فيديو السؤال: إيجاد نهاية دالة كسرية الرياضيات

أوجد نها_(ﺱ ← ١) [((ﺱ^٤ − ١)^٤‏/‏(ﺱ^٣ − ١)^٣) × (١‏/‏(ﺱ^٦ − ١))].

٠٦:٤٩

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد لـ ﺱ أس أربعة ناقص واحد الكل أس أربعة الكل مقسوم على ﺱ تكعيب ناقص واحد الكل تكعيب مضروبًا في واحد على ﺱ أس ستة ناقص واحد.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة نهاية دالة كسرية. هذا لأن لدينا في البسط كثيرة حدود ولدينا في المقام أيضًا كثيرة حدود. يمكننا محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر. لكننا إذا عوضنا بـ ﺱ يساوي واحدًا في النهاية لدينا، فسنحصل في البسط على العامل واحد أس أربعة ناقص واحد، وهذا يساوي صفرًا. وفي المقام، سنحصل على العامل واحد تكعيب ناقص واحد، وهذا أيضًا يساوي صفرًا. ومن ثم، نحصل على صيغة غير معينة؛ وهي صفر مقسوم على صفر.

لذا، لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر فقط. إنما علينا إعادة كتابة هذه النهاية. إحدى الطرق التي يمكننا من خلالها فعل ذلك هي البحث عن العامل ﺱ ناقص واحد في البسط والمقام. يمكننا بعد ذلك حذف هذه العوامل المشتركة، وسيساعدنا هذا في حساب هذه النهاية. لكن ثمة طريقة أخرى أسهل إذا تمكنا من إعادة كتابة هذه النهاية لتكون في صورة نهاية قسمة دالتي قوى. لفعل ذلك، علينا أن نسترجع نتيجة النهاية الآتية. لأي ثوابت حقيقية ﺃ وﻥ وﻡ، حيث ﻡ لا يساوي صفرًا، فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من أ لـ س أس ن ناقص ﺃ أس ﻥ الكل مقسوم على ﺱ أس ﻡ ناقص ﺃ أس ﻡ تساوي ﻥ على ﻡ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ ناقص ﻡ. يمكن تطبيق هذه النتيجة بشرط وجود كل من ﺃ أس ﻥ وﺃ أس ﻡ وﺃ أس ﻥ ناقص ﻡ.

حسنًا، نحن نريد إعادة كتابة النهاية التي لدينا على صورة نتيجة النهاية هذه. علينا أن نلاحظ أولًا أننا نحسب النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد؛ ومن ثم، فإن قيمة ﺃ ستساوي واحدًا. نلاحظ بعد ذلك أن واحدًا مرفوعًا لأي قوة يساوي واحدًا. وعليه، ففي كل من هذه التعبيرات، يمكننا إعادة كتابة واحد ليكون مرفوعًا لقوة ما لمطابقة أس ﺱ. على سبيل المثال، في بسط الكسر الموجود على اليمين، يمكننا إعادة كتابة واحد على الصورة واحد أس أربعة. وهذا لمطابقة بسط نتيجة النهاية هذه؛ حيث إننا نريد أن يكون لدينا ﺃ أس ﻥ. وبالمثل، يمكننا في المقام إعادة كتابة واحد على الصورة واحد تكعيب. هذا أيضًا لمطابقة مقام نتيجة النهاية. يمكن أن يساعدنا ذلك في ملاحظة المواضع التي يمكننا فيها تطبيق نتيجة النهاية هذه لتبسيط النهاية التي لدينا. على سبيل المثال، يمكننا ملاحظة أن الكسر الأول قد أصبح على صورة نتيجة النهاية هذه. لكن المشكلة الوحيدة هي أن البسط مرفوع للقوة أربعة والمقام مرفوع للقوة ثلاثة.

لذا، لتطبيق نتيجة النهاية، علينا مطابقة الأسس حتى نتمكن من نقل القوة خارج النهاية. ولفعل ذلك، علينا وضع العامل ﺱ أس أربعة ناقص واحد في بسط الكسر الثاني. هذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد لـ ﺱ أس أربعة ناقص واحد أس أربعة الكل تكعيب الكل مقسوم على ﺱ تكعيب ناقص واحد تكعيب الكل تكعيب مضروبًا في ﺱ أس أربعة ناقص واحد أس أربعة الكل مقسوم على ﺱ أس ستة ناقص واحد أس ستة.

حسنًا، الكسر الثاني داخل النهاية هنا أصبح على صورة نتيجة النهاية التي لدينا. لكن الكسر الأول ليس على هذه الصورة تمامًا؛ لأننا نقوم بتكعيب كل من البسط والمقام. لذا، علينا تطبيق قوانين الأسس. سيمكننا هذا من تكعيب الكسر بالكامل. وعليه، يصبح الكسر الأول على صورة مكعب نتيجة النهاية هذه. ومن ثم، يمكننا تطبيق قاعدة الضرب للنهايات وقاعدة القوى للنهايات لإيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام نتيجة النهاية التي لدينا. سنبدأ بتطبيق قاعدة الضرب للنهايات، وتنص على أن نهاية حاصل ضرب دالتين تساوي حاصل ضرب نهايتي هاتين الدالتين، بشرط وجود هاتين النهايتين.

سنطبق بعد ذلك قاعدة القوى للنهايات. وهذا سيساعدنا في نقل القوة ثلاثة خارج النهاية. تجدر الإشارة هنا إلى أننا نعلم أن نهايتي هاتين الدالتين موجودتان، ونعلم أيضًا كيف يمكننا إيجاد قيمة كل منهما؛ لأننا يمكننا تطبيق نتيجة النهاية التي لدينا. لذا، نحن مستعدون الآن لإيجاد قيمتي هاتين النهايتين، كل على حدة. دعونا نبدأ بإيجاد قيمة النهاية الأولى. نلاحظ أن الأس ﻥ يساوي أربعة، والأس ﻡ يساوي ثلاثة، وقيمة ﺃ تساوي واحدًا. سنعوض بعد ذلك بهذه القيم في نتيجة النهاية لدينا. وهذا يعطينا أربعة على ثلاثة مضروبًا في واحد أس أربعة ناقص ثلاثة. وتذكر أن علينا تكعيب قيمة هذه النهاية.

يمكننا اتباع الطريقة نفسها مع النهاية الثانية. ونلاحظ أن قيمة ﻥ تساوي أربعة، وقيمة ﻡ تساوي ستة، وقيمة ﺃ تساوي واحدًا. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض بهذه القيم في نتيجة النهاية لدينا. وهذا يعطينا أربعة على ستة مضروبًا في واحد أس أربعة ناقص ستة. بما أن هاتين النهايتين موجودتان، فإن حاصل ضرب هاتين القيمتين يساوي قيمة النهاية الأصلية.

والآن، كل ما علينا فعله هو إيجاد قيمة هذا التعبير. حسنًا، واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا، لذا يمكننا تبسيط ذلك. وسنحصل على أربعة أثلاث الكل تكعيب مضروبًا في أربعة على ستة. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة هذا التعبير. وبهذا، نحصل على ١٢٨ مقسومًا على ٨١، وهذه هي الإجابة النهائية.

إذن، لقد أوضحنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من واحد لـ ﺱ أس أربعة ناقص واحد الكل أس أربعة الكل مقسوم على ﺱ تكعيب ناقص واحد الكل تكعيب مضروبًا في واحد مقسومًا على ﺱ أس ستة ناقص واحد تساوي ١٢٨ مقسومًا على ٨١.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.