فيديو السؤال: استنتاج صيغة حساب مجموع متسلسلة هندسية الرياضيات

يمكن إيجاد صيغة لمجموع متسلسلة هندسية. انظر المتسلسلة: ﺟ_(ﻥ) = ﺃ + ﺃﺭ + ﺃﺭ^٢ + ﺃﺭ^٣ + ... + ﺃﺭ^(ﻥ − ١). اضرب المقدار ﺟ_(ﻥ) في ﺭ، الذي يمثل أساس المتتابعة الهندسية.

٠٦:٢١

‏نسخة الفيديو النصية

يمكن إيجاد صيغة لمجموع متسلسلة هندسية. انظر المتسلسلة: ﺟﻥ يساوي ﺃ زائد ﺃﺭ زائد ﺃﺭ تربيع زائد ﺃﺭ تكعيب وصولًا إلى ﺃﺭ أس ﻥ ناقص واحد.

توجد عدة أجزاء في هذا السؤال. وسنتناولها جزءًا تلو الآخر. مطلوب منا في الجزء الأول ضرب المقدار الذي يمثل ﺟﻥ في ﺭ، وهو أساس المتتابعة الهندسية.

لدينا ﺟﻥ معطى هنا. وهو يساوي ﺃ وصولًا إلى ﺃﺭ أس ﻥ ناقص واحد. سنضرب كل ذلك في ﺭ. في الطرف الأيمن، يكون الضرب مباشرًا للغاية. وسنحصل على ﺭﺟﻥ. بعد ذلك، لدينا في الطرف الأيسر مقدار يتضمن قوسين. وهو ﺭ في ﺃ زائد ﺃﺭ زائد ﺃﺭ تربيع وهكذا. سنقوم الآن بالتوزيع على ما بداخل القوسين في الطرف الأيسر. سنكتب ﺭ في ﺃ على الصورة ﺃﺭ. بعد ذلك، لدينا ﺭ في ﺃﺭ يساوي ﺃﺭ تربيع، وﺭ في ﺃﺭ تربيع يساوي ﺃﺭ تكعيب، ونكرر هذه العملية مع ﺃﺭ تكعيب.

علينا أيضًا أن نضرب ﺭ في ﺃﺭ أس ﻥ ناقص واحد. حسنًا، هذا يماثل ضرب ﺃﺭ أس ﻥ ناقص واحد في ﺭ أس واحد. لكن تذكر أننا نعلم أنه عند ضرب مقدارين لهما أساس متساو، يمكننا ببساطة جمع الأسين. إذن سنجمع ﻥ ناقص واحد وواحد، وهذا يعطينا ببساطة ﺃﺭ أس ﻥ. وهكذا، نكون ضربنا المقدار الذي يمثل ﺟﻥ في ﺭ.

هيا نفرغ بعض المساحة ونتناول الجزء الثاني من هذا السؤال.

سيكون لدينا ﺟﻥ يساوي ﺃ زائد ﺃﺭ وصولًا إلى ﺃﺭ أس ﻥ ناقص واحد. ولدينا ﺭ في ﺟﻥ يساوي ﺃﺭ زائد ﺃﺭ تربيع وصولًا إلى ﺃﺭ أس ﻥ. الطرفان الأيمنان للمعادلتين متشابهان للغاية. حدد الحدين اللذين لا يظهران في الطرف الأيسر للمعادلتين.

للإجابة عن هذا الجزء من السؤال، دعونا نبدأ بتحديد الحدود التي تظهر في الطرف الأيسر من كل من المعادلتين. نلاحظ وجود ﺃﺭ في كلتا المعادلتين، وكذلك ﺃﺭ تربيع، وﺃﺭ تكعيب. وفي الواقع، يمكننا استنتاج أن ﺃﺭ أس أربعة يوجد في المعادلة الأولى، ويمكننا أيضًا افتراض أن ﺃﺭ أس ﻥ ناقص واحد لا بد أن يوجد في المعادلة الثانية. وذلك لأنه يسبق الحد التالي، وهو ﺃﺭ أس ﻥ هنا. هذا يعني أنه يتبقى لدينا حدان. ففي المعادلة الأولى، يتبقى لدينا ﺃ، وفي المعادلة الثانية، يتبقى لدينا ﺃﺭ أس ﻥ. إذن، الحدان اللذان لا يظهران في الطرف الأيسر لكلتا المعادلتين هما ﺃ وﺃﺭ أس ﻥ.

هيا نفرغ الآن بعض المساحة ونتناول الجزء الثالث من هذا السؤال.

الآن، انظر إلى عملية الطرح: ﺟﻥ ناقص ﺭﺟﻥ يساوي ﺃ زائد ﺃﺭ وصولًا إلى ﺃﺭ أس ﻥ ناقص واحد ناقص ﺃﺭ زائد ﺃﺭ تربيع وصولًا إلى ﺃﺭ أس ﻥ. استخدم إجابة الجزء السابق في تبسيط عملية الطرح ﺟﻥ ناقص ﺭﺟﻥ.

تذكر أنه عندما بدأنا في الإجابة عن السؤال السابق، حددنا أولًا الحدود التي يشترك فيها المقداران. ونعلم الآن أنه عند طرح هذين المقدارين، سنحذف هذه الحدود التي تظهر في كليهما. ‏ﺃﺭ ناقص ﺃﺭ يساوي صفرًا، وﺃﺭ تربيع ناقص ﺃﺭ تربيع يساوي صفرًا. وبالطبع، يمكننا المتابعة بهذه الطريقة، وسيتبقى لدينا الحدان ﺃ وﺃﺭ أس ﻥ. وفي الواقع، بما أننا نطرح كل حد في المقدار الثاني، فإن ﺟﻥ ناقص ﺭﺟﻥ سيساوي ﺃ ناقص ﺃﺭ أس ﻥ.

بعد ذلك، مطلوب منا في الجزء الرابع من هذا السؤال تحليل طرفي المعادلة.

لنبدأ إذن بالنظر إلى الطرف الأيمن. نلاحظ أن كل حد في هذا المقدار يتضمن العامل ﺟﻥ. وعليه، عندما نقسم ﺟﻥ على ﺟﻥ، نحصل على واحد. وعندما نقسم ﺭﺟﻥ على ﺟﻥ، نحصل على ﺭ. وبالمثل، يوجد في الطرف الأيسر العامل المشترك ﺃ. عندما نقسم ﺃ على ﺃ، نحصل على واحد. وعندما نقسم سالب ﺃﺭ أس ﻥ على ﺃ، يتبقى لدينا سالب ﺭ أس ﻥ. وبذلك نكون حللنا طرفي المعادلة تحليلًا كاملًا. ونحصل على ﺟﻥ في واحد ناقص ﺭ يساوي ﺃ في واحد ناقص ﺭ أس ﻥ.

وأخيرًا، مطلوب منا في الجزء الأخير من هذا السؤال إعادة ترتيب المعادلة لجعل ﺟﻥ المتغير التابع في الصيغة.

بالنظر إلى السؤال السابق، نجد أن لدينا ﺟﻥ في واحد ناقص ﺭ يساوي ﺃ في واحد ناقص ﺭ أس ﻥ. ولجعل ﺟﻥ المتغير التابع، نقسم طرفي هذه المعادلة على واحد ناقص ﺭ. وعندما نفعل ذلك في الطرف الأيمن، يتبقى لدينا ﺟﻥ. وفي الطرف الأيسر، يصبح لدينا ﺃ في واحد ناقص ﺭ أس ﻥ على واحد ناقص ﺭ. بذلك نكون قد أوجدنا صيغة مجموع متسلسلة هندسية حدها النوني ﺃﺭ أس ﻥ ناقص واحد. وهي ﺟﻥ يساوي ﺃ في واحد ناقص ﺭ أس ﻥ على واحد ناقص ﺭ.

في هذه المرحلة، تجدر الإشارة إلى أن هذا هو الاستنتاج الكامل لصيغة حساب مجموع متسلسلة هندسية. وليس علينا إجراء هذه العملية في كل مرة نوجد فيها المجموع، لكن علينا معرفة طريقة استنتاجه. وبدلًا من ذلك، يمكننا فقط حفظ الصيغة ﺟﻥ يساوي ﺃ في واحد ناقص ﺭ أس ﻥ على واحد ناقص ﺭ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.