فيديو السؤال: إيجاد قيمة التعبيرات التي تتضمن جذورًا تكعيبية للعدد واحد الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

ما قيم ثمانية زائد 𝜔 على ثمانية 𝜔 تربيع زائد واحد ناقص 𝜔 تربيع الممكنة؛ حيث 𝜔 جذر تكعيبي بدائي للعدد واحد.

دعونا نتذكر أولًا أن الجذر التكعيبي للعدد واحد هو العدد 𝜔؛ حيث 𝜔 تكعيب يساوي واحدًا. علاوة على ذلك، يشترط أن يكون الجذر بدائيًّا، ما يعني في هذه الحالة أن 𝜔 لا يمكن أن يساوي واحدًا. في الواقع، نحن نعلم بوضوح أن القيمتين الممكنتين لـ 𝜔 هما سالب نصف زائد الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين ﺕ أو سالب نصف ناقص الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين ﺕ. دعونا نرمز إلى هاتين القيمتين بـ 𝜔 واحد و𝜔 اثنين.

إحدى الطرق الممكنة لحل هذه المسألة هي التعويض بهاتين القيمتين مباشرة في التعبير المعطى. يمكننا فعل ذلك بالاستفادة من حقيقة أن 𝜔 واحدًا تربيع يساوي 𝜔 اثنين، وأن 𝜔 اثنين تربيع يساوي 𝜔 واحدًا. ولكن على الرغم من أننا سنصل في النهاية إلى الإجابة، فإن هذه الطريقة لن تكون الطريقة المثلى؛ لأننا سنضطر إلى إجراء الكثير من التبسيط. إذن، علينا أن نحاول أولًا معرفة إذا ما كانت هناك طريقة أبسط.

دعونا نبدأ بدراسة التعبير المعطى ومعرفة إذا ما كان يمكن تبسيطه بأي طريقة. نلاحظ أن بسط الكسر يحتوي على المعاملين ثمانية وواحد، ويحتوي المقام أيضًا على المعاملين ثمانية وواحد. هذا يشير إلى أن جزأي الكسر قد تربطهما معًا علاقة ما. هذا صحيح بالفعل، ولإثبات ذلك، يمكننا استخدام حقيقة أن 𝜔 تكعيب يساوي واحدًا وفقًا للتعريف. إذن، يمكننا إضافة الحد 𝜔 تكعيب عن طريق ضربه في الحد الأول من البسط؛ لأنه يماثل الضرب في واحد.

بعد ذلك، يمكننا إخراج 𝜔 من حدود البسط باعتباره عاملًا مشتركًا. نلاحظ بعد ذلك أنه يمكن حذف ثمانية 𝜔 تربيع زائد واحد من كل من البسط والمقام. إذن، يتبقى لدينا 𝜔 ناقص 𝜔 تربيع.

لدينا الآن حالتان لقيمة هذا التعبير بناء على إذا ما كنا سنعوض بـ 𝜔 واحد أو 𝜔 اثنين. بالنسبة إلى 𝜔 واحد، الذي يساوي سالب نصف زائد جذر ثلاثة على اثنين ﺕ، يصبح لدينا 𝜔 واحد ناقص 𝜔 واحد تربيع، ونظرًا لأن 𝜔 واحدًا تربيع يساوي 𝜔 اثنين، فهذا يساوي 𝜔 واحدًا ناقص 𝜔 اثنين، وهو ما يساوي سالب نصف زائد جذر ثلاثة على اثنين ﺕ ناقص سالب نصف ناقص جذر ثلاثة على اثنين ﺕ. نلاحظ أن الجزأين الحقيقيين سيحذفان، والجزأين التخيليين سيجمعان معًا، وبذلك يتبقى لدينا الجذر التربيعي لثلاثة في ﺕ.

في الحالة الثانية، نعوض بـ 𝜔 اثنين عن 𝜔. ومن ثم يصبح لدينا 𝜔 اثنان ناقص 𝜔 اثنين تربيع، وهو ما يساوي 𝜔 اثنين ناقص 𝜔 واحد. هذه هي الإجابة السالبة للإجابة الأولى. ولذا، يصبح لدينا قيمتان ممكنتان للتعبير المعطى، وهما جذر ثلاثة ﺕ وسالب جذر ثلاثة ﺕ.