فيديو السؤال: تقدير المساحات تحت منحنى التوزيع الطبيعي الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في التوزيع الطبيعي الموضح، ما النسبة المئوية التقريبية لنقاط البيانات التي تقع في الجزء المظلل؟

لدينا هذا التمثيل البياني الذي يوضح شكل منحنى الجرس للتوزيع الطبيعي. يكون المنحنى متماثلًا بالنسبة لمتوسط التوزيع الطبيعي 𝜇. ومنحنى الجرس هذا مفيد؛ لأن احتمال أن يكون ظهور ناتج معين من هذا التوزيع الطبيعي، واقع في فترة معينة، هو المساحة أسفل المنحنى أعلى هذه الفترة.

لنفرض أننا نريد إيجاد احتمال وقوع ﺱ بين ﺃ وﺏ؛ كل ما سنفعله هو أن نحدد ﺃ وﺏ على محور ﺱ. والاحتمال الذي نريد إيجاده يكون هو المساحة تحت المنحنى بين هاتين النقطتين: ﺃ وﺏ. لذا، فإن النسبة المئوية التي نريد إيجادها هي احتمال وقوع ﺱ بين 𝜇 ناقص 𝜎 و𝜇.

بعبارة أخرى، هذا هو احتمال وجود ناتج من التوزيع الطبيعي أقل من المتوسط، لكنه أقل منه بدرجة أقل من انحراف معياري واحد. ويتضح أنه إذا وزع ﺱ توزيعًا طبيعيًا، فإن احتمال وقوع ﺱ بين 𝜇 ناقص 𝜎 و𝜇 هو ٣٤ بالمائة تقريبًا. وهذا صحيح بالنسبة لأي توزيع طبيعي، أيًا كانت قيمة المتوسط والانحراف المعياري.

ولكي أكون واضحًا تمامًا، أذكرك بأن 𝜇 يعني المتوسط و𝜎 يعني الانحراف المعياري. هذه النسبة المئوية وغيرها من النسب ذات الصلة من المفيد جدًا تذكرها. هذا لأنها تخبرنا عمومًا بالانتشار المتوقع للبيانات الموزعة توزيعًا طبيعيًا. وهناك حقيقة ذات صلة تنص على أن نحو ٦٨ بالمائة من أي بيانات موزعة توزيعًا طبيعيًا ستقع ضمن انحراف معياري واحد من المتوسط.

وإذا تذكرت هذه النسبة، يمكنك إيجاد النسبة المئوية المطلوبة في هذه المسألة بسهولة بأخذ تماثل التوزيع الطبيعي في الاعتبار وبالتالي القسمة على اثنين. وسواء تذكرت القيمة ٣٤ بالمائة أو تذكرت ٦٨ بالمائة ثم قسمتها على اثنين، فستحصل على الإجابة نفسها، وهي أن ٣٤ بالمائة تقريبًا من نقاط البيانات تقع في المنطقة المظللة.