على ﻡ واحد زائد ﻡ اثنين، حيث ﺹ واحد وﺹ اثنان هما الإحداثيان ﺹ لمركز كتلة كل من الشكلين.

لقد حسبنا بالفعل قيمتي ﺱ واحد وﺹ واحد، كما حسبنا أيضًا قيمتي ﺱ اثنين وﺹ اثنين. مساحة المستطيل ﻡ واحد تساوي خمس وحدات مضروبة في وحدتين. وهذا يساوي ١٠ وحدات مربعة.

يمكننا حساب مساحة أي نصف دائرة باستخدام الصيغة ‏𝜋‏‎نق تربيع مقسومًا على اثنين. وفي هذا السؤال، نحن نعلم أن نصف قطر نصف الدائرة يساوي وحدتين. إذن مساحة نصف الدائرة تساوي اثنين ‏𝜋‏‎ وحدة مربعة. وهذه هي قيمة ﻡ اثنين. يمكننا الآن التعويض بالقيم لدينا لإيجاد مركز كتلة الشكل.

الإحداثي ﺱ يساوي ١٠ مضروبًا في ٤٫٥ زائد اثنين ‏𝜋‏‎ مضروبًا في سبعة زائد ثمانية على ثلاثة ‏𝜋‏‎ الكل مقسوم على ١٠ زائد اثنين ‏𝜋‏‎. عند فك الأقواس بالتوزيع في البسط، نحصل على ٤٥ زائد ١٤‏𝜋‏‎ زائد ١٦ على ثلاثة، وهو ما يساوي ١٥١ على ثلاثة زائد ١٤‏𝜋‏‎. يمكننا حذف الكسر من البسط بضرب كل من الحدود الأربعة في ثلاثة. وهذا يعطينا ١٥١ زائد ٤٢‏𝜋‏‎ على ٣٠ زائد ستة ‏𝜋‏‎. ومن ثم، فإن الإحداثي ﺱ لمركز الكتلة يساوي ٤٢‏𝜋‏‎ زائد ١٥١ مقسومًا على ستة ‏𝜋‏‎ زائد ٣٠.

يمكننا إيجاد الإحداثي ﺹ باستخدام الطريقة نفسها. وهو يساوي ١٠ مضروبًا في ثلاثة زائد اثنين ‏𝜋‏‎ مضروبًا في ثلاثة الكل مقسوم على ١٠ زائد اثنين ‏𝜋‏‎. وعلى الرغم من أنه يمكننا ضرب ١٠ في ثلاثة وأيضًا ضرب اثنين ‏𝜋‏‎ في ثلاثة، فإننا نلاحظ أن الحدين في البسط بينهما عامل مشترك وهو ثلاثة. بإخراج هذا العامل المشترك، نحصل على ثلاثة مضروبًا في ١٠ زائد اثنين ‏𝜋‏‎ الكل مقسوم على ١٠ زائد اثنين ‏𝜋‏‎. وبحذف ١٠ زائد اثنين ‏𝜋‏‎ من كل من البسط والمقام، نحصل على ثلاثة. إذن الإحداثي ﺹ لمركز كتلة الشكل هو ثلاثة.

تجدر الإشارة هنا إلى أن قيمة ﺹ واحد تساوي قيمة ﺹ اثنين. فالإحداثيان ﺹ لمركز كتلة كل من المستطيل ونصف الدائرة كلاهما يساوي ثلاثة. يعني هذا أن مركز كتلة الشكل بالكامل يساوي ثلاثة أيضًا. وعليه، يمكننا استنتاج أن إحداثيات مركز كتلة الشكل هي ٤٢‏𝜋‏‎ زائد ١٥١ على ستة ‏𝜋‏‎ زائد ٣٠، ثلاثة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.