فيديو: التقريب الخطي

في هذا الفيديو، سوف نستخدم المشتقات لإيجاد معادلة الخط المستقيم الذي يقرب الدالة من قيمة معينة، وسوف نستخدم الاشتقاق لتقريب التغير في الدالة.

١٦:١٥

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم المشتقات لإيجاد معادلة الخط المستقيم الذي يقرب الدالة من قيمة معينة. في هذه المرحلة، لا بد أنك أصبحت متمكنًا من إيجاد مشتقة الدالة واستخدامها. في هذا الدرس، سنبحث في كيفية استخدام خط المماس للدالة. وكيف يتيح لنا ذلك تقريب الدوال الأكثر تعقيدًا. وبعد ذلك سنلقي نظرة على عدد من الأمثلة على استخدام ذلك بمستويات مختلفة من الصعوبة ونفكر في التفسير الهندسي لها.

لدينا مماس المنحنى ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ تربيع عند النقطة بالإحداثيين الكارتيزيين: واحد، واحد. يمكننا ملاحظة أن المماس يقع بالقرب من المنحنى عند نقطة التماس، أي بالقرب من النقطة: واحد، واحد. إذا كبرنا المنحنى ومماسه عند نقطة التماس، فسنلاحظ وجود مسافة صغيرة على الجانبين تكون فيها قيم ‪𝑦‬‏ على امتداد المماس تقريبًا جيدًا لقيم ‪𝑦‬‏ على المنحنى. وكلما كبرنا المنحنى بالقرب من النقطة التي يكون عندها قابلًا للاشتقاق، بدا المنحنى أكثر استقامة وازداد شبهه بمماسه. يمكننا استخدام هذه الحقيقة لوضع صيغة يمكن استخدامها لإعطاء قيم تقريبية للدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏.

تذكر أن صيغة معادلة الخط المستقيم بالانحدار ‪𝑚‬‏ والذي يمر بالنقطة: ‪𝑥‬‏ واحد، ‪𝑦‬‏ واحد؛ هي ‪𝑦‬‏ ناقص ‪𝑦‬‏ واحد يساوي ‪𝑚‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑥‬‏ واحد. نعلم أيضًا أن مشتقة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، وهي ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏، تشير إلى انحدار المنحنى عند نقطة محددة. إذ تشير تحديدًا إلى انحدار خط مماس المنحنى عند هذه النقطة. يمكننا القول إذن إن خط مماس الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عند النقطة ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏؛ حيث الدالة ‪𝑓‬‏ قابلة للاشتقاق وتمر بالنقطة ‪𝑎‬‏، أي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏. والانحدار عند هذه النقطة يساوي ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑎‬‏.

نعوض بهذه القيم في صيغة معادلة الخط المستقيم، ونحصل على ‪𝑦‬‏ ناقص ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑎‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏. نضيف ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ إلى طرفي المعادلة. ونحصل على ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑎‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ لتكون معادلة خط المماس. لنصغ ذلك قليلًا. إذا كانت الدالة ‪𝑓‬‏ قابلة للاشتقاق عند ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏، فإن معادلة خط المماس ‪𝑙‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ هي: ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑎‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏. نسمي هذا التقريب الخطي للدالة عند ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏. دعونا نلق نظرة على تطبيق هذا التعريف.

أوجد التقريب الخطي للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑥‬‏ تكعيب ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ثلاثة عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب اثنين.

لدينا هنا دالة كثيرة الحدود، مطلوب منا إيجاد التقريب الخطي لها عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب اثنين. تذكر أنه إذا كانت الدالة ‪𝑓‬‏ قابلة للاشتقاق عند ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏، فإن معادلة خط المماس والمعادلة التي يمكن استخدامها لإيجاد التقريب الخطي للدالة عند ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ تعطى بالصيغة: ‪𝑙‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑎‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏. لنقسم ذلك إلى أجزاء.

في هذا المثال، نريد إيجاد التقريب الخطي عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب اثنين. إذن نجعل ‪𝑎‬‏ يساوي سالب اثنين. ثم نجعل ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ لسالب اثنين. يمكننا إيجاد قيمة ذلك بالتعويض بـ ‪𝑥‬‏ يساوي سالب اثنين في الدالة ‪𝑥‬‏ تكعيب ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ثلاثة. إذن، ‪𝑓‬‏ لسالب اثنين يساوي سالب اثنين تكعيب ناقص سالب اثنين تربيع زائد ثلاثة، ما يساوي سالب تسعة. بعد ذلك، نريد إيجاد قيمة ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑎‬‏.

نبدأ بإيجاد قيمة ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏، وهي مشتقة الدالة، ثم حساب ذلك عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب اثنين. المشتقة الأولى للدالة بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ هي ثلاثة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص اثنين ‪𝑥‬‏. يعني هذا أن قيمة المشتقة الأولى عند سالب اثنين تساوي ثلاثة في سالب اثنين تربيع ناقص اثنين في سالب اثنين، ما يساوي ‪16‬‏. ولكن ماذا عن هذا الجزء الأخير، ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏؟ ما المعلومات التي نعرفها هنا؟ نعلم أن ‪𝑎‬‏ يساوي سالب اثنين. ومن ثم يصبح هذا ‪𝑥‬‏ ناقص سالب اثنين، وهو ما يساوي ‪𝑥‬‏ زائد اثنين.

يمكننا التعويض عن كل جزء في المعادلة ‪𝑙‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. ونحصل على سالب تسعة زائد ‪16‬‏ في ‪𝑥‬‏ زائد اثنين. بفك المقدار بالتوزيع، نحصل على سالب تسعة زائد ‪16𝑥‬‏ زائد ‪32‬‏. ونبسط تبسيطًا كاملًا. وسنجد أن التقريب الخطي للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ تكعيب ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ثلاثة عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب اثنين هو ‪𝑙‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي ‪16𝑥‬‏ زائد ‪32‬‏. يوضح هذا مثالًا بسيطًا على كيفية إيجاد التقريب الخطي للدالة. ومن المهم أيضًا أن ندرك أنه يمكننا استخدام هذه العملية نفسها مع الدوال الأكثر تعقيدًا من خلال تطبيق قواعد الاشتقاق. دعونا نر كيف يبدو ذلك.

ما المقدار التقريبي لخط مماس المنحنى ‪𝑙‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ للجذر التربيعي لواحد ناقص ‪𝑥‬‏ بالقرب من ‪𝑥‬‏ يساوي صفرًا؟ تذكر أنه إذا كانت الدالة ‪𝑓‬‏ قابلة للاشتقاق عند ‪𝑎‬‏، فإن معادلة تقريب خط المماس ‪𝑙‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑎‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏. سنتناول المثال جزءًا بجزء. ولكن دعونا أولًا نوجد قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏. الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي الجذر التربيعي لواحد ناقص ‪𝑥‬‏. ونحن نوجد التقريب باستخدام خط المماس بالقرب من ‪𝑥‬‏ يساوي صفرًا. لذلك، سنجعل ‪𝑎‬‏ يساوي صفرًا. يعني هذا أن ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏، في المقدار لدينا، سيساوي ‪𝑓‬‏ لصفر. ويمكننا إيجاد قيمة ذلك بالتعويض عن ‪𝑥‬‏ بصفر في الدالة. وسنحصل على الجذر التربيعي لواحد ناقص صفر أو الجذر التربيعي لواحد، أي واحد.

الجزء التالي الذي يعنينا هو ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑎‬‏. و‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ هي مشتقة ‪𝑓‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. لذا علينا اشتقاق الجذر التربيعي لواحد ناقص ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. علينا هنا ملاحظة أن هذه دالة لدالة أو دالة مركبة. ويمكننا تطبيق قاعدة السلسلة. تنص القاعدة على أنه إذا كانت ‪𝑦‬‏ دالة في ‪𝑢‬‏، و‪𝑢‬‏ دالة في ‪𝑥‬‏؛ فإن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑢‬‏ في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏. إذا قلنا إن ‪𝑦‬‏ تساوي دالة الجذر التربيعي لواحد ناقص ‪𝑥‬‏؛ يمكننا جعل ‪𝑢‬‏ تساوي واحدًا ناقص ‪𝑥‬‏، وجعل ‪𝑦‬‏ تساوي الجذر التربيعي لـ ‪𝑢‬‏، وهو ما كتبته على الصورة ‪𝑢‬‏ أس نصف.

‏‏‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏، أي مشتقة واحد ناقص ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏، تساوي ببساطة سالب واحد. ومشتقة ‪𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑢‬‏ تساوي نصفًا في ‪𝑢‬‏ أس نصف ناقص واحد، وهو ما يساوي سالب نصف. إذن، مشتقة الجذر التربيعي لواحد ناقص ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ تساوي نصفًا في ‪𝑢‬‏ أس سالب نصف في سالب واحد. نعوض عن ‪𝑢‬‏ بواحد ناقص ‪𝑥‬‏، وسنلاحظ أن مشتقة الجذر التربيعي لواحد ناقص ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ تساوي سالب نصف في واحد ناقص ‪𝑥‬‏ أس سالب نصف. لاحظ أنه يمكننا هنا استخدام الصورة العامة لقاعدة القوى. وأن هذه ما هي إلا حالة خاصة من قاعدة السلسلة.

بما أننا نعلم الآن قيمة ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏، يمكننا إيجاد قيمة ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑎‬‏. هذا يساوي ‪𝑓‬‏ شرطة لصفر. إذن، نعوض بصفر في صيغة مشتقة الدالة. هذا يساوي نصفًا في واحد ناقص صفر أس سالب نصف، وهو ما يساوي سالب نصف. الجزء الأخير الذي يعنينا في التقريب باستخدام خط المماس هو ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏. وبما أن ‪𝑎‬‏ يساوي صفرًا، يصبح هذا ‪𝑥‬‏ ناقص صفر، أي ‪𝑥‬‏ فحسب.

نعوض بكل ذلك في الصيغة، وسنجد أن ‪𝑙‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا زائد سالب نصف في ‪𝑥‬‏. ويبسط هذا إلى واحد ناقص ‪𝑥‬‏ على اثنين. عرفنا حتى الآن كيف يمكن استخدام قاعدة السلسلة جنبًا إلى جنب مع صيغة التقريب باستخدام خط المماس. يمكننا كذلك استخدام التقريب باستخدام خط المماس عند التعامل مع الدوال المثلثية.

أوجد التقريب الخطي للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑥 sin 𝑥‬‏ عند ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين ‪𝜋‬‏.

تذكر أنه إذا كانت الدالة ‪𝑓‬‏ قابلة للاشتقاق عند ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏، فإن معادلة التقريب باستخدام خط المماس هي ‪𝑙‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑎‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏. في هذا المثال، يمكننا جعل ‪𝑎‬‏ يساوي اثنين ‪𝜋‬‏. علينا إيجاد قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ و‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑎‬‏. لنبدأ بـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏. في هذه الحالة، هذا يساوي ‪𝑓‬‏ لاثنين ‪𝜋‬‏. لذا نعوض بـ ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين ‪𝜋‬‏ في ‪𝑥 sin 𝑥‬‏. ونحصل على اثنين ‪𝜋‬‏ في ‪sin‬‏ اثنين ‪𝜋‬‏. ونعلم أن ‪sin‬‏ اثنين ‪𝜋‬‏ يساوي صفرًا. إذن، ‪𝑓‬‏ لاثنين ‪𝜋‬‏ يساوي اثنين ‪𝜋‬‏ في صفر، ما يساوي صفرًا.

الآن، يتطلب إيجاد ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑎‬‏ المزيد من الخطوات. سنوجد مشتقة الدالة. وهي مشتقة ‪𝑥 sin 𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏، مع ملاحظة أن لدينا دالة هي نفسها حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق. لذلك، نستخدم قاعدة حاصل الضرب. وتنص القاعدة على أنه في حالة الدالتين القابلتين للاشتقاق ‪𝑢‬‏ و‪𝑣‬‏، فإن مشتقة حاصل ضربهما تساوي ‪𝑢‬‏ في ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏ زائد ‪𝑣‬‏ في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏. فيما يتعلق بالدالة التي لدينا، نجعل ‪𝑢‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ و‪𝑣‬‏ يساوي ‪sin 𝑥‬‏.

علينا اشتقاق كلتيهما بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. و‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي واحدًا. ونتذكر هنا أن مشتقة ‪sin 𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ هي ‪cos 𝑥‬‏. ونعوض بذلك في صيغة قاعدة حاصل الضرب. وسنجد أن مشتقة ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑥‬‏ في ‪cos 𝑥‬‏ زائد ‪sin 𝑥‬‏ في واحد. هذا يساوي ‪𝑥 cos 𝑥‬‏ زائد ‪sin 𝑥‬‏. لإيجاد قيمة ‪𝑓‬‏ شرطة لاثنين ‪𝜋‬‏، سنوجد قيمة ذلك عند ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين ‪𝜋‬‏. هذا يعطينا اثنين ‪𝜋‬‏ في ‪cos‬‏ اثنين ‪𝜋‬‏ زائد ‪sin‬‏ اثنين ‪𝜋‬‏. ذكرنا بالفعل أن ‪sin‬‏ اثنين ‪𝜋‬‏ يساوي صفرًا. و‪cos‬‏ اثنين ‪𝜋‬‏ يساوي واحدًا. إذن، ‪𝑓‬‏ شرطة لاثنين ‪𝜋‬‏ يساوي اثنين ‪𝜋‬‏ في واحد زائد صفر، وهو ما يساوي ببساطة اثنين ‪𝜋‬‏.

لنعوض بكل ما لدينا في صيغة التقريب باستخدام خط المماس. ‏‏‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ يساوي صفرًا. ‏‏‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑎‬‏ يساوي اثنين ‪𝜋‬‏. و‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين ‪𝜋‬‏. نفك القوس. ونجد أن التقريب الخطي للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑥 sin 𝑥‬‏ عند ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين ‪𝜋‬‏ هو اثنان ‪𝜋𝑥‬‏ ناقص أربعة ‪𝜋‬‏ تربيع. في المثالين التاليين، سنلقي نظرة على كيفية استخدام التقريب الخطي للدالة لتقريب القيم.

بإيجاد التقريب الخطي للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ أس أربعة عند قيمة مناسبة لـ ‪𝑥‬‏، أوجد قيمة ‪1.999‬‏ أس أربعة.

مطلوب منا في المسألة استخدام التقريب الخطي للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ أس أربعة. لذا نبدأ بإيجاد التقريب الخطي المسمى أحيانًا التقريب باستخدام خط المماس. ينص ذلك على أنه إذا كانت الدالة ‪𝑓‬‏ قابلة للاشتقاق عند النقطة ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏، فإن المعادلة التي يمكن استخدامها لإيجاد التقريب الخطي للدالة عند ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ هي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑎‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏. في هذا المثال، سنحاول تقريب القيمة ‪1.999‬‏ أس أربعة. سيكون ذلك قريبًا للغاية من القيمة اثنين أس أربعة.

إذن في التقريب الخطي، سنجعل ‪𝑎‬‏ يساوي اثنين. يعني هذا أن ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ ستصبح ‪𝑓‬‏ لاثنين. ونعوض بـ ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين في الدالة لنحصل على اثنين أس أربعة، وهو ما يساوي ‪16‬‏. بعد ذلك، نوجد قيمة ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑎‬‏. أولًا، بالطبع، علينا إيجاد مقدار مشتقة ‪𝑥‬‏ أس أربعة. لذا نبدأ باشتقاق ‪𝑥‬‏ أس أربعة بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. ونحصل على أربعة ‪𝑥‬‏ تكعيب. يعني هذا أن ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑎‬‏ يصبح ‪𝑓‬‏ شرطة لاثنين، وهو ما يساوي أربعة في اثنين تكعيب. واثنان تكعيب يساوي ثمانية. إذن، هذا يساوي أربعة في ثمانية، وهو ما يعطينا ‪32‬‏.

نعوض بكل ما لدينا في صيغة التقريب باستخدام خط المماس. ونحصل على ‪𝑙‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي ‪16‬‏ زائد ‪32‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين. وعند فك القوس، نجد أن ‪𝑙‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑥32‬‏ ناقص ‪48‬‏. يمكننا استخدام ذلك لتقريب القيمة ‪1.999‬‏ أس أربعة. علينا التعويض بـ ‪𝑥‬‏ يساوي ‪1.999‬‏. وعند فعل ذلك، نحصل على ‪32‬‏ في ‪1.999‬‏ ناقص ‪48‬‏، وهو ما يساوي ‪15.968‬‏. إذن، تقدير قيمة ‪1.999‬‏ أس أربعة هو ‪15.968‬‏. إذا حسبنا ‪1.999‬‏ أس أربعة على الآلة الحاسبة، فسنحصل على ‪15.96802399‬‏ وهكذا مع توالي الأرقام. نلاحظ أن هذا تقدير جيد جدًا. وذلك لأن القيمة ‪1.999‬‏ قريبة جدًا من اثنين. لنفترض أننا استخدمنا ذلك لإيجاد قيمة ‪2.3‬‏ أس أربعة مثلًا. في تلك الحالة، كنا سنحصل على قيمة أكبر بعض الشيء.

بإيجاد التقريب الخطي للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ عند قيمة مناسبة لـ ‪𝑥‬‏، احسب قيمة ‪𝑒‬‏ أس ‪0.1‬‏.

مطلوب منا في المسألة استخدام التقريب الخطي للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏. لنتذكر الصيغة معًا. إذا كانت الدالة ‪𝑓‬‏ قابلة للاشتقاق عند ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏، فإن المعادلة التي يمكن استخدامها لإيجاد التقريب الخطي للدالة عند ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ هي ‪𝑙‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑎‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏. في هذا المثال، نريد تقريب قيمة ‪𝑒‬‏ أس ‪0.1‬‏. يقترب ذلك جدًا من قيمة ‪𝑒‬‏ أس صفر. إذن نجعل ‪𝑎‬‏ يساوي صفرًا. يعني هذا أن الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ تساوي ‪𝑓‬‏ لصفر. التعويض بصفر في الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ يعطينا ‪𝑒‬‏ أس صفر، وهو ما يساوي واحدًا.

بعد ذلك، نوجد قيمة ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑎‬‏. بالطبع، علينا أولًا إيجاد مقدار لمشتقة الدالة. لذا نشتق ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. المشتقة الأولى لـ ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ هي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏. إذن، ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑎‬‏ تصبح ‪𝑓‬‏ شرطة لصفر، وهو ما يساوي ‪𝑒‬‏ أس صفر. وهذا يساوي واحدًا أيضًا. نعوض بما نعرفه في صيغة التقريب باستخدام خط المماس، ونلاحظ أن ‪𝑙‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا زائد واحد في ‪𝑥‬‏ ناقص صفر. يبسط ذلك إلى ‪𝑥‬‏ زائد واحد.

سنستخدم ذلك لتقريب قيمة ‪𝑒‬‏ أس ‪0.1‬‏ بإيجاد قيمة ‪𝑙‬‏ لـ ‪0.1‬‏. هذا يساوي ‪0.1‬‏ زائد واحد، أي ‪1.1‬‏. وتقدير قيمة ‪𝑒‬‏ أس ‪0.1‬‏ هو ‪1.1‬‏. إذا حسبنا ذلك على الآلة الحاسبة، فإن ‪𝑒‬‏ أس ‪0.1‬‏ يساوي ‪1.10517‬‏ وهكذا مع توالي الأرقام. تقترب هذه القيمة جدًا من قيمة التقدير الذي توصلنا إليه. وذلك لأن القيمة ‪0.1‬‏ قريبة إلى حد كبير من صفر. لو جربنا القيمة الأكبر، فقد لا يكون العدد دقيقًا. لنتأكد من هذا.

على سبيل المثال، ‪𝑙‬‏ لـ ‪0.3‬‏ يساوي ‪0.3‬‏ زائد واحد. إذن وفقًا للتقريب، ‪𝑒‬‏ أس ‪0.3‬‏ يساوي ‪1.3‬‏ تقريبًا. بحساب ‪𝑒‬‏ أس ‪0.3‬‏ على الآلة الحاسبة، نحصل على ‪1.349858808‬‏، وهذا تقريب جيد ولكنه ليس بدقة ‪𝑒‬‏ أس ‪0.1‬‏. في هذا الفيديو، تعلمنا أنه يمكننا استخدام المشتقات لإيجاد التقريب باستخدام خط المماس الذي يمكننا استخدامه لتقريب دالة من قيمة معينة. إذا كانت الدالة ‪𝑓‬‏ قابلة للاشتقاق عند ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏، فإن المعادلة التي يمكن استخدامها لإيجاد التقريب الخطي للدالة عند هذه النقطة هي ‪𝑙‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑎‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏. رأينا أيضًا أنه كلما اقتربت قيمة ‪𝑥‬‏ من قيمة ‪𝑎‬‏، كان التقريب أكثر دقة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.