فيديو الدرس: مجال ومدى الدالة الكسرية الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نجد مجال الدالة الكسرية ومداها من تمثيلها البياني أو قاعدة تعريفها.

٢٣:٢٥

‏نسخة الفيديو النصية

مجال الدالة الكسرية ومداها

في هذا الفيديو، سوف نتعرف عدة طرق مختلفة لتساعدنا على إيجاد مجال الدالة الكسرية ومداها. وسوف نتحدث عن قاعدة التعريف لإيجاد مجال دالة كسرية. كما سنتحدث عن إيجاد مدى دالة كسرية إما باستخدام الرسم وإما بالطرق الجبرية.

قبل أن نبدأ في هذا، دعونا نتذكر المقصود بمجال الدالة ومداها. لنبدأ بمجال الدالة ﺩ(ﺱ). مجال ﺩ(ﺱ) هو مجموعة القيم المدخلة للدالة. إذن، إحدى طرق التفكير في المجال هو أنه قيمة ﺱ المسموح بإدخالها في الدالة. على سبيل المثال، إذا كانت الدالة ﺩ(ﺱ) هي الدالة الخطية اثنان ﺱ زائد واحد، فيمكننا القول إن قيم ﺱ المدخلة يمكن أن تكون أي قيمة حقيقية لـ ﺱ. وتذكر أنه يمكننا كتابة ذلك على صورة رمز مجموعة ﺱ ينتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية ﺡ.

إذن، سيكون مجال هذه الدالة ﺩ(ﺱ) هو جميع الأعداد الحقيقية. ويمكننا أيضًا اختيار مجموعة أصغر إذا أردنا ذلك. على سبيل المثال، يمكننا أن نقول إن القيم المدخلة لا بد أن تكون أعدادًا صحيحة فقط. وسنكتب هذا على صورة ﺱ ينتمي لمجموعة الأعداد الصحيحة ﺹ. هذا مجرد مثال واحد ممكن. ولكن، ماذا لو كنا نبحث عن مجال الدالة ﺩ(ﺱ) يساوي واحدًا على ﺱ؟

سنرى الآن شيئًا مثيرًا للاهتمام. لن يمكننا ببساطة إدخال أي قيمة حقيقية لـ ﺱ كما فعلنا المرة السابقة. على سبيل المثال، إذا كان لدينا ﺱ يساوي صفرًا، فسيكون لدينا ﺩ صفر يساوي واحدًا مقسومًا على صفر. لكن، يمكننا إدخال أي قيمة حقيقية أخرى لـ ﺱ. إذن المجال الوحيد الممكن لمقلوب الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية حيث نحذف ﺱ يساوي صفرًا. ونكتب ذلك على صورة ﺡ ناقص المجموعة المكونة من صفر فقط. وفي الحقيقة، إذا أردنا تضمين أكبر قدر ممكن من الأعداد الحقيقية في المجال لدينا، فستكون هذه أكبر مجموعة ممكنة لأنه لا يمكننا تضمين الصفر.

والآن، لننتقل إلى مدى الدالة. إحدى طرق التفكير في تحديد مدى الدالة هي أنه مجموعة من جميع القيم المخرجة الممكنة للدالة. لكن هذا بالطبع سيتغير حسب القيم المدخلة في الدالة. بعبارة أخرى، سيعتمد المدى على مجال الدالة.

على سبيل المثال، لنعد إلى الدالة الخطية ﺩ(ﺱ) يساوي اثنين ﺱ زائد واحد، ونفترض أن المجال ﺱ هو أي عدد حقيقي. ومن ثم، يمكننا رسم تمثيل بياني لـ ﺹ يساوي ﺩ(ﺱ). وبذلك نحصل على الخط المستقيم ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد واحد. ونريد إيجاد مدى الدالة من خلال هذا التمثيل البياني. تذكر أن مدى الدالة هو مجموعة من جميع القيم المخرجة الممكنة للدالة. والقيم المخرجة للدالة هي إحداثيات ﺹ على المنحنى.

إذا اخترنا أي قيمة لـ ﺹ، ففي هذه الحالة ستوجد قيمة لـ ﺱ حيث ﺩ(ﺱ) تساوي ﺹ. من المهم أن تتذكر أن مدى الدالة سيعتمد على مجال الدالة. على سبيل المثال، بالنسبة إلى الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي اثنين ﺱ زائد واحد، إذا حددنا مجال الدالة ليكون أعدادًا صحيحة، فستكون القيم المدخلة المسموح بها في الدالة هي الأعداد الصحيحة فقط. اثنان مضروبًا في عدد صحيح زائد واحد سيساوي عددًا صحيحًا أيضًا، ولذا، لن تكون القيم المخرجة إلا أعدادًا صحيحة. ولكن، عادة عندما نريد إيجاد مجال الدالة ومداها، فإننا نريد تضمين أكبر قدر ممكن من القيم الحقيقية.

آخر ما يتعين علينا فعله قبل الحديث عن مدى الدالة الكسرية ومجالها هو أن نتذكر ما نعنيه بالدالة الكسرية. نقول إذا كانت الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي الدالة ﻡ(ﺱ) مقسومة على ﻥ(ﺱ)؛ حيث ﻡ(ﺱ) وﻥ(ﺱ) كثيرتا حدود، أي إنها النسبة بين كثيرتي حدود، إذن، سنطلق على الدالة ﺩ(ﺱ) دالة كسرية. عندما نتحدث عن مجال الدالة الكسرية ومداها، فإننا سنقصد دائمًا المجال والمدى ضمن الأعداد الحقيقية.

لإيجاد مجال الدالة الكسرية، علينا إيجاد أكبر عدد من قيم ﺱ ضمن الأعداد الحقيقية التي تكون الدالة معرفة عندها. وينطبق الأمر نفسه على المدى. بمعلومية أكبر عدد ممكن من القيم المدخلة في الدالة الكسرية، سيكون علينا إيجاد أكبر عدد ممكن من القيم المخرجة للدالة. لنلق نظرة الآن على بعض الأمثلة.

أوجد مجال الدالة ﺩ(ﺱ) يساوي ﺱ زائد واحد مقسومًا على ﺱ ناقص واحد.

يطلب منا السؤال إيجاد مجال الدالة ﺩ(ﺱ). ونلاحظ أن ﺩ(ﺱ) هي النسبة بين كثيرتي حدود. إذن، ﺩ(ﺱ) دالة كسرية. تذكر أن مجال الدالة هو مجموعة القيم المدخلة الممكنة لهذه الدالة. هيا إذن نلق نظرة على الدالة ﺩ(ﺱ).

حسنًا، ﺩ(ﺱ) هي النسبة بين كثيرتي حدود. فهي تساوي ﺱ زائد واحد الكل مقسوم على ﺱ ناقص واحد. لنبدأ بالنظر إلى البسط. البسط هو ﺱ زائد واحد. حسنًا، نعلم أنه يمكننا إضافة واحد إلى أي عدد حقيقي. ولن يؤثر هذا على مجال الدالة. لننظر الآن إلى مقام الدالة. وهو ﺱ ناقص واحد. حسنًا، يمكننا طرح واحد من أي عدد حقيقي. إذا أدخلنا قيمة ﺱ، فسنحصل على النسبة بين عددين.

لكن علينا الانتباه هنا. تذكر أنه لا يمكننا القسمة على صفر. لأن القسمة على صفر غير معرفة. بعبارة أخرى، إذا عوضنا عن ﺱ في المقام بصفر، فلن تكون الدالة معرفة. إذن، نحل لإيجاد القيم التي تجعل المقام يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، نريد معرفة قيم ﺱ التي تجعل ﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا. نلاحظ أن هذا سيحدث عند ﺱ يساوي واحدًا. إذن، الحالة الوحيدة التي ستكون فيها الدالة ﺩ(ﺱ) غير معرفة هي عندما يكون ﺱ يساوي واحدًا. ويمكننا أن نرى ذلك. إذا أدخلنا القيمة ﺱ يساوي واحدًا في الدالة ﺩ(ﺱ)، فسنحصل على واحد زائد واحد مقسومًا على واحد ناقص واحد، وهو ما يساوي اثنين على صفر، وهي بالطبع غير معرفة. لكن، إذا أدخلنا أي قيمة أخرى لـ ﺱ، فستكون الدالة معرفة. وستعطينا النسبة بين عددين حيث المقام لا يساوي صفرًا.

إذن، في هذا المثال، أوضحنا أن مجال الدالة ﺩ(ﺱ) يساوي ﺱ زائد واحد مقسومًا على ﺱ ناقص واحد، هو جميع الأعداد الحقيقية فيما عدا عند ﺱ يساوي واحدًا.

لكن دعونا نفكر فيما ذكرناه عن الدالة ﺩ(ﺱ). في هذه الحالة، تمكنا من إيجاد مجال الدالة الكسرية من خلال النظر فقط إلى القيم التي تجعل المقام يساوي صفرًا. لكننا إذا فكرنا في الأمر، فسنجد أنه ينطبق على أي دالة كسرية.

إذا كانت الدالة ﺩ(ﺱ) هي الدالة الكسرية ﻡ(ﺱ) مقسومة على ﻥ(ﺱ)، حيث ﻡ وﻥ كثيرتا حدود، فإننا نعلم أن كثيرتي الحدود ﻡ وﻥ معرفتان لكل القيم الحقيقية لـ ﺱ. ولذا، فإن الحالة الوحيدة التي لن تكون فيها الدالة ﺩ(ﺱ) معرفة هي عندما يكون المقام ﻥ(ﺱ) يساوي صفرًا. وسيعطينا هذا طريقة لإيجاد مجال أي دالة كسرية. كل ما علينا فعله هو إيجاد كل قيم ﺱ التي تجعل المقام يساوي صفرًا.

لنر مثالًا على استخدام ذلك لإيجاد مجال دالة كسرية.

أوجد مجال الدالة ﺩ(ﺱ) يساوي ﺱ ناقص اثنين مقسومًا على ﺱ تربيع ناقص أربعة.

يطلب منا هذا السؤال إيجاد مجال الدالة ﺩ(ﺱ). نلاحظ أن ﺩ(ﺱ) تساوي النسبة بين كثيرتي حدود. وهذا يعني أن الدالة ﺩ(ﺱ) دالة كسرية. نعلم أن مجال الدالة هو المجموعة التي تضم كل القيم المدخلة الممكنة لهذه الدالة. وبالإضافة إلى ذلك، لدينا طريقة لإيجاد مجال أي دالة كسرية. نعلم أنه إذا كانت ﺩ(ﺱ) دالة كسرية، كثيرة الحدود ﻡ(ﺱ) مقسومة على كثيرة الحدود ﻥ(ﺱ)، فإن ﺩ ستكون غير معرفة عندما يكون المقام ﻥ(ﺱ) يساوي صفرًا. في هذه الحالة، كثيرة الحدود في المقام هي ﺱ تربيع ناقص أربعة. علينا إذن إيجاد قيم ﺱ التي تجعل المقام يساوي صفرًا. علينا إيجاد قيمة ﺱ تربيع ناقص أربعة يساوي صفرًا.

أسهل طريقة لفعل ذلك هي ملاحظة أن ﺱ تربيع قيمة مربعة، وأربعة عدد مربع، إذن هذا فرق بين مربعين. تذكر، يمكننا تحليل ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع إلى ﺃ ناقص ﺏ في ﺃ زائد ﺏ. إذن يمكننا تحليل ﺱ تربيع ناقص أربعة إلى ﺱ ناقص اثنين في ﺱ زائد اثنين. إذن لدينا الآن حاصل ضرب عاملين يساوي صفرًا. هذا يعني أن أحد العاملين لا بد أن يساوي صفرًا. بمساواة كلا العاملين بصفر، نحصل على ﺱ يساوي اثنين أو ﺱ يساوي سالب اثنين. تذكر أنه نظرًا لأن الدالة ﺩ(ﺱ) دالة كسرية، فإن الحالة الوحيدة التي تكون فيها الدالة معرفة هي عندما يساوي المقام صفرًا. بعبارة أخرى، وضحنا أن مجال ﺩ(ﺱ) هو جميع الأعداد الحقيقية فيما عدا عند ﺱ يساوي سالب اثنين أو اثنين.

ثمة شيء آخر جدير بالذكر في هذا المثال. قلنا إن اثنين لا يقع ضمن مجال الدالة. إذن، دعونا نر القيمة التي سنحصل عليها عند ﺩ اثنين. إذا عوضنا بـ ﺱ يساوي اثنين في الدالة ﺩ(ﺱ)، فسنحصل على اثنين ناقص اثنين مقسومًا على اثنين تربيع ناقص أربعة، وهو ما يمكن تبسيطه ليصبح صفرًا مقسومًا على صفر. تذكر أن هذا الناتج غير محدد أيضًا.

لنتناول الآن مثالًا آخر على إيجاد مجال دالة كسرية.

أوجد مجال الدالة ﺩ(ﺱ) يساوي ثلاثة مقسومًا على ﺱ ناقص ثلاثة زائد واحد مقسومًا على ﺱ زائد أربعة.

يطلب منا السؤال إيجاد مجال الدالة ﺩ(ﺱ). ولعلنا نتذكر أن مجال الدالة هو مجموعة القيم المدخلة الممكنة للدالة. وفي هذا السؤال، نلاحظ أن الدالة ﺩ(ﺱ) معرفة بأنها مجموع دالتين. في الحقيقة، إنها مجموع دالتين كسريتين. تذكر أننا نسمي الدالة كسرية إذا كانت عبارة عن النسبة بين كثيرتي حدود. ومن أمثلة كثيرات الحدود الدوال الخطية والدوال الثابتة. إذن علينا إيجاد مجموعة القيم المدخلة الممكنة للدالة، والتي هي عبارة عن مجموع دالتين كسريتين.

دعونا نبدأ بتذكر ما نعرفه عن مجال كل دالة كسرية لدينا على حدة. أولًا، نتذكر أن أي دالة كسرية تكون معرفة عند جميع القيم فيما عدا القيم التي تجعل المقام صفرًا. وهذا لأنه يمكننا التعويض عن ﺱ بأي قيمة، وسنحصل على عدد حقيقي مقسومًا على عدد حقيقي آخر. لكن لا يمكننا القسمة على صفر أبدًا. حينها، سيكون الناتج دائمًا غير معرف.

إذن، دعونا ننظر إلى كل حد من حدود الدالة ﺩ(ﺱ) على حدة. لنبدأ بثلاثة مقسومًا على ﺱ ناقص ثلاثة. نلاحظ أن هذه دالة كسرية. وستكون معرفة عند جميع القيم فيما عدا القيم التي تجعل المقام يساوي صفرًا. ونحن نعرف أن مقامها لن يساوي صفرًا إلا إذا كان ﺱ يساوي ثلاثة. يمكننا أن نفعل الشيء نفسه تمامًا مع الحد الثاني، واحد مقسومًا على ﺱ زائد أربعة. وهذه دالة كسرية أيضًا، ولذا فهي معرفة عند جميع القيم فيما عدا القيم التي تجعل المقام يساوي صفرًا، وفي هذا السؤال، سيساوي المقام صفرًا عند ﺱ يساوي سالب أربعة.

لنفكر في معنى ذلك بالنسبة إلى الدالة ﺩ(ﺱ). على سبيل المثال، إذا عوضنا بـ ﺱ يساوي ثلاثة في الدالة ﺩ(ﺱ)، فسنحصل على ﺩ ثلاثة يساوي ثلاثة مقسومًا على ثلاثة ناقص ثلاثة زائد واحد مقسومًا على ثلاثة زائد أربعة. وعند تبسيط هذا، سيصبح الناتج ثلاثة على صفر زائد واحد على سبعة. بالطبع، ثلاثة على صفر غير معرف. فلا يمكننا القسمة على صفر. وبالطبع ينطبق الأمر نفسه على ﺱ يساوي سالب أربعة. بما أننا ذكرنا بالفعل أن واحدًا على ﺱ زائد أربعة غير معرف عند ﺱ يساوي سالب أربعة.

جميع القيم المدخلة الأخرى لـ ﺱ ستعطينا مجموع عددين حقيقيين. وبهذا نكون قد أوضحنا أن مجال الدالة ﺩ(ﺱ) يساوي ثلاثة مقسومًا على ﺱ ناقص ثلاثة زائد واحد مقسومًا على ﺱ زائد أربعة، هو جميع الأعداد الحقيقية فيما عدا عند ﺱ يساوي سالب أربعة وعند ﺱ يساوي ثلاثة.

هيا ننتقل الآن إلى مثال لإيجاد مجال الدالة الكسرية ومداها.

أوجد مجال ومدى الدالة ﺩ(ﺱ) يساوي واحدًا على ﺱ ناقص خمسة.

يطلب منا السؤال تحديد مجال الدالة ﺩ(ﺱ) ومداها. يمكننا ملاحظة أن الدالة ﺩ(ﺱ) دالة كسرية. فهي عبارة عن النسبة بين كثيرتي حدود. ونلاحظ أيضًا أن لدينا تمثيلًا بيانيًا للدالة ﺩ(ﺱ). لنبدأ بإيجاد مجال هذه الدالة باستخدام التمثيل البياني. في البداية، تذكر أن المجال هو كل القيم المدخلة للدالة.

لإيجاد جميع القيم المدخلة الممكنة للدالة ﺩ(ﺱ)، دعونا نلق نظرة على قيم ﺱ التي يمكن أن تقبلها الدالة. نريد إيجاد قيم ﺱ التي تجعل الدالة غير معرفة. نلاحظ، على سبيل المثال، أنه عند ﺱ يساوي ستة، ستكون القيمة المخرجة للدالة هي واحدًا. إذن، يمكننا ملاحظة أن ستة ينتمي إلى مجال الدالة ﺩ(ﺱ). في الواقع، توجد قيمة واحدة فقط تجعل الدالة ﺩ(ﺱ) غير معرفة.

إذا رسمنا الخط الرأسي ﺱ يساوي خمسة، فسنجد أن الدالة ﺩ(ﺱ) لا تتقاطع مع هذا الخط. هذا يعني أن الدالة غير معرفة عند ﺱ يساوي خمسة. وكل خط رأسي آخر سيتقاطع مع الدالة، ومن ثم هذه هي النقطة الوحيدة التي تكون عندها الدالة غير معرفة. وبذلك نكون قد أوضحنا أن الدالة ﺩ(ﺱ) معرفة عند جميع القيم ما عدا عند ﺱ يساوي خمسة. بعبارة أخرى، مجال الدالة ﺩ(ﺱ) هو الأعداد الحقيقية ناقص النقطة التي يكون عندها ﺱ يساوي خمسة.

علينا الآن إيجاد مدى الدالة. تذكر أن مدى الدالة هو مجموعة القيم المخرجة الممكنة للدالة. يمكننا القيام بخطوات مشابهة جدًا للتحقق مما إذا كانت القيمة تقع في مدى الدالة أم لا. على سبيل المثال، للتحقق مما إذا كان سالب واحد يقع في مدى الدالة، نرسم خطًا أفقيًا من سالب واحد إلى المنحنى، ثم نرى قيمة ﺱ التي تعطينا هذه القيمة المخرجة. نلاحظ من التمثيل البياني أنه عند ﺱ يساوي أربعة، فإن القيمة المخرجة للدالة هي سالب واحد. إذن، سالب واحد يقع في مدى الدالة. نلاحظ أن جميع الخطوط الأفقية ستتقاطع مع الدالة ما عدا عند ﺹ يساوي صفرًا. فالخط المستقيم ﺹ يساوي صفرًا لا يتقاطع مع المنحنى. بعبارة أخرى، لا توجد قيمة لـ ﺱ تجعل القيمة المخرجة صفرًا.

إذن، بالنسبة إلى الدالة ﺩ(ﺱ)، توجد قيمة لـ ﺱ تكون فيها القيم المخرجة جميع الأعداد ما عدا صفرًا. بعبارة أخرى، مدى ﺩ(ﺱ) هو الأعداد الحقيقية ناقص النقطة صفر. إذن، بالنظر إلى التمثيل البياني للدالة ﺩ(ﺱ) يساوي واحدًا مقسومًا على ﺱ ناقص خمسة، أوضحنا أن مجال هذه الدالة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا عند ﺱ يساوي خمسة، ومدى هذه الدالة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا صفرًا.

ينبهنا هذا المثال إلى أنه يمكننا إيجاد مجال الدالة الكسرية بإيجاد خطوط التقارب الرأسية، كما يمكننا إيجاد مدى الدالة بإيجاد خطوط التقارب الأفقية.

لنتعرف الآن على كيفية إيجاد مجال دالة كسرية ومداها مع عدم وجود تمثيل بياني للدالة.

أوجد مجال الدالة ﺩ(ﺱ) يساوي واحدًا على ﺱ ناقص اثنين ومداها.

يطلب منا السؤال إيجاد مجال ومدى الدالة ﺩ(ﺱ) هنا. ويمكننا أن نلاحظ أن الدالة ﺩ(ﺱ) دالة كسرية. فهي النسبة بين كثيرتي حدود. تذكر أن مجال الدالة هو المجموعة التي تتضمن جميع القيم المدخلة الممكنة لهذه الدالة، ومدى الدالة هو مجموعة القيم المخرجة الممكنة لهذه الدالة. علينا أيضًا أن نتذكر أن أي دالة كسرية ستكون دائمًا معرفة في جميع الحالات، إلا عندما يساوي مقامها صفرًا.

بالنسبة إلى الدالة الكسرية ﺩ(ﺱ)، لإيجاد قيم ﺱ التي تكون الدالة عندها غير معرفة، كل ما علينا فعله هو جعل المقام يساوي صفرًا. وسيعطينا هذا ﺱ ناقص اثنين يساوي صفرًا. ويمكننا حل ذلك. سيعطينا هذا ﺱ يساوي اثنين. وبذلك نكون قد أوضحنا أن الدالة ﺩ(ﺱ) معرفة عند جميع القيم فيما عدا عند ﺱ يساوي اثنين. بعبارة أخرى، مجال ﺩ(ﺱ) هو جميع الأعداد الحقيقية فيما عدا ﺱ يساوي اثنين.

لكن ما زال علينا إيجاد مدى الدالة. توجد عدة طرق مختلفة للقيام بذلك. سنفعل ذلك برسم تمثيل بياني للمنحنى. ولفعل ذلك، علينا القيام بالأمرين التاليين. أولًا، علينا معرفة أي من قيم ﺱ الموجبة والسالبة لا تقع ضمن مجال الدالة. وقيمة ﺱ الوحيدة التي لا تقع ضمن مجال الدالة هي اثنان. إذن، لنلق نظرة على الدالة ﺩ(ﺱ) بالقرب من ﺱ يساوي اثنين.

عندما تكون قيمة ﺱ أقل بقليل من اثنين، فسيكون المقام عددًا سالبًا صغيرًا للغاية. وهذا يعني أن القيم المخرجة ستكون كبيرة جدًا ولكنها سالبة. أي إنه كلما اقترب ﺱ من اثنين من جهة اليسار، تزيد قيم ﺱ في الاتجاه السالب أكثر فأكثر. يمكننا القول إن شيئًا مشابهًا سيحدث على يمين ﺱ يساوي اثنين. هذه المرة، المقام سيكون موجبًا. ولذا، عندما يقترب ﺱ من اثنين من جهة اليمين، فإن القيم المخرجة تصبح أكبر فأكبر.

الشيء التالي الذي علينا التأكد منه هو ما يحدث عندما تصبح قيم ﺱ أكبر فأكبر، وما سيحدث إذا زادت القيم في الاتجاه السالب أكثر فأكثر. مرة أخرى، لفعل ذلك، يمكننا النظر إلى الدالة ﺩ(ﺱ). عندما تكون قيمة ﺱ عددًا موجبًا كبيرًا، ستكون القيمة المخرجة واحدًا مقسومًا على عدد موجب كبير جدًا. إذن، ماذا سيحدث للمنحنى؟ حسنًا، كلما ازدادت قيمة ﺱ، اقتربت القيمة المخرجة من الصفر أكثر فأكثر. لكنها لن تصل أبدًا إلى الصفر، بل ستقترب أكثر وأكثر من المحور ﺱ فقط. والأمر نفسه ينطبق على سالب ﺱ. سنقسم على عدد سالب كبير جدًا، ومن ثم تقترب القيم المخرجة أكثر فأكثر من الصفر.

وهكذا تصبح قيمة الدالة أكبر فأكبر عندما يقترب ﺱ من اثنين من اليمين، وتزداد قيمها في الاتجاه السالب أكثر فأكثر عندما يقترب ﺱ من اثنين من اليسار. ولكن، بغض النظر عن قيمة ﺱ المدخلة، لا يمكن أن تكون القيمة المخرجة للدالة صفرًا. بل يمكننا فقط الاقتراب أكثر وأكثر من هذه القيمة المخرجة. إذن، مدى الدالة ﺩ(ﺱ) هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا الصفر. إذن، إذا كانت الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي واحدًا مقسومًا على ﺱ ناقص اثنين، فسيمكننا أن نوضح أن مجال هذه الدالة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ﺱ يساوي اثنين، ومدى هذه الدالة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا صفرًا.

لنلق الآن نظرة على النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. أوضحنا أنه لإيجاد مجال دالة كسرية، علينا إيجاد قيم ﺱ التي تجعل المقام يساوي صفرًا، أو علينا إيجاد قيم ﺱ التي تجعلنا نقسم على صفر. وتناولنا بعض الطرق المختلفة لحل كثيرة حدود تساوي صفرًا. على سبيل المثال، نعرف نظرية العوامل الخطية، والقانون العام، والفرق بين مربعين.

بعد ذلك، لإيجاد مدى دالة كسرية، علينا إيجاد كل القيم التي لا يمكن أن تكون قيمًا مخرجة للدالة. ورأينا كيف نفعل ذلك من خلال التمثيل البياني للمنحنى. لكن، إذا لم يكن لدينا تمثيل بياني، فيمكننا رسمه بأنفسنا. علينا الانتباه أيضًا إلى ما يحدث عند اقتراب ﺱ من القيم التي تكون عندها الدالة غير معرفة. وعلينا أيضًا التفكير فيما يحدث للقيم المخرجة كلما زادت القيم المدخلة. وسيكون علينا أيضًا معرفة ما يحدث للقيم المخرجة عندما تزيد قيم ﺱ في الاتجاه السالب أكثر فأكثر. وسيساعدنا كل هذا في إيجاد مدى الدالة الكسرية لدينا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.