فيديو السؤال: استخدام قاعدة جيب التمام لإيجاد قياس زاوية في شكل رباعي الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

‏ﺃﺏﺟﺩ شكل رباعي، فيه ﺃﺏ يساوي ٣١ سنتيمترًا، وﺏﺟ يساوي ٤٠ سنتيمترًا، وﺟﺩ يساوي ٤٣ سنتيمترًا، وﺩﺃ يساوي ٣٢ سنتيمترًا، وقياس الزاوية ﺃ يساوي ٦٤ درجة. أوجد قياس الزاوية ﺟﺏﺩ لأقرب درجة.

دعونا نبدأ برسم هذا الشكل الرباعي. سنبدأ بالزاوية ﺃ، التي نعلم أن قياسها يساوي ٦٤ درجة، والضلعين اللذين يحصران هذه الزاوية، وهما ﺃﺏ، الذي طوله يساوي ٣١ سنتيمترًا، وﺩﺃ أو ﺃﺩ، الذي طوله يساوي ٣٢ سنتيمترًا. سنضيف بعد ذلك الرأس ﺟ والضلعين اللذين يحصران هذه الزاوية، وهما ﺏﺟ، الذي طوله يساوي ٤٠ سنتيمترًا، وﺟﺩ، الذي طوله يساوي ٤٣ سنتيمترًا. بهذا، نكون قد رسمنا الشكل الرباعي. مطلوب منا في السؤال إيجاد قياس الزاوية ﺟﺏﺩ. وهي الزاوية التي تتكون عند الانتقال من ﺟ إلى ﺏ إلى ﺩ. إذا رسمنا خطًّا مستقيمًا يصل بين الرأسين ﺏ وﺩ، فإننا نريد إيجاد قياس هذه الزاوية هنا. دعونا نفكر إذن في طريقة يمكننا استخدامها لحساب قياس هذه الزاوية.

هذه الزاوية توجد في المثلث ﺏﺟﺩ، ولا نعلم في هذا المثلث إلا طولي ضلعين من أضلاعه. هذا غير كاف لنتمكن من إيجاد قياس أي زاوية؛ لذا دعونا نفكر في المعطيات الأخرى التي لدينا. هذا الخط المستقيم ﺏﺩ يقسم الشكل الرباعي إلى مثلثين، وهما المثلث ﺏﺟﺩ، الذي تناولناه بالفعل، والمثلث ﺃﺏﺩ. الضلع ﺏﺩ مشترك بين كلا المثلثين؛ لذا يمكننا حساب الطول ﺏﺩ باستخدام ما نعرفه عن المثلث ﺃﺏﺩ. وهو المثلث المحدد باللون الأخضر. في هذا المثلث، نلاحظ أن لدينا طولي ضلعين وقياس الزاوية المحصورة بينهما. هذا يعني أنه يمكننا حساب طول الضلع الثالث لهذا المثلث عن طريق تطبيق قانون جيوب التمام.

ينص هذا القانون على أنه إذا علمنا طولي ضلعين في أي مثلث، حيث يشار إليهما بالحرفين ﺏ شرطة وﺟ شرطة، وقياس الزاوية المحصورة بينهما، ويشار إليها بـ ﺃ، فيمكننا حساب طول الضلع الثالث المقابل للزاوية ﺃ، ويشار إليه بـ ﺃ شرطة، باستخدام الصيغة ﺃ شرطة تربيع يساوي ﺏ شرطة تربيع زائد ﺟ شرطة تربيع ناقص اثنين ﺏ شرطة ﺟ شرطة جتا ﺃ. في هذا المثلث، ﺏﺩ هو الضلع ذو الطول المجهول، وهو مقابل للزاوية المعلوم قياسها، ويساوي ٦٤ درجة. إذن، ﺏﺩ هو الضلع الذي طوله ﺃ شرطة في هذه الصيغة. والضلعان اللذان يحصران هذه الزاوية هما ﺃﺏ وﺃﺩ، وطولاهما ٣١ و٣٢ سنتيمترًا، على الترتيب. إذن، هذان هما الطولان ﺏ شرطة وﺟ شرطة. قياس الزاوية المحصورة بينهما يساوي ٦٤ درجة. ومن ثم، يصبح لدينا ﺏﺩ تربيع يساوي ٣١ تربيع زائد ٣٢ تربيع ناقص اثنين في ٣١ في ٣٢ في جتا ٦٤ درجة. وهذه معادلة يمكننا حلها لحساب الطول ﺏﺩ.

بحساب قيم أجزاء هذا المقدار، نحصل على ﺏﺩ تربيع يساوي ٩٦١ زائد ١٠٢٤ ناقص ١٩٨٤ جتا ٦٤ درجة. بحساب ذلك، نجد أن ﺏﺩ تربيع يساوي ١١١٥٫٢٧١ وهكذا مع توالي الأرقام. ومن ثم، ﺏﺩ يساوي الجذر التربيعي لهذه القيمة، وهذا يساوي ٣٣٫٣٩٥ وهكذا مع توالي الأرقام.

إذن، باستخدام المعطيات التي لدينا في المثلث ﺃﺏﺩ، قد استطعنا حساب طول الضلع المشترك بين المثلثين. هذا يعني أنه في المثلث ﺏﺟﺩ، أصبحنا نعرف أطوال أضلاعه الثلاثة، ونريد حساب قياس إحدى زواياه. يمكننا فعل ذلك باستخدام تطبيق آخر لقانون جيوب التمام. قانون جيوب التمام لحساب قياس زاوية، وهو صورة معاد ترتيبها من قانون جيوب التمام الذي تناولناه سابقًا، ينص على أن جتا الزاوية ﺃ يساوي ﺏ شرطة تربيع زائد ﺟ شرطة تربيع ناقص ﺃ شرطة تربيع، الكل على اثنين ﺏ شرطةﺟ شرطة.

وعليه، يمكننا حساب قياس أي زاوية في مثلث إذا علمنا أطوال جميع الأضلاع الثلاثة. هنا، الضلع الذي طوله ﺃ شرطة هو الضلع المقابل للزاوية التي نريد حساب قياسها. في هذا المثلث، هذا هو الضلع الذي طوله ٤٣ سنتيمترًا. والضلعان اللذان يحصران الزاوية هما ﺏﺟ، وطوله يساوي ٤٠ سنتيمترًا، وﺏﺩ، وطوله يساوي ٣٣٫٣٩٥ سنتيمترًا. يمكننا إذن التعويض بـ ٤٠ عن الطول ﺏ شرطة في هذه الصيغة. هكذا، يصبح لدينا في البسط ﺟ شرطة تربيع؛ أي الطول ﺏﺩ تربيع، ويمكننا التعويض بالقيمة لدينا قبل حساب الجذر التربيعي. وهي ١١١٥٫٢٧١. في المقام، حيث لدينا ﺟ شرطة، نعوض بـ ٣٣٫٣٩٥. هذه هي قيمة الطول ﺏﺩ بعد حساب الجذر التربيعي. وأخيرًا في البسط، نطرح ﺃ شرطة تربيع. لذا، سنطرح ٤٣ تربيع.

بحساب قيمة ذلك باستخدام قيمتين دقيقتين قدر الإمكان لـ ﺏﺩ تربيع وﺏﺩ، نحصل على ٠٫٣٢٤ وهكذا مع توالي الأرقام. لإيجاد قياس الزاوية ﺟﺏﺩ، نستخدم الدالة العكسية لجيب التمام ثم نحسب الناتج. هذا يعطينا ٧١٫٠ وهكذا مع توالي الأرقام؛ أي ٧١ درجة لأقرب درجة. إذن، بتطبيق قانون جيوب التمام مرتين؛ مرة لحساب طول ضلع مجهول، ومرة أخرى لحساب قياس زاوية مجهولة، قد أوجدنا أن قياس الزاوية ﺟﺏﺩ لأقرب درجة يساوي ٧١ درجة.