فيديو السؤال: استخدام الاشتقاق الضمني وقاعدة الضرب لإيجاد قيمة تعبير يحتوي على المشتقتين الأولى والثانية الرياضيات

إذا كان ﺱ^٢ + ٩ = −٢ﺱﺹ، فأوجد ﺱ(ﺩ^٢ﺹ‏/‏ﺩﺱ^٢) + ٢(ﺩﺹ‏/‏ﺩﺱ).

٠٩:٠٩

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺱ تربيع زائد تسعة يساوي سالب اثنين ﺱﺹ، فأوجد ﺱ في ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع زائد اثنين ﺩﺹ على ﺩﺱ.

يجب أن يكون من الواضح تمامًا لنا أنه لحل هذا، علينا أن نوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ، وهي المشتقة الأولى لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، وﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع. وهي المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. ولكن إذا انتقلنا إلى المعادلة، فسنلاحظ أنه ليس من السهل اشتقاق ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. وذلك لأن هذه الدالة معرفة ضمنيًّا. لقد اعتدنا على اشتقاق الدوال التي تكون فيها ﺹ معرفة بشكل صريح في صورة دالة في ﺱ. لحسن الحظ، يمكننا استخدام صورة معينة من قاعدة السلسلة لاشتقاق دالة في ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. في هذه الحالة، نشتق هذه الدالة بالنسبة إلى ﺹ، ثم نضرب ذلك في ﺩﺹ على ﺩﺱ.

لنتناول إذن المعادلة: ﺱ تربيع زائد تسعة يساوي سالب اثنين ﺱﺹ. سنشتق كلا طرفي هذه المعادلة بالنسبة إلى ﺱ. لنفعل ذلك، علينا أن نتذكر كيف نشتق حدًّا هو عبارة عن دالة قوة. بالنسبة إلى أي حد على الصورة: ﺃﺱ أس ﻥ؛ حيث ﻥ ثابت حقيقي، نضرب الحد بالكامل في ﻥ، ثم نطرح واحدًا من هذا الأس أو القوة. هذا يعني أن مشتقة ﺱ تربيع تساوي اثنين ﺱ أس واحد أو اثنين ﺱ فقط. وهذا يعني أيضًا أن مشتقة الثابت تساوي صفرًا. تذكر أن تسعة يمكن اعتباره تسعة ﺱ أس صفر. وعندما نضرب هذا كله في الأس صفر، نحصل على صفر.

لكن ماذا عن اشتقاق سالب اثنين ﺱﺹ بالنسبة إلى ﺱ؟ إنه في الواقع حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق. ولذا، سنستخدم قاعدة الضرب إلى جانب الاشتقاق الضمني. تنص قاعدة الضرب على أن مشتقة ﻉ في ﻕ تساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. في الدالة التي لدينا، سنجعل ﻉ يساوي سالب اثنين ﺱ وﻕ يساوي ﺹ. إذن ﺩﻉ على ﺩﺱ، أي المشتقة الأولى لسالب اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ، تساوي سالب اثنين.

ولكن ماذا عن ﺩﻕ على ﺩﺱ؟ سنستخدم الاشتقاق الضمني. نحن نعلم أن علينا اشتقاق الدالة بالنسبة إلى ﺹ. حسنًا، مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺹ تساوي واحدًا. ثم نضرب ذلك في ﺩﺹ على ﺩﺱ. نلاحظ إذن أن ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي واحدًا ﺩﺹ على ﺩﺱ أو ﺩﺹ على ﺩﺱ فقط. ومن ثم، فإن مشتقة سالب اثنين ﺱﺹ تساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ. هذا يساوي سالب اثنين ﺱ ﺩﺹ على ﺩﺱ، زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ، وهو ما يعطينا سالب اثنين ﺹ. وبذلك، نكون قد اشتققنا كلا طرفي المعادلة بالنسبة إلى ﺱ. وحصلنا على: اثنان ﺱ يساوي سالب اثنين ﺱ ﺩﺹ على ﺩﺱ ناقص اثنين ﺹ.

هيا نضف اثنين ﺹ إلى كلا طرفي المعادلة، وبهذا نحصل على: اثنان ﺱ زائد اثنين ﺹ يساوي سالب اثنين ﺱ ﺩﺹ على ﺩﺱ. بعد ذلك، نوجد تعبيرًا لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ بقسمة كلا الطرفين على سالب اثنين ﺱ. فنجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي اثنين ﺱ زائد اثنين ﺹ على سالب اثنين ﺱ. في الواقع، يمكننا تبسيط ذلك لنحصل على: سالب واحد ناقص ﺹ على ﺱ. ومن ثم أصبح لدينا تعبير لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ. دعونا نكرر هذه العملية ونوجد تعبيرًا لـ ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع. دعونا نشتق تعبير ﺩﺹ على ﺩﺱ حدًّا حدًّا. حسنًا، مشتقة سالب واحد تساوي صفرًا. وهذا يعني أن ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي مشتقة سالب ﺹ على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وبالطبع، يمكننا، إن أردنا، كتابة هذا على صورة: سالب مشتقة ﺹ على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. لكن كيف سنشتق ﺹ على ﺱ؟

نعلم أن ﺹ وﺱ دالتان قابلتان للاشتقاق. لذا، سنستخدم قاعدة القسمة. تنص هذه القاعدة على أن مشتقة ﻉ مقسومًا على ﻕ تساوي ﻕ ﺩﻉ على ﺩﺱ ناقص ﻉ ﺩﻕ على ﺩﺱ الكل على ﻕ تربيع. وإذا قارنا ذلك بالدالة التي لدينا، فسنجد أننا سنجعل ﻉ يساوي ﺹ وﻕ يساوي ﺱ. وإيجاد ﺩﻕ على ﺩﺱ مباشر للغاية. فهو مشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ، وهي تساوي واحدًا. لكن مرة أخرى، علينا استخدام الاشتقاق الضمني لإيجاد ﺩﻉ على ﺩﺱ. وهو مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺹ، وهي تساوي واحدًا في ﺩﺹ على ﺩﺱ. إذن، فهو في الحقيقة يساوي ﺩﺹ على ﺩﺱ.

تنص قاعدة القسمة على أن مشتقة ﺹ على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺱ في ﺩﺹ على ﺩﺱ، وهو ما يساوي ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ، ناقص ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ، وهو ما يساوي ﺹ في واحد. وبالطبع كل ذلك مقسوم على ﺱ تربيع. سنبسط هذا قليلًا. ومن ثم، نجد أن مشتقة ﺹ على ﺱ تساوي ﺱ ﺩﺹ على ﺩﺱ ناقص ﺹ على ﺱ تربيع. إذن، ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي سالب هذه القيمة. نوزع الأقواس بالضرب في سالب واحد. فنجد أن ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي ﺹ ناقص ﺱ ﺩﺹ على ﺩﺱ على ﺱ تربيع.

لكننا لدينا بالفعل تعبير لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ. وهو سالب واحد ناقص ﺹ على ﺱ. لذا، نعوض عن ﺩﺹ على ﺩﺱ بهذا التعبير. ومن ثم نرى أن ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي ﺹ ناقص ﺱ في سالب واحد ناقص ﺹ على ﺱ الكل على ﺱ تربيع. ثم نوزع الأقواس. سالب ﺱ في سالب واحد يساوي ﺱ. وبضرب سالب ﺱ في سالب ﺹ على ﺱ، نحذف ﺱ من بسط الكسر ومقامه، ونحصل على موجب ﺹ. إذن، ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي اثنين ﺹ زائد ﺱ الكل على ﺱ تربيع. وبهذا أصبح لدينا تعبيران للمشتقتين الأولى والثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. فلنعوض بهما في هذا التعبير.

نحصل على: ﺱ في اثنين ﺹ زائد ﺱ على ﺱ تربيع زائد اثنين في سالب واحد ناقص ﺹ على ﺱ. ونلاحظ أنه يمكننا حذف ﺱ من بسط الكسر ومقامه. ويصبح الجزء الأول من هذا هو: اثنان ﺹ زائد ﺱ على ﺱ. ومن المنطقي أيضًا أن نوزع الأقواس بضرب كل حد في اثنين. ومن ثم، نحصل على سالب اثنين ناقص اثنين ﺹ على ﺱ. سنقسم الكسر الأول بقسمة كل جزء على ﺱ. نحصل إذن على اثنين ﺹ على ﺱ زائد ﺱ على ﺱ، وهو ما يساوي واحدًا. والآن نرى أن لدينا اثنين ﺹ على ﺱ ناقص اثنين ﺹ على ﺱ، وهو ما يساوي صفرًا. ومن ثم، يبسط ذلك إلى واحد ناقص اثنين، وهو ما يساوي سالب واحد. إذن ﺱ في ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع زائد اثنين في ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب واحد.

تجدر الإشارة هنا إلى أنه كان يمكننا في الأصل قسمة كلا طرفي المعادلة على سالب اثنين ﺱ. وكان بإمكاننا بعد ذلك استخدام قاعدة القسمة مرتين لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ وﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع. وبالقسمة على سالب اثنين ﺱ، نحصل في النهاية على معادلة معبر عنها صراحة بدلالة ﺱ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.