فيديو الدرس: المتغير العشوائي المتصل الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نصف دالة كثافة الاحتمال لمتغير عشوائي متصل، ونستخدم ذلك لإيجاد احتمال وقوع حدث ما. سنبدأ بتذكير أنفسنا بخواص المتغيرات العشوائية المتقطعة، ثم بتعريف خواص المتغيرات العشوائية المتصلة. بعد ذلك، سنستخدم خواص المتغيرات العشوائية المتصلة في بعض الأمثلة لإيجاد قيمة ثابت مجهول ولإيجاد احتمالات وقوع أحداث بمعلومية دالة كثافة الاحتمال.

لعلنا نتذكر أن المتغير العشوائي المتقطع هو متغير عشوائي يمكن أن يأخذ قيمًا متقطعة فقط. وقد يوجد عدد قابل للحصر من هذه القيم الممكنة أو عدد غير قابل للحصر من القيم الممكنة. يمكننا إيجاد احتمال أن يكون ﺱ قيمة معينة، وهذا يعرف بدالة التوزيع الاحتمالي د ﺱ. ومجموع الاحتمالات يساوي واحدًا. لنفترض، على سبيل المثال، أن ﺱ هو العدد الذي يظهر عند إلقاء حجر نرد منتظم مرة واحدة. إذن، تكون قيم ﺱ الممكنة: واحدًا، واثنين، وثلاثة، وأربعة، وخمسة، وستة. وعليه، فإن احتمال أن يكون ﺱ يساوي إحدى هذه القيم هو واحد على ستة. وهذه هي قيمة دالة التوزيع الاحتمالي د ﺱ لـ ﺱ يساوي ﺱ ر. مجموع قيم الدوال د لـ ﺱ ر يساوي واحدًا.

بالنسبة لأي متغير عشوائي متقطع، فإن قيم المتغير تكون متقطعة. أما قيم المتغير العشوائي المتصل، فيمكن أن تأخذ أي قيمة تقع ضمن نطاق معطى. هذا يعني أنه بين أي قيمتين من قيم ﺱ، هناك عدد لا نهائي من قيم ﺱ الأخرى. توجد دالة حقيقية لأي متغير عشوائي متصل ﺱ تسمى «دالة كثافة الاحتمال»، ويرمز لها بـ د ﺱ. ويكون د ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا لجميع قيم ﺱ. والمساحة الكلية المحصورة أسفل المنحنى ﺹ يساوي د ﺱ تساوي واحدًا. لذا، لأي متغير عشوائي متصل؛ يجب ألا يكون للدالة قيم سالبة، وأن تساوي المساحة الكلية أسفل المنحنى واحدًا. في المثال الأول، سنتناول كيفية استخدامنا لهذا التعريف لإيجاد قيمة ثابت مجهول في دالة معطاة.

افترض أن ﺱ متغير عشوائي متصل، له دالة كثافة الاحتمال د ﺱ يساوي ﺃﺱ، إذا كان واحد أقل من أو يساوي ﺱ أقل من أو يساوي خمسة وصفرًا فيما عدا ذلك. أوجد قيمة ﺃ.

في هذا المثال، لدينا د ﺱ دالة كثافة احتمال لمتغير عشوائي متصل. ومطلوب منا إيجاد قيمة الثابت ﺃ. ولفعل ذلك، دعونا نتذكر خواص دالة كثافة الاحتمال. نقول إن د ﺱ دالة كثافة احتمال إذا كان د ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا لجميع قيم ﺱ، وكانت المساحة الكلية المحصورة أسفل المنحنى ﺹ يساوي د ﺱ تساوي واحدًا. إذن، هيا نبدأ بالتحقق من الشرط الأول؛ أي شرط أن تكون قيم الدالة موجبة.

نحن نعلم أن د ﺱ يساوي صفرًا خارج الفترة من واحد إلى خمسة. وهذا يعني أن الشرط الأول يتحقق عندما لا يقع ﺱ في الفترة من واحد إلى خمسة. وعندما يقع ﺱ داخل الفترة من صفر إلى خمسة، فإننا نعلم أن د ﺱ يساوي ﺃﺱ. كما نعلم أن ﺱ أكبر من صفر في هذه الفترة. ومن ثم، فإن ﺃ يجب أن يكون أكبر من أو يساوي صفرًا أيضًا؛ وذلك لأن د دالة كثافة احتمال. إذن، يتطلب تحقق الشرط الأول أن يكون ﺃ أكبر من أو يساوي صفرًا. دعونا الآن نتناول الشرط الثاني، وهو ينص على أن المساحة الكلية المحصورة أسفل المنحنى ﺹ يساوي د ﺱ تساوي واحدًا. ولكي يتحقق هذا الشرط، نجد أن ﺃ لا يمكن أن يساوي صفرًا، وذلك لأنه عند ﺃ يساوي صفرًا، فإن د ﺱ يساوي صفرًا لجميع قيم ﺱ. وهذا يعني أن المساحة ستساوي صفرًا.

لذا، لكي يتحقق الشرط الثاني، الذي ينص على أن المساحة الكلية تساوي واحدًا، فإن ﺃ يجب ألا يساوي صفرًا. وهذا يعني أن ﺃ يجب أن يكون أكبر من صفر. وبما أن د ﺱ يساوي ﺃﺱ، عندما يقع ﺱ بين واحد وخمسة؛ فإن التمثيل البياني للدالة د ﺱ في الفترة من واحد إلى خمسة يجب أن يكون خطًّا مستقيمًا ميله موجب. نلاحظ في هذا التمثيل البياني أن المساحة المظللة أسفل الخط المستقيم الممثل للدالة عبارة عن شبه منحرف. نتذكر أن مساحة شبه المنحرف هي واحد على اثنين مضروبًا في مجموع طولي القاعدة الصغرى والقاعدة الكبرى مضروبًا في الارتفاع. إذن، لإيجاد مساحة شبه المنحرف؛ أي المساحة المظللة أسفل الخط المستقيم، علينا إيجاد طول كل من القاعدتين والارتفاع.

لفعل هذا، نبدأ بإيجاد إحداثيات رءوس شبه المنحرف. لذا، نعوض بـ ﺱ يساوي واحدًا وﺱ يساوي خمسة في الدالة د ﺱ. لدينا د لواحد يساوي ﺃ مضروبًا في واحد، وهو ما يساوي ﺃ. ولدينا د لخمسة يساوي ﺃ مضروبًا في خمسة، وهو ما يساوي خمسة ﺃ. وهكذا، نحصل على إحداثيات الرءوس، وهي: واحد، ﺃ؛ وخمسة، خمسة ﺃ. ومن ثم؛ يكون طول القاعدة الصغرى هو ﺃ، وطول القاعدة الكبرى هو خمسة ﺃ.

ارتفاع شبه المنحرف هو الطول الذي يقع على امتداد طول المحور ﺱ. وهو يساوي خمسة ناقص واحد؛ أي أربعة. إذن، نجد أن طول القاعدة الصغرى هو ﺃ، وطول القاعدة الكبرى هو خمسة ﺃ، والارتفاع هو أربعة؛ ويمكننا الآن التعويض بهذه القيم في الصيغة لإيجاد مساحة شبه المنحرف. المساحة تساوي واحدًا على اثنين مضروبًا في خمسة ﺃ زائد ﺃ مضروبًا في أربعة. وهذا يساوي اثنين مضروبًا في ستة ﺃ، وهو ما يساوي ١٢ﺃ.

لكي يتحقق الشرط الثاني، فإن ١٢ﺃ يجب أن يساوي واحدًا، لأن هذا يمثل المساحة. وبقسمة كلا الطرفين على ١٢، يمكننا إيجاد قيمة ﺃ. إذن، قيمة ﺃ تساوي واحدًا على ١٢.

في هذا المثال، أوجدنا قيمة ثابت مجهول في دالة كثافة الاحتمال. والآن، دعونا نوجه اهتمامنا إلى حساب الاحتمالات للمتغيرات العشوائية المتصلة.

عندما نحسب الاحتمالات لمتغير عشوائي متصل ﺱ، فإننا نفكر في احتمال أن يقع ﺱ ضمن فترة معينة. وإذا أشرنا إلى هذه الفترة بالحرف ﻑ، فإن احتمال أن يكون ﺱ واحد أقل من أو يساوي ﺱ أقل من أو يساوي ﺱ اثنين يساوي المساحة المظللة أسفل المنحنى د ﺱ في الفترة المحصورة بين الحدين ﺱ واحد وﺱ اثنين. إذن، فإن الاحتمال هو المساحة المظللة أسفل دالة كثافة الاحتمال د ﺱ.

نتذكر الآن أن المساحة الكلية المحصورة أسفل منحنى كثافة الاحتمال تساوي واحدًا. وفي فضاء العينة، يجب أن يكون مجموع جميع الاحتمالات واحدًا. وعلى عكس المتغير العشوائي المتقطع، نجد أنه في المتغير العشوائي المتصل، لا يمكننا تحديد احتمال أن يكون ﺱ قيمة معينة. وذلك نظرًا لأن المساحة أسفل المنحنى لقيمة محددة لـ ﺱ تكون غير موجودة بالفعل. وهي تناظر المساحة المحددة بمستقيم رفيع صغير. بدلًا من ذلك، نحسب احتمال أن يقع ﺱ بين قيمتين. ويعني هذا المساحة المظللة أسفل المنحنى والمحصورة بين قيمتين من قيم ﺱ.

عندما يكون منحنى دالة كثافة الاحتمال شكلًا هندسيًّا بسيطًا، كالمثلث أو شبه المنحرف أو المستطيل، يمكننا استخدام الصيغ الهندسية لحساب المساحة لإيجاد احتمالات وقوع الأحداث. دعونا نتناول هذا في مثال.

افترض أن ﺱ متغير عشوائي متصل له دالة كثافة الاحتمال د ﺱ الموضحة بالتمثيل البياني المعطى. أوجد احتمال أن أربعة أقل من أو يساوي ﺱ أقل من أو يساوي خمسة.

في هذا المثال، علينا إيجاد احتمال وقوع حدث لمتغير عشوائي متصل؛ حيث إن الحدث معطى إذا كان أربعة أقل من أو يساوي ﺱ أقل من أو يساوي خمسة. نتذكر أن احتمال وقوع الحدث ﺱ واحد أقل من أو يساوي ﺱ أقل من أو يساوي ﺱ اثنين لمتغير عشوائي متصل هو المساحة الموجودة أسفل دالة كثافة الاحتمال د ﺱ في الفترة المحصورة بين الحدين ﺱ واحد وﺱ اثنين. وبما أن الفترة محصورة بين ﺱ يساوي أربعة وﺱ يساوي خمسة، فإننا نبدأ بتظليل المنطقة الواقعة أسفل المنحنى في هذه الفترة.

لإيجاد احتمال وقوع هذا الحدث، علينا إيجاد مساحة المنطقة المظللة، وهي شكل شبه منحرف. لعلنا نتذكر أن مساحة شبه المنحرف هي واحد على اثنين مضروبًا في مجموع طولي القاعدة الصغرى والقاعدة الكبرى مضروبًا في الارتفاع، إذن علينا إيجاد طول كل من القاعدتين والارتفاع. يمكننا أن نلاحظ من التمثيل البياني أن طول القاعدة الكبرى هو ربع. كما نجد أن الارتفاع هو خمسة ناقص أربعة؛ أي يساوي وحدة واحدة. علينا إيجاد طول القاعدة الصغرى لشبه المنحرف. وهذا هو الإحداثي ﺹ للنقطة الموضحة على التمثيل البياني عند ﺱ يساوي خمسة.

تقع هذه النقطة على خط مستقيم بين النقطتين اللتين إحداثياتهما: أربعة، ربع؛ وستة، صفر. وبما أن ﺱ يساوي خمسة يقع في المنتصف بين ﺱ يساوي أربعة وﺱ يساوي ستة، فإن الإحداثي ﺹ عند ﺱ يساوي خمسة يجب أن يكون متوسط الإحداثيين ﺹ لنقطتي الطرفين. وهو متوسط الإحداثيين ربع وصفر. إذن، لدينا ﺹ يساوي واحدًا على اثنين في ربع زائد صفر، وهو ما يعطينا واحدًا على ثمانية. وبهذا، نجد أن طول القاعدة الصغرى يساوي واحدًا على ثمانية وحدة. وهكذا، يكون طول القاعدة الكبرى لشبه المنحرف واحدًا على أربعة وحدة، وطول القاعدة الصغرى واحدًا على ثمانية وحدة، والارتفاع وحدة واحدة.

والآن، يمكننا استخدام هذه القيم لحساب مساحة شبه المنحرف. إنها تساوي واحدًا على اثنين مضروبًا في واحد على أربعة زائد واحد على ثمانية مضروبًا في واحد. وهذا يساوي ثلاثة على ١٦ وحدة مربعة. إذن، في دالة كثافة الاحتمال د ﺱ الموضحة بالتمثيل البياني، نجد أن احتمال أن يكون أربعة أقل من أو يساوي ﺱ أقل من أو يساوي خمسة هو ثلاثة على ١٦.

في هذا المثال، كان لدينا التمثيل البياني لدالة كثافة الاحتمال. وفي المثال التالي، علينا إيجاد احتمال وقوع حدث معين عندما تعطى دالة كثافة الاحتمال في صورتها الجبرية.

افترض أن ﺱ متغير عشوائي متصل دالة كثافة الاحتمال له: د ﺱ يساوي واحدًا على ٦٣، عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي تسعة وأقل من أو يساوي ٧٢ وصفرًا فيما عدا ذلك. أوجد احتمال أن ﺱ أكبر من ٦٤.

في هذا المثال، علينا إيجاد احتمال وقوع حدث لمتغير عشوائي متصل عندما يكون الحدث هو ﺱ أكبر من ٦٤. لدينا دالة كثافة الاحتمال، لذا دعونا نبدأ بتمثيل هذه الدالة بيانيًّا. تأخذ الدالة القيمة واحدًا على ٦٣ عندما يقع ﺱ بين تسعة و٧٢، وصفرًا فيما عدا ذلك.

نتذكر أن احتمال وقوع حدث لمتغير عشوائي متصل يعطى من خلال المساحة الواقعة أسفل منحنى دالة كثافة الاحتمال د ﺱ في الفترة التي تمثل الحدث. في هذا السؤال، علينا إيجاد المساحة الواقعة أسفل هذا المنحنى في الفترة من ٦٤ إلى ∞. ولكن، بما أننا نعرف أن هذه الدالة تساوي صفرًا عند ﺱ أكبر من ٧٢، فليس علينا سوى إيجاد المساحة أسفل المنحنى عندما يقع ﺱ بين ٦٤ و٧٢. وهي مساحة المنطقة المظللة في التمثيل البياني، وهي على شكل مستطيل. وهذه المساحة تعطينا احتمال وقوع الحدث المعطى.

نلاحظ أن طول قاعدة المستطيل يساوي ٧٢ ناقص ٦٤؛ وهو ما يساوي ثماني وحدات. ارتفاع المستطيل هو واحد على ٦٣. نحن نعلم أن مساحة المستطيل هي طول القاعدة في الارتفاع، وهو ما يعطينا ثمانية مضروبًا في واحد على ٦٣. وهذا يساوي ثمانية على ٦٣ وحدة مربعة. ومن ثم، فإن احتمال أن يكون ﺱ أكبر من ٦٤ هو ثمانية على ٦٣. نلاحظ أن هذه إجابة منطقية تمثل الاحتمال، لأن ثمانية على ٦٣ يقع بين صفر وواحد.

في بعض الأحيان، يكون منحنى دالة كثافة الاحتمال على شكل دالة متعددة التعريف تشمل العديد من الدوال الفرعية. ولإيجاد احتمال وقوع حدث ما في مثل هذه الحالات، علينا فقط رسم جزء المنحنى المرتبط بالحدث المعطى. دعونا نتناول هذا في المثال الأخير.

افترض أن ﺱ متغير عشوائي متصل، له دالة كثافة الاحتمال د ﺱ يساوي ﺱ على ثمانية، عندما يقع ﺱ بين اثنين وثلاثة، ود ﺱ يساوي واحدًا على ٤٨، عندما يقع ﺱ بين ثلاثة و٣٦، ود ﺱ يساوي صفرًا ما عدا ذلك. أوجد احتمال أن ﺱ أكبر من ١١ وأصغر من ٢٤.

في هذا المثال، علينا إيجاد احتمال وقوع حدث لمتغير عشوائي متصل، عندما يكون الحدث هو ﺱ بين ١١ و٢٤. نتذكر أن احتمال وقوع حدث لمتغير عشوائي متصل يعطى بالمساحة المحصورة أسفل منحنى دالة كثافة الاحتمال د ﺱ في الفترة التي تمثل الحدث؛ أي الفترة المحصورة بين الحدين ﺱ واحد وﺱ اثنين.

في هذا السؤال، يعني ذلك أنه علينا إيجاد المساحة الواقعة أسفل المنحنى في الفترة المحصورة بين الحدين ١١ و٢٤. وبما أنه ليس علينا سوى إيجاد المساحة في هذه الفترة، فلا داعي لإيجاد منحنى الدالة خارج هذه المنطقة. وعلى وجه التحديد؛ تكون أصغر قيمة ممكنة لـ ﺱ في هذه المنطقة هي ١١، وأكبر قيمة هي ٢٤. وتقع كل من هاتين القيمتين ضمن نطاق الدالة الفرعية الثانية للدالة د ﺱ. وهي الدالة المعرفة بين ثلاثة و٣٦.

لذا، علينا فقط رسم منحنى هذه الدالة الفرعية. وبالنسبة لقيم ﺱ الواقعة بين ثلاثة و٣٦، فإن د ﺱ هي الدالة الثابتة التي تساوي واحدًا على ٤٨. وبتظليل المنطقة الواقعة أسفل المنحنى؛ حيث ﺱ يقع بين ١١ و٢٤، نلاحظ أن هذه المساحة على شكل مستطيل. ومساحة هذا المستطيل هي احتمال وقوع الحدث المعطى.

نجد أن طول قاعدة هذا المستطيل هو ٢٤ ناقص ١١، وهو ما يساوي ١٣ وحدة. وارتفاع المستطيل هو واحد على ٤٨ وحدة. نحن نعلم أن مساحة المستطيل هي طول قاعدته مضروبًا في ارتفاعه. إذن، مساحة هذا المستطيل تساوي ١٣ مضروبًا في واحد على ٤٨، وهو ما يساوي ١٣ على ٤٨ وحدة مربعة. باستخدام دالة كثافة الاحتمال كما هو موضح، نجد أن احتمال أن يقع ﺱ بين ١١ و٢٤ هو ١٣ على ٤٨. ونعلم أن هذه إجابة منطقية تمثل الاحتمال؛ لأن ١٣ على ٤٨ يقع بين صفر وواحد.

دعونا نختتم هذا الفيديو بتلخيص بعض المفاهيم الرئيسية التي تناولناها. نعلم أن المتغير العشوائي المتصل يأخذ قيمًا في مجموعة متصلة. نقول إن الدالة د ﺱ هي دالة كثافة احتمال، إذا كان د ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا لجميع قيم ﺱ، وكانت المساحة الكلية أسفل المنحنى ﺹ يساوي د ﺱ تساوي واحدًا. وأخيرًا، احتمال أن يقع ﺱ بين ﺱ واحد وﺱ اثنين هو المساحة المحصورة أسفل المنحنى ﺹ يساوي د ﺱ في الفترة ﻑ المحصورة بين الحدين ﺱ واحد وﺱ اثنين.